Kleksa

Bacalaureat 2027 · matematică

Teorema sinusurilor și teorema cosinusului: rezolvarea triunghiului la bacalaureat

Cu teorema cosinusului afli a treia latură a unui triunghi sau un unghi al lui, iar cu teorema sinusurilor legi o latură de unghiul opus ei și de raza cercului circumscris. Sunt în programa tuturor profilurilor de bacalaureat, dar în sesiunile din iunie 2023–2026 nu au fost cerute ca item separat. Aici ai formulele, regula după care alegi teorema, patru exemple rezolvate, aria triunghiului și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La bac, toate profilurile: în niciun an din 2023–2026 ca item separat în sesiunea din iunie; ambele teoreme sunt în programă.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Notațiile: într-un triunghi ABCABC, laturile sunt a=BCa = BC, b=CAb = CA și c=ABc = AB, fiecare opusă vârfului cu aceeași literă. RR este raza cercului circumscris. Suma unghiurilor este A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ, adică π\pi.
  • Teorema sinusurilor: asin⁡A=\dfrac{a}{\sin A} ={}bsin⁡B= \dfrac{b}{\sin B} ={}csin⁡C= \dfrac{c}{\sin C} ={}2R 2R. Fiecare latură se împarte la sinusul unghiului opus ei.
  • Teorema cosinusului: a2=a^2 ={}b2+c2−2bccos⁡A b^2 + c^2 - 2bc\cos A și, la fel, b2=b^2 ={}a2+c2−2accos⁡B a^2 + c^2 - 2ac\cos B. Unghiul AA este cel dintre laturile bb și cc. Dacă A=90∘A = 90^\circ, obții teorema lui Pitagora. Pentru un unghi, cos⁡A=\cos A ={}b2+c2−a22bc \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.
  • Aria cu două laturi și unghiul dintre ele: AABC=\mathcal{A}_{ABC} ={}bcsin⁡A2 \dfrac{bc \sin A}{2}. Programa de la M_mate-info și M_șt-nat o cuprinde la «calcularea unor arii»; ea se leagă de teoremele de mai sus prin același unghi.
  • Ce teoremă alegi: dacă ai două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi, folosește teorema cosinusului. Dacă ai un unghi și latura opusă lui, plus încă un element, folosește teorema sinusurilor. Pentru un unghi obtuz, valorile vin din reducerea la primul cadran, de exemplu cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}.
ABCabc

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Fă figura și pune notațiile

    Desenează triunghiul, notează laturile aa, bb, cc opuse unghiurilor AA, BB, CC și scrie pe figură datele problemei. Cele mai multe greșeli vin dintr-o latură pusă lângă un unghi care nu îi este opus.

  2. 2.Alege teorema

    Teorema cosinusului se potrivește când ai două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi. Teorema sinusurilor se potrivește când ai o pereche formată dintr-un unghi și latura din fața lui. Dacă triunghiul este dreptunghic, îți ajung teorema lui Pitagora sau tangenta.

  3. 3.Scrie formula cu literele problemei

    Pentru latura necunoscută scrie, de exemplu, BC2=BC^2 ={}AB2+ AB^2 +{}AC2− AC^2 -{}2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A. Pentru sinus scrie raportul BCsin⁡A=\dfrac{BC}{\sin A} ={}2R 2R. Rezultatul se citește apoi direct din ecuație.

  4. 4.Înlocuiește valorile din tabel

    Pune în formulă valorile lui sin⁡\sin și cos⁡\cos din tabelul trigonometric. La un unghi obtuz folosește sin⁡(180∘−x)=\sin(180^\circ - x) ={}sin⁡x \sin x și cos⁡(180∘−x)=\cos(180^\circ - x) ={}−cos⁡x -\cos x, ca să ții minte semnul.

  5. 5.Calculează și verifică

    Când extragi radicalul pentru o lungime, păstrează doar rădăcina pozitivă. Verifică: latura cea mai lungă este opusă celui mai mare unghi, iar dacă ai aflat un unghi, suma celor trei trebuie să fie 180∘180^\circ.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.A treia latură, cu un unghi obtuz

    În triunghiul ABCABC, AB=3AB = 3 cm, AC=5AC = 5 cm și A=120∘A = 120^\circ. Calculează lungimea laturii BCBC.
    ABC35120°

  2. 2.Un unghi din trei laturi

    În triunghiul ABCABC, AB=5AB = 5 cm, AC=8AC = 8 cm și BC=7BC = 7 cm. Determină măsura unghiului AA.

  3. 3.Raza cercului circumscris

    În triunghiul ABCABC, AC=6AC = 6 și B=π4B = \dfrac{\pi}{4}. Calculează raza RR a cercului circumscris și, dacă A=π6A = \dfrac{\pi}{6}, lungimea laturii BCBC.

  4. 4.Aria din două laturi și unghi

    În triunghiul ABCABC, AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 și A=30∘A = 30^\circ. Calculează aria triunghiului ABCABC.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2026, matematică M_șt-nat — subiectul I, 6

Itemul 6. (0–5 p)

Se consideră triunghiul ABCABC, cu AC=9AC = 9 și B=π3B = \dfrac{\pi}{3}. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABCABC este egală cu 333\sqrt{3}.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_șt-nat, sesiunea august, subiectul I, 6 (varianta 4). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2025, matematică M_mate-info — subiectul I, 6

Itemul 6. (0–5 p)

Se consideră triunghiul ABCABC, cu AB=6AB = 6, BC=10BC = 10 și cos⁡B=45\cos B = \dfrac{4}{5}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 1818.

