Kleksa

Bacalaureat 2027 · matematică

Logaritmi pentru bacalaureat: definiție, proprietăți, formule

Logaritmul în baza aa al numărului bb este exponentul la care ridici aa ca să obții bb: log⁡ab=x\log_a b = x înseamnă ax=ba^x = b. Tot ce ai nevoie la bacalaureat sunt câteva proprietăți, produsul, câtul, puterea și schimbarea bazei, și obiceiul de a scrie numerele ca puteri. Fără calculator, așa obții valori exacte. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple, un subiect CNCE cu barem și itemuri de verificare.

La M_mate-info: în 1 din 4 ani; la M_șt-nat, M_tehnologic și M_pedagogic: în niciun an din 2023–2026, ca item de calcul.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Definiția: pentru a>0a > 0, a≠1a \neq 1 și b>0b > 0, log⁡ab=x\log_a b = x înseamnă ax=ba^x = b. Baza este pozitivă și diferită de 11, iar argumentul este pozitiv: log⁡2(−4)\log_2(-4) nu există. Logaritmul în baza 1010 se scrie lg⁡b\lg b.
  • Valori de bază: log⁡a1=0\log_a 1 = 0, log⁡aa=1\log_a a = 1, log⁡aan=n\log_a a^n = n și alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b. De exemplu, lg⁡1000=3\lg 1000 = 3, pentru că 1000=1031000 = 10^3.
  • Produs, cât, putere (pentru x>0x > 0, y>0y > 0): log⁡a(xy)=\log_a(xy) ={}log⁡ax+log⁡ay \log_a x + \log_a y, log⁡axy=\log_a \dfrac{x}{y} ={}log⁡ax−log⁡ay \log_a x - \log_a y și log⁡axk=\log_a x^k ={}klog⁡ax k \log_a x.
  • Schimbarea bazei: log⁡ab=\log_a b ={}log⁡cblog⁡ca \dfrac{\log_c b}{\log_c a}. Din ea rezultă log⁡ab⋅log⁡ba=\log_a b \cdot \log_b a ={}1 1 și log⁡anb=\log_{a^n} b ={}1nlog⁡ab \dfrac{1}{n}\log_a b.
  • Monotonia: dacă a>1a > 1, atunci log⁡ax<log⁡ay\log_a x < \log_a y când x<yx < y; dacă 0<a<10 < a < 1, inegalitatea se schimbă. Așa încadrezi un logaritm între două numere întregi, scriind argumentul între două puteri ale bazei.

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Verifică existența

    Înainte de orice calcul, vezi dacă baza este pozitivă și diferită de 11 și dacă argumentele sunt pozitive. Într-o expresie cu litere, aceste condiții stabilesc valorile permise.

  2. 2.Scrie numerele ca puteri

    Descompune argumentele și baza în factori primi sau în puteri: 8=238 = 2^3, 81=3481 = 3^4, 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}. Un logaritm din puterea bazei se calculează imediat: log⁡aan=n\log_a a^n = n.

  3. 3.Adună și scade logaritmii cu aceeași bază

    Grupează logaritmii cu aceeași bază și folosește produsul și câtul: o sumă devine logaritmul produsului, o diferență devine logaritmul câtului. Caută perechi al căror produs este o putere a bazei, de exemplu lg⁡2+lg⁡5=lg⁡10\lg 2 + \lg 5 = \lg 10.

  4. 4.Adu la aceeași bază

    Dacă bazele diferă, folosește schimbarea bazei. Alege o bază comună, de obicei un număr prim din descompuneri, și scrie fiecare logaritm ca raport. Produsul log⁡ab⋅log⁡ba\log_a b \cdot \log_b a face întotdeauna 11.

  5. 5.Calculează și verifică

    Termină cu o valoare exactă, fără aproximări. Verifică prin definiție: dacă ai găsit log⁡ab=x\log_a b = x, calculează axa^x și vezi dacă obții bb.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Suma a doi logaritmi

    Arată că log⁡212+\log_2 12 +{}log⁡283= \log_2 \dfrac{8}{3} ={}5 5.

  2. 2.Schimbarea bazei

    Calculează valoarea exactă a logaritmului log⁡816\log_8 16, fără calculator.

  3. 3.Argumente subunitare și bază subunitară

    Calculează valoarea expresiei lg⁡0,001+\lg 0{,}001 +{}log⁡124 \log_{\frac{1}{2}} 4.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2024, matematică M_mate-info — subiectul I, 1

Itemul 1. (0–5 p)

Arătați că 2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 ={}5 5.

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2024, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 1 (varianta 10). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Calculați log⁡35⋅log⁡527\log_3 5 \cdot \log_5 27.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 2. (0–1)

Calculați log⁡315+\log_3 15 +{}log⁡38− \log_3 8 -{}log⁡340 \log_3 40.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

Se consideră numărul log⁡27\log_2 7. Acesta aparține intervalului:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Calculează log⁡464+log⁡93\log_4 64 + \log_9 3. Scrie rezultatul ca număr zecimal, cu virgulă.

