Cum calculez determinantul de ordin 3?

Cu regula lui Sarrus: adaugi produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scazi produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Sunt șase produse de câte trei elemente. Baremul CNCE notează calculul pe pași, așa că scrie întâi determinantul cu valorile înlocuite și abia apoi calculează-l.

Când este o matrice inversabilă?

Când determinantul ei este nenul. Dacă $\det A = 0$, matricea nu are inversă. De aceea un item de tipul „determinați valorile lui $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă” se rezolvă calculând $\det A(a)$ și cerând ca el să fie diferit de zero.

Cum aflu inversa unei matrice de ordin 2?

Calculezi determinantul, interschimbi elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul elementelor de pe diagonala secundară și împarți toate elementele la determinant. Verifici apoi că produsul dintre matrice și inversa ei este matricea unitate $I_2$.

Cum rezolv o ecuație matriceală de forma AX = B?

Dacă $A$ este inversabilă, o înmulțești la stânga cu $A^{-1}$ și obții $X = A^{-1} \cdot B$. Dacă necunoscuta stă în stânga, $X \cdot A = B$, înmulțești la dreapta și obții $X = B \cdot A^{-1}$. Ordinea contează, pentru că produsul de matrice nu este comutativ.

Cum rezolv un sistem cu metoda lui Cramer?

Calculezi determinantul $\Delta$ al coeficienților. Dacă $\Delta \ne 0$, calculezi $\Delta_x$, $\Delta_y$ (și $\Delta_z$ pentru trei necunoscute), înlocuind pe rând coloana necunoscutei cu termenii liberi, și împarți fiecare la $\Delta$. Soluția verifică toate ecuațiile.

Cum apar matricele la bacalaureat?

În iunie 2023–2026 au apărut în fiecare an, la toate cele patru profiluri. La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic sunt itemurile 1.a–c din subiectul al II-lea, cu matrice de ordin $3$ la M_mate-info și de ordin $2$ la celelalte două. La M_pedagogic sunt cele șase itemuri din subiectul al III-lea, toate cu matrice de ordin $2$. Fiecare cerință se notează pe pași, după barem.

Bacalaureat 2027 · matematică

Matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare la bacalaureat

Matricele sunt cerute la bacalaureat în fiecare an, la toate cele patru profiluri: în iunie 2023–2026, punctul a) a cerut mereu un determinant, iar următoarele puncte o operație cu matrice, o ecuație sau un sistem. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, patru exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La bac, toate profilurile: în fiecare an 2023–2026, la subiectul al II-lea, 1 (la M_pedagogic: subiectul al III-lea, 1–6).

Programa de examen

M_mate-info

Matrice · clasa a XI-a
Determinanți · clasa a XI-a
Sisteme de ecuații liniare · clasa a XI-a

M_șt-nat

Matrice · clasa a XI-a
Determinanți · clasa a XI-a
Sisteme de ecuații liniare · clasa a XI-a

M_tehnologic

Matrice · clasa a XI-a
Determinanți · clasa a XI-a
Sisteme de ecuații liniare · clasa a XI-a

M_pedagogic

Matrice · clasa a XII-a
Determinanți · clasa a XII-a
Sisteme de ecuații liniare · clasa a XII-a

OMEN nr. 4430/2014, păstrată de OMEC nr. 6059/2025 · sesiunile din iunie: în fiecare an 2023–2026

