Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Puteri și radicali: reguli de calcul pentru Evaluarea Națională și bacalaureat

Puterile și radicalii apar în aproape orice calcul cu numere reale: o expresie cu 2n2^n ori cu 72\sqrt{72} se simplifică în câțiva pași, dacă știi regulile. Aici ai regulile de calcul cu puteri, scoaterea factorilor de sub radical, raționalizarea numitorului de forma aba\sqrt{b} și estimarea unui radical, apoi exemple rezolvate, un subiect CNCE cu răspunsul lui și ce adaugă bacalaureatul.

La Evaluarea Națională: în 2 din 4 ani (2023–2026), la subiectul I, itemul 5, și în 2026 la subiectul al III-lea, 2.b; la M_șt-nat și M_pedagogic: în 1 din 4 ani; la M_mate-info și M_tehnologic: în niciun an.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Puteri. an=a^n ={}a⋅a⋅…⋅a a \cdot a \cdot \ldots \cdot a, cu nn factori. Pentru a≠0a \neq 0 avem a0=1a^0 = 1 și a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, de exemplu 2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}.
  • Reguli de calcul cu puteri. am⋅an=a^m \cdot a^n ={}am+n a^{m+n}, am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}, (am)n=(a^m)^n ={}am⋅n a^{m \cdot n}, (a⋅b)n=(a \cdot b)^n ={}an⋅bn a^n \cdot b^n. Ca să le folosești, aduci mai întâi toate puterile la aceeași bază.
  • Radicalul. Pentru a≥0a \geq 0, a\sqrt{a} este numărul pozitiv sau zero al cărui pătrat este aa, deci (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a și a2=a\sqrt{a^2} = a. Atenție: a+b≠a+\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} +{}b \sqrt{b}.
  • Reguli cu radicali. Pentru a,b≥0a, b \geq 0: a⋅b=\sqrt{a \cdot b} ={}a⋅b \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, iar pentru b>0b > 0, ab=\sqrt{\dfrac{a}{b}} ={}ab \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. Scoaterea factorilor de sub radical: a2⋅b=\sqrt{a^2 \cdot b} ={}ab a\sqrt{b}. Introducerea: ab=a\sqrt{b} ={}a2⋅b \sqrt{a^2 \cdot b}, pentru a≥0a \geq 0.
  • Raționalizarea numitorului de forma aba\sqrt{b}: înmulțești numărătorul și numitorul cu b\sqrt{b}, deci cab=\dfrac{c}{a\sqrt{b}} ={}cba⋅b \dfrac{c\sqrt{b}}{a \cdot b}.
  • Estimarea unui radical. Dacă n2<a<(n+1)2n^2 < a < (n + 1)^2, atunci n<a<n+1n < \sqrt{a} < n + 1. Pătratele perfecte pe care trebuie să le ai în minte: 11, 44, 99, 1616, 2525, 3636, 4949, 6464, 8181, 100100, 121121, 144144.

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Vezi ce fel de calcul ai

    Uită-te la expresie: are numai puteri, numai radicali sau amândouă? Dacă are puteri cu baze diferite, vezi dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr, de exemplu 4=224 = 2^2 și 8=238 = 2^3.

  2. 2.Adu puterile la aceeași bază

    Scrie fiecare putere cu baza cea mai mică, apoi aplică regulile: exponenții se adună la înmulțire, se scad la împărțire și se înmulțesc la ridicarea unei puteri la altă putere. Rezultatul este o singură putere.

  3. 3.Scoate factorii de sub radical

    Descompune numărul de sub radical și caută cel mai mare pătrat perfect care îl divide. Din 72\sqrt{72} scoți 36⋅2=\sqrt{36 \cdot 2} ={}62 6\sqrt{2}. Dacă rămâne un factor care este tot un pătrat, mai poți scoate încă o dată.

  4. 4.Redu radicalii asemenea

    Radicalii cu același număr sub radical se adună ca termenii asemenea: 32+52=3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} ={}82 8\sqrt{2}. Radicalii cu numere diferite sub radical rămân separați, de exemplu 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3}.

  5. 5.Raționalizează numitorul

    Dacă numitorul conține un radical de forma aba\sqrt{b}, amplifică fracția cu b\sqrt{b}. Numitorul devine a⋅ba \cdot b, un număr rațional, iar fracția ajunge în forma cerută de enunț.

  6. 6.Verifică prin estimare

    La un rezultat cu radicali, estimează-l între două numere întregi. Dacă ți-a ieșit 2≈3\sqrt{2} \approx 3, ai greșit undeva, pentru că 1<2<21 < \sqrt{2} < 2.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.O fracție cu puteri

    Calculează valoarea fracției 26⋅8245\dfrac{2^6 \cdot 8^2}{4^5}, folosind regulile de calcul cu puteri.

  2. 2.Sumă de radicali

    Calculează 72+\sqrt{72} +{}50− \sqrt{50} -{}18 \sqrt{18} și scrie rezultatul sub forma aba\sqrt{b}.

  3. 3.Raționalizarea numitorului

    Raționalizează numitorul fracției 1035\dfrac{10}{3\sqrt{5}} și simplifică rezultatul.

  4. 4.Între ce numere întregi este un radical

    Arată că 70\sqrt{70} este cuprins între 88 și 99.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul I, 5

Întrebarea 5. (0–5)

Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor a=32+42a = \sqrt{3^2 + 4^2} și b=b ={}32⋅42 \sqrt{3^2 \cdot 4^2}. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
AnaMariaDanVlad
1717191937374343
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul I, 5 (varianta 7). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

La bacalaureat

ce cere celălalt examen
La bacalaureat, puterile și radicalii au apărut în iunie 2023–2026 numai în itemul 1 al subiectului I, un item scurt de forma „Arătați că …”. După numărarea noastră, un astfel de item a fost cerut într-un singur an din patru la M_șt-nat și la M_pedagogic (2023), iar la M_mate-info și la M_tehnologic în niciun an.
Programa de bacalaureat este mai largă decât cea a Evaluării Naționale: cuprinde puterile cu exponent rațional, amn=a^{\frac{m}{n}} ={}amn \sqrt[n]{a^m}, și radicalii de ordin 33. La M_mate-info și la M_șt-nat se cer și radicalii de ordin nn. Metoda rămâne aceea de mai sus: aduci totul la o formă simplă și reduci termenii asemenea, ca în itemul de mai jos.
Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2023, matematică M_șt-nat — subiectul I, 1

Itemul 1. (0–5 p)

Arătați că 4−63+3(23−1)=14 - 6\sqrt{3} + 3\left(2\sqrt{3} - 1\right) = 1.

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2023, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul I, 1 (varianta 1). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

Rezultatul calculului 108+12\sqrt{108} + \sqrt{12} este egal cu:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

Enunțul „Numărul 30\sqrt{30} este cuprins între 66 și 77.” este:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 3. (0–1)

Calculați 6413+64^{\frac{1}{3}} +{}1253− \sqrt[3]{125} -{}4 \sqrt{4}.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 4. (0–5)

Patru elevi, Ioana, Andreea, Luca și Radu, determină numărul real xx din proporția 5−12=\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ={}x5+1 \frac{x}{\sqrt{5} + 1}. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
IoanaAndreeaLucaRadu
11223344
Răspunsul corect a fost obținut de către:

Subiectul I, 5, din Evaluarea Națională 2026, matematică (CNCE, sesiunea iunie, varianta 1) — explicație Kleksa

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Distribui radicalul peste adunare: 36+64=\sqrt{36 + 64} ={}36+64= \sqrt{36} + \sqrt{64} ={}14 14. Radicalul nu se distribuie peste adunare. Calculează întâi suma de sub radical: 100=10\sqrt{100} = 10.
  • Înmulțești exponenții când înmulțești puterile cu aceeași bază. Exponenții se adună: 23⋅24=2^3 \cdot 2^4 ={}27= 2^7 ={}128 128, nu 2122^{12}. Exponenții se înmulțesc numai când ridici o putere la altă putere: (23)4=212(2^3)^4 = 2^{12}.
  • Încurci (−3)2(-3)^2 cu −32-3^2. În primul caz baza este −3-3 și rezultatul 99; în al doilea numai 33 este ridicat la pătrat și rezultatul este −9-9.
  • Te oprești la prima scoatere de factori: 72=\sqrt{72} ={}218 2\sqrt{18}. Rezultatul nu este în forma finală, pentru că 18=9⋅218 = 9 \cdot 2 conține încă un pătrat. Caută de la început cel mai mare pătrat perfect, aici 3636.
  • Crezi că un exponent negativ dă un număr negativ: 2−3=−82^{-3} = -8. Semnul minus din exponent înseamnă inversul: 2−3=2^{-3} ={}123= \dfrac{1}{2^3} ={}18 \dfrac{1}{8}.

Reține

  • am⋅an=a^m \cdot a^n ={}am+n a^{m+n}, am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}, (am)n=(a^m)^n ={}am⋅n a^{m \cdot n}.
  • a0=1a^0 = 1 și a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, pentru a≠0a \neq 0.
  • a⋅b=\sqrt{a \cdot b} ={}a⋅b \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} și a2⋅b=\sqrt{a^2 \cdot b} ={}ab a\sqrt{b}, pentru a,b≥0a, b \geq 0.
  • cab=\dfrac{c}{a\sqrt{b}} ={}cba⋅b \dfrac{c\sqrt{b}}{a \cdot b}.
  • Pătrate: 112=12111^2 = 121, 122=14412^2 = 144, 132=16913^2 = 169, 142=19614^2 = 196, 152=22515^2 = 225.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Care sunt regulile de calcul cu puteri?+
    Răspuns:Pentru aceeași bază, la înmulțire exponenții se adună, am⋅an=a^m \cdot a^n ={}am+n a^{m+n}, la împărțire se scad, am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}, iar la ridicarea unei puteri la altă putere se înmulțesc, (am)n=(a^m)^n ={}am⋅n a^{m \cdot n}. Un produs se ridică la putere factor cu factor: (a⋅b)n=(a \cdot b)^n ={}an⋅bn a^n \cdot b^n.
  2. 2.Cum scot factorii de sub radical?+
    Răspuns:Descompune numărul de sub radical într-un produs în care un factor este pătrat perfect, apoi scoate rădăcina pătratului. De exemplu, 200=\sqrt{200} ={}100⋅2= \sqrt{100 \cdot 2} ={}102 10\sqrt{2}. Alege cel mai mare pătrat perfect care divide numărul, ca să nu mai fie nevoie de o a doua scoatere.
  3. 3.Cum raționalizez numitorul unei fracții?+
    Răspuns:Când numitorul este de forma aba\sqrt{b}, înmulțești numărătorul și numitorul cu b\sqrt{b}. Numitorul devine a⋅ba \cdot b, fiindcă b⋅b=\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} ={}b b. De exemplu, 63=\dfrac{6}{\sqrt{3}} ={}633= \dfrac{6\sqrt{3}}{3} ={}23 2\sqrt{3}. Programa Evaluării Naționale cere acest tip de numitor.
  4. 4.Cum compar 323\sqrt{2} cu 232\sqrt{3}?+
    Răspuns:Introdu factorii sub radical și compară numerele de sub radicali. Avem 32=3\sqrt{2} ={}9⋅2= \sqrt{9 \cdot 2} ={}18 \sqrt{18} și 23=2\sqrt{3} ={}4⋅3= \sqrt{4 \cdot 3} ={}12 \sqrt{12}. Cum 18>1218 > 12, rezultă că 32>233\sqrt{2} > 2\sqrt{3}.
  5. 5.Cât este a0a^0 și cât este a−na^{-n}?+
    Răspuns:Pentru orice număr real a≠0a \neq 0, a0=1a^0 = 1, iar a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}. De exemplu, 50=15^0 = 1 și 5−2=1255^{-2} = \dfrac{1}{25}. Expresia 000^0 nu are sens, iar 0−n0^{-n} nu există, pentru că ar însemna o împărțire la zero.
  6. 6.Apar puterile și radicalii la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:Da, în iunie 2023–2026 apar în 2 din 4 ani, în itemul 5 din subiectul I, în ambii ani sub forma unui tabel în care patru elevi dau câte un răspuns. În 2026, problema 2.b din subiectul al III-lea a cerut în plus o divizibilitate cu puteri ale lui 22. Regulile de aici se folosesc și în celelalte probleme din subiectul al III-lea, de exemplu pentru a scrie o lungime sub forma aba\sqrt{b}.
  7. 7.Ce se adaugă la bacalaureat?+
    Răspuns:Programa de bacalaureat cuprinde puterile cu exponent rațional și radicalii de ordin 33. La M_mate-info și la M_șt-nat se adaugă radicalii de ordin nn. În iunie 2023–2026 un item de calcul cu radicali a fost cerut doar în 2023, la M_șt-nat și la M_pedagogic.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.