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Scrii log⁡a(x+y)=\log_a(x + y) ={}log⁡ax+log⁡ay \log_a x + \log_a y. Regula este pentru produs, nu pentru sumă: log⁡2(4+4)=\log_2(4 + 4) ={}log⁡28= \log_2 8 ={}3 3, în timp ce log⁡24+log⁡24=\log_2 4 + \log_2 4 ={}4 4.
  • Încurci câtul logaritmilor cu logaritmul câtului. log⁡29log⁡23\dfrac{\log_2 9}{\log_2 3} nu este log⁡23\log_2 3: este log⁡39=2\log_3 9 = 2, adică schimbarea bazei. Logaritmul câtului este diferența logaritmilor.
  • Uiți că lg⁡\lg înseamnă baza 1010, nu 22 sau ee. Atunci lg⁡1000=3\lg 1000 = 3, iar log⁡21000\log_2 1000 nu se calculează exact.
  • Calculezi un logaritm dintr-un număr negativ sau din zero. log⁡3(−9)\log_3(-9) și log⁡30\log_3 0 nu există, pentru că nicio putere a lui 33 nu dă un număr negativ sau zero.
  • Ridici la pătrat logaritmul în loc să înmulțești cu exponentul: log⁡282=\log_2 8^2 ={}2⋅log⁡28= 2 \cdot \log_2 8 ={}6 6, nu (log⁡28)2=9\left(\log_2 8\right)^2 = 9.

Reține

  • log⁡ab=\log_a b ={}x  ⟺  ax= x \iff a^x ={}b b, pentru a>0a > 0, a≠1a \neq 1, b>0b > 0.
  • log⁡a1=0\log_a 1 = 0, log⁡aa=1\log_a a = 1, log⁡aan=n\log_a a^n = n.
  • log⁡a(xy)=\log_a(xy) ={}log⁡ax+log⁡ay \log_a x + \log_a y și log⁡axy=\log_a \dfrac{x}{y} ={}log⁡ax−log⁡ay \log_a x - \log_a y.
  • log⁡axk=\log_a x^k ={}klog⁡ax k \log_a x și lg⁡x=log⁡10x\lg x = \log_{10} x.
  • log⁡ab=\log_a b ={}log⁡cblog⁡ca \dfrac{\log_c b}{\log_c a} și log⁡ab⋅log⁡ba=\log_a b \cdot \log_b a ={}1 1.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce este logaritmul unui număr?+
    Răspuns:Logaritmul în baza aa al numărului bb este exponentul la care trebuie ridicată baza aa ca să obții bb. Scris pe scurt, log⁡ab=x\log_a b = x înseamnă ax=ba^x = b. De exemplu, log⁡381=4\log_3 81 = 4, pentru că 34=813^4 = 81. Operația prin care afli exponentul se numește logaritmare.
  2. 2.Ce condiții trebuie să îndeplinească baza și argumentul?+
    Răspuns:Baza trebuie să fie un număr pozitiv diferit de 11, iar argumentul trebuie să fie pozitiv. Baza 11 nu poate fi folosită, pentru că toate puterile lui 11 sunt egale cu 11. Un număr negativ sau zero nu este putere a unei baze pozitive, deci nu are logaritm.
  3. 3.Ce înseamnă lg?+
    Răspuns:Notația lg⁡x\lg x înseamnă logaritmul în baza 1010 al lui xx, deci lg⁡x=log⁡10x\lg x = \log_{10} x. Se calculează ușor pentru puterile lui 1010: lg⁡100=2\lg 100 = 2, lg⁡0,1=−1\lg 0{,}1 = -1. Alte numere se scriu ca produs, de exemplu lg⁡2+lg⁡5=\lg 2 + \lg 5 ={}lg⁡10= \lg 10 ={}1 1.
  4. 4.Cum schimb baza unui logaritm?+
    Răspuns:Folosești formula log⁡ab=\log_a b ={}log⁡cblog⁡ca \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, cu orice bază nouă cc pozitivă și diferită de 11. Alege o bază în care ambele numere se scriu ca puteri, de exemplu 22 pentru 88 și 1616. Un caz special util este log⁡ab⋅log⁡ba=\log_a b \cdot \log_b a ={}1 1.
  5. 5.Cum calculez un logaritm fără calculator?+
    Răspuns:La bacalaureat nu ai voie cu calculatorul, așa că logaritmii din probleme sunt aleși astfel încât să se calculeze exact. Scrii argumentul și baza ca puteri ale aceluiași număr sau unești logaritmii cu aceeași bază până când argumentul devine o putere a bazei. Când ți se cere doar o comparație, încadrează logaritmul între două numere întregi.
  6. 6.Cât de des cer logaritmii la bacalaureat?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026, calculul cu logaritmi a fost itemul 1 doar la M_mate-info, în 1 din 4 ani, iar la celelalte trei profiluri în niciunul. Logaritmii apar însă și în ecuațiile logaritmice din itemul 3, la M_șt-nat, M_tehnologic și M_pedagogic, așa că proprietățile de aici folosesc la ambele.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.