La bacalaureat nu primești formule și nu ai voie cu calculatorul.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Matrice și operații: o matrice are linii și coloane, iar $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ este mulțimea matricelor pătratice de ordin $2$ cu elemente reale. Adunarea și înmulțirea cu un număr se fac element cu element. $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ este matricea unitate, iar $O_2$ matricea nulă.
Produsul se face linie cu coloană: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + bz & ay + bt \\ cx + dz & cy + dt \end{pmatrix}$ . În general $A \cdot B \ne B \cdot A$ , dar $A \cdot I_2 ={}$ $I_2 \cdot A ={}$ $A$ .
Determinantul de ordin $2$ : $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ . Pentru ordin $3$ , regula lui Sarrus: $\Delta = a_{11}a_{22}a_{33} +{}$ $a_{12}a_{23}a_{31} +{}$ $a_{13}a_{21}a_{32} -{}$ $a_{13}a_{22}a_{31} -{}$ $a_{11}a_{23}a_{32} -{}$ $a_{12}a_{21}a_{33}$ . Primii trei termeni sunt pe diagonala principală și paralelele ei, ceilalți pe diagonala secundară.
Inversa: matricea $A$ este inversabilă exact când $\det A \ne 0$ . Pentru ordin $2$ , $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ și $A \cdot A^{-1} ={}$ $A^{-1} \cdot A ={}$ $I_2$ . Ecuația $A \cdot X = B$ se rezolvă cu $X = A^{-1} \cdot B$ , iar $X \cdot A = B$ cu $X = B \cdot A^{-1}$ .
Sisteme liniare: un sistem se scrie matriceal $A \cdot X = B$ , cu $A$ matricea coeficienților. Dacă $\Delta = \det A \ne 0$ , sistemul are soluție unică, dată de metoda lui Cramer: $x ={}$ $\dfrac{\Delta_x}{\Delta}$ , $y ={}$ $\dfrac{\Delta_y}{\Delta}$ , unde $\Delta_x$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana lui $x$ cu termenii liberi. Dacă $\Delta = 0$ , sistemul se studiază separat; la M_mate-info programa cuprinde rangul și metoda lui Gauss.
Aplicații în geometrie (în programa tuturor profilurilor): punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare exact când $\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} = 0$ , iar aria triunghiului $ABC$ este egală cu jumătate din modulul acestui determinant.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Vezi ce ți se cere
Un determinant, un produs, o inversă, o ecuație matriceală sau un sistem au metode diferite. Multe itemuri le înlănțuie: la punctul a) calculezi un determinant, la b) o egalitate între matrice, la c) o ecuație cu parametru. Folosește rezultatele de la punctele anterioare.
2.Scrie matricea cu valoarea parametrului
Dacă matricea depinde de un parametru, de exemplu $A(x)$ , înlocuiește valoarea cerută în fiecare element și recopiază matricea numerică. Greșelile de semn apar mai ales aici.
3.Aplică formula potrivită
Pentru determinantul de ordin $2$ scade produsul diagonalei secundare din cel al diagonalei principale; pentru ordin $3$ folosește regula lui Sarrus. La produs înmulțești linia cu coloana, în ordinea dată în enunț.
4.Folosește condiția cu determinantul
Matricea este inversabilă când $\det A \ne 0$ , iar un sistem cu atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică tot atunci. Pentru „nu este inversabilă” sau „sistem fără soluție unică” pui condiția $\det A = 0$ și rezolvi ecuația în parametru.
5.Verifică înmulțind sau înlocuind
O inversă o verifici calculând $A \cdot A^{-1} = I_2$ . O soluție a sistemului o verifici înlocuind-o în fiecare ecuație. O egalitate între matrice cere egalitatea tuturor elementelor corespunzătoare.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Determinanți de ordin 2 și 3
Calculează $\det A$ pentru $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ și $\det N$ pentru $N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ .
2.Produsul nu este comutativ
Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculează $A \cdot B$ și $B \cdot A$ .
3.Inversa și o ecuație matriceală
Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Arată că $A$ este inversabilă, află $A^{-1}$ și rezolvă ecuația $A \cdot X = B$ .
4.Un sistem rezolvat cu metoda lui Cramer
Rezolvă în mulțimea numerelor reale sistemul $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = 0 \end{cases}$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul al II-lea, 1.b)

Problema 1.b) (0–5 p)

Se consideră matricea

A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații liniare

\begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}

, unde

a

este număr real. b) Arătați că, pentru orice număr real

a

, sistemul de ecuații are soluție unică.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 1.b) (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2025, matematică M_șt-nat — subiectul al II-lea, 1.b)

Problema 1.b) (0–5 p)

Se consideră matricele

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

. b) Arătați că matricea

B = \dfrac{1}{2}\left(I_2 - A\right)

este inversa matricei

A

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 1.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Matrice (clasa a XI-a)
- Determinanți (clasa a XI-a)
- Sisteme de ecuații liniare (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: II.1 · 2024: II.1 · 2025: II.1 · 2026: II.1
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Matrice (clasa a XI-a)
- Determinanți (clasa a XI-a)
- Sisteme de ecuații liniare (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: II.1 · 2024: II.1 · 2025: II.1 · 2026: II.1
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în fiecare an 2023–2026
- Matrice (clasa a XI-a)
- Determinanți (clasa a XI-a)
- Sisteme de ecuații liniare (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: II.1 · 2024: II.1 · 2025: II.1 · 2026: II.1
Toate noțiunile profilului
M_pedagogic
în fiecare an 2023–2026
- Matrice (clasa a XII-a)
- Determinanți (clasa a XII-a)
- Sisteme de ecuații liniare (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: III.1–6 · 2024: III.1–6 · 2025: III.1–6 · 2026: III.1–6
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră matricea

A(x) = \begin{pmatrix} x + 4 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

, unde

x

este număr real. Determinați numărul real

x

pentru care

\det\left(A(x)\right) = 10

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–2)

Se consideră matricea

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

. Determinați inversa matricei

A

. Scrieți inversa sub forma

A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

a =

b =

c =

d =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 3. (0–2)