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2025, Matematică M_mate-info, modelul de subiect, subiectul I, 6 (varianta model). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

  • M_mate-info

    în niciun an din 2023–2026

    • Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană (clasa a IX-a)

    Itemi: niciun item în iunie 2023–2026

    Toate noțiunile profilului

  • M_șt-nat

    în niciun an din 2023–2026

    • Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană (clasa a IX-a)

    Itemi: niciun item în iunie 2023–2026

    Toate noțiunile profilului

  • M_tehnologic

    în niciun an din 2023–2026

    • Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

    Itemi: niciun item în iunie 2023–2026

    Toate noțiunile profilului

  • M_pedagogic

    în niciun an din 2023–2026

    • Aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

    Itemi: niciun item în iunie 2023–2026

    Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=7AB = 7, AC=5AC = 5 și măsura unghiului AA egală cu 60∘60^\circ. Calculați aria triunghiului ABCABC.

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC cu BC=12BC = 12 și măsura unghiului AA egală cu π3\dfrac{\pi}{3}. Determinați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC.

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=16AB = 16, AC=6AC = 6 și măsura unghiului AA egală cu 60∘60^\circ. Determinați lungimea laturii BCBC.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 4. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=7AB = 7, AC=15AC = 15 și măsura unghiului AA egală cu 60∘60^\circ. Determinați lungimea laturii BCBC.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Pui în teorema cosinusului un unghi care nu este cel dintre celelalte două laturi. În a2=a^2 ={}b2+c2−2bccos⁡A b^2 + c^2 - 2bc\cos A, unghiul AA este opus laturii aa și încadrat de bb și cc.
  • Pierzi semnul la un unghi obtuz. Pentru A=120∘A = 120^\circ, cos⁡A=−12\cos A = -\dfrac{1}{2}, deci termenul −2bccos⁡A-2bc\cos A devine +bc+bc și latura iese mai mare decât b2+c2\sqrt{b^2 + c^2}.
  • Împarți o latură la sinusul unui unghi care nu îi este opus. Raportul corect este asin⁡A\dfrac{a}{\sin A}, nu asin⁡B\dfrac{a}{\sin B}; verifică pe figură că AA este vârful din fața lui aa.
  • Crezi că asin⁡A=R\dfrac{a}{\sin A} = R. Raportul este 2R2R, adică diametrul cercului circumscris, așa că după împărțire mai ai de înjumătățit.
  • Din sin⁡A=12\sin A = \dfrac{1}{2} scrii doar A=30∘A = 30^\circ. Sinusul nu deosebește un unghi de suplementul lui: AA poate fi și 150∘150^\circ, dacă alte date nu o exclud.

Reține

  • Sinusuri: asin⁡A=\dfrac{a}{\sin A} ={}bsin⁡B= \dfrac{b}{\sin B} ={}csin⁡C= \dfrac{c}{\sin C} ={}2R 2R.
  • Cosinus: a2=a^2 ={}b2+c2−2bccos⁡A b^2 + c^2 - 2bc\cos A, de unde cos⁡A=\cos A ={}b2+c2−a22bc \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.
  • Aria: bcsin⁡A2\dfrac{bc \sin A}{2}, cu AA între bb și cc.
  • A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ; latura cea mai lungă este opusă celui mai mare unghi.
  • cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}; sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Când folosesc teorema sinusurilor?+
    Răspuns:Când ai o latură și unghiul opus ei, plus încă un unghi sau o altă latură. Rezultatul poate fi o latură, un sinus sau raza cercului circumscris, pentru că întregul raport este egal cu 2R2R. Dacă ai două laturi și unghiul dintre ele, folosește teorema cosinusului.
  2. 2.Când folosesc teorema cosinusului?+
    Răspuns:În două situații: ai două laturi și unghiul dintre ele și cauți a treia latură, sau ai toate cele trei laturi și cauți un unghi. În al doilea caz folosești forma cos⁡A=\cos A ={}b2+c2−a22bc \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} și citești unghiul din tabel.
  3. 3.Ce devine teorema cosinusului pentru un unghi drept?+
    Răspuns:Teorema lui Pitagora. Dacă A=90∘A = 90^\circ, atunci cos⁡A=0\cos A = 0 și termenul −2bccos⁡A-2bc\cos A dispare, deci rămâne a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2. De aceea teorema cosinusului este numită și teorema lui Pitagora generalizată.
  4. 4.Cum calculez raza cercului circumscris?+
    Răspuns:Cu teorema sinusurilor: R=a2sin⁡AR = \dfrac{a}{2\sin A}, unde aa este orice latură și AA unghiul opus ei. Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci RR este jumătate din ipotenuză și nu mai ai nevoie de sinus.
  5. 5.Cum aflu aria unui triunghi din două laturi și unghiul dintre ele?+
    Răspuns:Înmulțești cele două laturi cu sinusul unghiului dintre ele și împarți la 22: A=\mathcal{A} ={}bcsin⁡A2 \dfrac{bc \sin A}{2}. Dacă ți se dă cos⁡A\cos A, afli întâi sin⁡A\sin A din sin⁡2A+cos⁡2A=\sin^2 A + \cos^2 A ={}1 1, cu sin⁡A>0\sin A > 0, apoi aplici formula.
  6. 6.Se cer aceste teoreme la bacalaureat?+
    Răspuns:Sunt în programa tuturor celor patru profiluri. În sesiunile din iunie 2023–2026 nu au fost cerute ca item separat; un item cu teorema sinusurilor, din sesiunea august 2026 la M_șt-nat, este citat mai sus cu baremul lui. Citește-l ca model pentru felul în care sunt notați pașii.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.