Se consideră matricele

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

și

B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}

. Calculați

A \cdot B - B \cdot A

. Scrieți rezultatul sub forma

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

a =

b =

c =

d =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 4. (0–1)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații

\begin{cases} x - 2y = 10 \\ -3x + 3y = -18 \end{cases}

x =

y =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 5. (0–2)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații

\begin{cases} 2x + 3y + 3z = -2 \\ -2x + 3y + 2z = -12 \\ 3x - 2y + z = 16 \end{cases}

x =

y =

z =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Schimbi ordinea factorilor la produs. $A \cdot B$ și $B \cdot A$ sunt în general diferite, iar ecuația $A \cdot X = B$ dă $X = A^{-1} \cdot B$ , nu $B \cdot A^{-1}$ : inversa se înmulțește pe aceeași parte pe care stă $A$ .
Greșești semnul la determinantul de ordin $2$ . Este $ad - bc$ : produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Cu elemente negative pune produsele în paranteze, ca să nu pierzi semnul.
Scrii inversa fără $\dfrac{1}{\det A}$ sau fără să schimbi semnele. La ordin $2$ interschimbi elementele de pe diagonala principală și schimbi semnul celor de pe diagonala secundară; apoi împarți totul la determinant.
La metoda lui Cramer înlocuiești linia în loc de coloană. Pentru $\Delta_x$ coloana lui $x$ se înlocuiește cu termenii liberi, iar restul determinantului rămâne neschimbat.
Inversezi condiția pentru soluție unică. Un sistem cu atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică când $\Delta \ne 0$ ; pentru $\Delta = 0$ nu mai ai soluție unică, deci „sistem fără soluție unică” cere ecuația $\Delta = 0$ .

Reține

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ .
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ , cu $\det A \ne 0$ .
$A \cdot X ={}$ $B \Rightarrow X ={}$ $A^{-1} \cdot B$ ; $X \cdot A ={}$ $B \Rightarrow X ={}$ $B \cdot A^{-1}$ .
Cramer: $x ={}$ $\dfrac{\Delta_x}{\Delta}$ , $y ={}$ $\dfrac{\Delta_y}{\Delta}$ , pentru $\Delta \ne 0$ .
Sarrus: trei produse cu plus (diagonala principală și paralelele), trei cu minus.

Întrebări și răspunsuri

1.Cum calculez determinantul de ordin 3?+
Răspuns:Cu regula lui Sarrus: adaugi produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scazi produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Sunt șase produse de câte trei elemente. Baremul CNCE notează calculul pe pași, așa că scrie întâi determinantul cu valorile înlocuite și abia apoi calculează-l.
2.Când este o matrice inversabilă?+
Răspuns:Când determinantul ei este nenul. Dacă $\det A = 0$ , matricea nu are inversă. De aceea un item de tipul „determinați valorile lui $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă” se rezolvă calculând $\det A(a)$ și cerând ca el să fie diferit de zero.
3.Cum aflu inversa unei matrice de ordin 2?+
Răspuns:Calculezi determinantul, interschimbi elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul elementelor de pe diagonala secundară și împarți toate elementele la determinant. Verifici apoi că produsul dintre matrice și inversa ei este matricea unitate $I_2$ .
4.Cum rezolv o ecuație matriceală de forma AX = B?+
Răspuns:Dacă $A$ este inversabilă, o înmulțești la stânga cu $A^{-1}$ și obții $X = A^{-1} \cdot B$ . Dacă necunoscuta stă în stânga, $X \cdot A = B$ , înmulțești la dreapta și obții $X = B \cdot A^{-1}$ . Ordinea contează, pentru că produsul de matrice nu este comutativ.
5.Cum rezolv un sistem cu metoda lui Cramer?+
Răspuns:Calculezi determinantul $\Delta$ al coeficienților. Dacă $\Delta \ne 0$ , calculezi $\Delta_x$ , $\Delta_y$ (și $\Delta_z$ pentru trei necunoscute), înlocuind pe rând coloana necunoscutei cu termenii liberi, și împarți fiecare la $\Delta$ . Soluția verifică toate ecuațiile.
6.Cum apar matricele la bacalaureat?+
Răspuns:În iunie 2023–2026 au apărut în fiecare an, la toate cele patru profiluri. La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic sunt itemurile 1.a–c din subiectul al II-lea, cu matrice de ordin $3$ la M_mate-info și de ordin $2$ la celelalte două. La M_pedagogic sunt cele șase itemuri din subiectul al III-lea, toate cu matrice de ordin $2$ . Fiecare cerință se notează pe pași, după barem.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare la bacalaureat

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Vezi ce ți se cere

2.Scrie matricea cu valoarea parametrului

3.Aplică formula potrivită

4.Folosește condiția cu determinantul

5.Verifică înmulțind sau înlocuind

Exemple rezolvate

1.Determinanți de ordin 2 și 3

2.Produsul nu este comutativ

3.Inversa și o ecuație matriceală

4.Un sistem rezolvat cu metoda lui Cramer

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse