Ce este o lege de compoziție?

Este o operație definită pe o mulțime, care dă pentru oricare două elemente $x$, $y$ un element $x * y$ al aceleiași mulțimi. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt legi de compoziție, dar la bacalaureat primești legi inventate, de forma $x * y = xy - 2x + 5$.

Cum arăt că o lege este asociativă?

Calculezi separat $(x * y) * z$ și $x * (y * z)$, cu litere, și arăți că obții aceeași expresie. Ajută forma factorizată a legii, pentru că rezultatul apare ca un produs de factori simetric în $x$, $y$, $z$. Un exemplu numeric nu este demonstrație.

Cum aflu elementul neutru?

Rezolvi ecuația $x * e = x$ în necunoscuta $e$, pentru orice $x$. Dacă legea este comutativă, această ecuație este suficientă. Rezultatul este un număr, nu o expresie în $x$. Apoi poți verifica pe un exemplu: $x * e$ trebuie să fie chiar $x$.

Cum aflu simetricul unui element?

Rezolvi ecuația $x * x' = e$ în necunoscuta $x'$, unde $e$ este elementul neutru. Pentru unele valori ale lui $x$ ecuația nu are soluție în mulțimea dată, iar atunci acel element nu este simetrizabil.

Cum aflu perechile (m, n) de numere întregi?

Aduci relația la forma $(m - a)(n - a) = k$, cu $k$ un număr întreg, apoi scrii toate perechile de divizori ai lui $k$, cu semnele lor, și revii la $m$ și $n$. La final păstrezi doar perechile care respectă condițiile din enunț.

Cum apar legile de compoziție la bacalaureat?

La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic, itemul 2 din subiectul al II-lea este o lege de compoziție sau un polinom: în iunie 2023–2026 legea a fost cerută la M_mate-info în 2 din 4 ani, iar la M_șt-nat și M_tehnologic în 3 din 4 ani. La M_pedagogic subiectul al II-lea este în fiecare an o singură lege, pe care cele șase itemuri o studiază pe rând.

Bacalaureat 2027 · matematică

Legi de compoziție la bacalaureat: element neutru, element simetric, asociativitate

O lege de compoziție este o regulă care dă, pentru două numere, un al treilea, de exemplu $x * y = xy - 2x + 5$ . La bacalaureat ți se cere să calculezi o valoare, să verifici o proprietate, să afli elementul neutru sau simetricul unui element sau să rezolvi o ecuație în care apare legea. Aici ai definițiile, metoda, patru exemple rezolvate cu aceeași lege și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La bac M_mate-info: în 2 din 4 ani; la M_șt-nat și M_tehnologic: în 3 din 4 ani; la M_pedagogic: în fiecare an 2023–2026.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Lege de compoziție pe o mulțime $M$ : o regulă care asociază fiecărei perechi $(x, y)$ din $M$ un element $x * y$ tot din $M$ . Se notează cu semne ca $*$ , $\ast$ , $\circ$ . Pentru o valoare, înlocuiești în formula legii $x = a$ și $y = b$ , ca la o funcție cu două variabile.
Comutativitate: $x * y = y * x$ pentru orice $x$ , $y$ din $M$ . Asociativitate: $(x * y) * z = x * (y * z)$ pentru orice $x$ , $y$ , $z$ din $M$ . Le arăți pentru litere, nu pentru numere: calculezi cei doi membri și obții aceeași expresie.
Element neutru: numărul $e$ cu $x * e = e * x = x$ pentru orice $x$ . Valoarea lui $e$ nu depinde de $x$ . Dacă legea este comutativă, ajunge ecuația $x * e = x$ , pe care o rezolvi în $e$ .
Element simetric: dacă legea are element neutru $e$ , simetricul lui $x$ este un $x'$ cu $x * x' = x' * x = e$ . Pentru legile comutative rezolvi ecuația $x * x' = e$ în necunoscuta $x'$ . Nu orice element are simetric.
Forma factorizată: $xy + px + py + q ={}$ $(x + p)(y + p) + q - p^2$ . Cu ea legea se citește mai ușor: neutrul, simetricele și ecuațiile se obțin din factorii $(x + p)$ și $(y + p)$ .
Grup: o mulțime cu o lege internă asociativă, cu element neutru, în care orice element are simetric. Programa M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic cuprinde grupurile și tabla operației; la M_pedagogic cuprinde legile de compoziție, cu proprietățile lor, și structurile monoid, grup, inel și corp. Partea stabilă este doar în programa de la M_mate-info.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Citește legea și mulțimea
Scrie formula legii și mulțimea pe care este definită: $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Z}$ sau un interval. Dacă ți se spune că legea este asociativă sau comutativă, folosește proprietatea, fără s-o mai demonstrezi.
2.Adu legea la o formă comodă
Grupează termenii în factori, dacă se poate: $xy + px + py + q ={}$ $(x + p)(y + p) + q - p^2$ . Pentru valori numerice înlocuiește direct, cu paranteze la numerele negative.
3.Alege proprietatea sau ecuația
Pentru o proprietate calculează cei doi membri cu litere și compară-i. Pentru neutru rezolvi $x * e = x$ în $e$ , pentru simetric $x * x' = e$ în $x'$ . Pentru $x * x * x$ aplici legea de două ori, în ordinea dată de asociativitate.
4.Rezolvă ecuația rezultată
Dacă legea este liniară în $x$ , obții o ecuație de gradul întâi. Pentru perechi de numere întregi cu o relație de forma $m * n = k$ factorizează membrul stâng și folosește divizorii lui $k$ .
5.Verifică înlocuind
Pune soluția în ecuația inițială, cu legea scrisă integral. Pentru neutru verifică $x * e = x$ și pe un exemplu numeric; pentru perechi verifică și condițiile din enunț, de exemplu $m < n$ .

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Valoarea și comutativitatea
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y ={}$ $2xy - 6x - 6y + 21$ . Calculează $4 * 6$ și arată că legea este comutativă.
2.Forma factorizată și asociativitatea
Pentru aceeași lege, $x * y ={}$ $2xy - 6x - 6y + 21$ , arată că $x * y ={}$ $2(x - 3)(y - 3) + 3$ și că legea este asociativă.
3.Elementul neutru și un simetric
Pentru legea $x * y ={}$ $2(x - 3)(y - 3) + 3$ , determină elementul neutru și simetricul numărului $5$ .
4.Perechi de numere întregi
Pentru legea $x * y ={}$ $2(x - 3)(y - 3) + 3$ , determină perechile $(m, n)$ de numere întregi, cu $m < n$ , pentru care $m * n = 7$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul al II-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–5 p)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y ={}

\dfrac{2}{3}(x - 3)(y - 3) +{}

3

. b) Determinați numerele reale

x

pentru care

x * \dfrac{3x}{2} = 5x

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 2.b) (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_pedagogic

Bacalaureat 2025, matematică M_pedagogic — subiectul al II-lea, 2

Itemul 2. (0–5 p)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \ast y ={}

xy - 6(x + y) + 14

. Arătați că legea de compoziție „

\ast

” este comutativă.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 2 (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în 2 din 4 ani (2023–2026)
- Grupuri (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: II.2 · 2026: II.2
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în 3 din 4 ani (2023–2026)
- Grupuri (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: II.2 · 2024: II.2 · 2025: II.2
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în 3 din 4 ani (2023–2026)
- Grupuri (clasa a XII-a)
Itemi: 2023: II.2 · 2024: II.2 · 2026: II.2
Toate noțiunile profilului
M_pedagogic
în fiecare an 2023–2026
- Structuri algebrice (clasa a XI-a)
Itemi: 2023: II.1–6 · 2024: II.1–6 · 2025: II.1–6 · 2026: II.1–6
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \ast y ={}

xy - 2x - 2y + 6

. Calculați

(-1) \ast 1

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \ast y = xy + x + y

. Determinați numărul real

x

pentru care

x \ast 3 = 8

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și comutativă

x \ast y ={}

xy + 4x + 4y + 12

. Știind că

e = -3

este elementul neutru al legii de compoziție „

\ast

”, determinați simetricul elementului

-1

față de această lege. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 4. (0–1)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și comutativă

x \ast y ={}

(x - 4)(y - 4) + 4

. Determinați elementul neutru al legii de compoziție „

\ast

”.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 5. (0–1)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și comutativă

x \ast y = x + y + 3

. Determinați numărul real

x

pentru care

x \ast x \ast x = 15

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Verifici comutativitatea sau asociativitatea pe numere. O egalitate pe câteva valori, de exemplu $2 * 3 = 3 * 2$ , nu demonstrează nimic; trebuie să arăți că cei doi membri coincid pentru orice $x$ , $y$ , $z$ din mulțime.
Găsești un „element neutru” care depinde de $x$ . Neutrul este un singur număr $e$ , valabil pentru toți $x$ . Dacă din $x * e = x$ îți iese $e$ în funcție de $x$ , ai greșit un calcul sau legea nu are neutru.
Confunzi simetricul cu neutrul. Simetricul lui $x$ verifică $x * x' = e$ , nu $x * x' = 0$ sau $1$ ; $0$ și $1$ sunt elementele neutre ale adunării și înmulțirii obișnuite, nu ale oricărei legi.
Calculezi $x * x * x$ ca $x^3$ sau $3x$ . Aici $*$ este legea dată, deci aplici formula de două ori: întâi $x * x$ , apoi rezultatul compus cu $x$ . Asociativitatea îți permite să grupezi oricum.
La perechi de numere întregi uiți divizorii negativi sau condiția din enunț. Pentru $(m - a)(n - a) = k$ scrie toate perechile de divizori, cu semnele lor, și păstrează doar perechile care respectă condițiile, de exemplu $m < n$ .

Reține

Comutativă: $x * y = y * x$ . Asociativă: $(x * y) * z = x * (y * z)$ .
Neutru: $x * e = e * x = x$ , pentru orice $x$ .
Simetric: $x * x' = x' * x = e$ .
$xy + px + py + q ={}$ $(x + p)(y + p) + q - p^2$ .
Legea asociativă permite $x * x * x = (x * x) * x$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Ce este o lege de compoziție?+
Răspuns:Este o operație definită pe o mulțime, care dă pentru oricare două elemente $x$ , $y$ un element $x * y$ al aceleiași mulțimi. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt legi de compoziție, dar la bacalaureat primești legi inventate, de forma $x * y = xy - 2x + 5$ .
2.Cum arăt că o lege este asociativă?+
Răspuns:Calculezi separat $(x * y) * z$ și $x * (y * z)$ , cu litere, și arăți că obții aceeași expresie. Ajută forma factorizată a legii, pentru că rezultatul apare ca un produs de factori simetric în $x$ , $y$ , $z$ . Un exemplu numeric nu este demonstrație.
3.Cum aflu elementul neutru?+
Răspuns:Rezolvi ecuația $x * e = x$ în necunoscuta $e$ , pentru orice $x$ . Dacă legea este comutativă, această ecuație este suficientă. Rezultatul este un număr, nu o expresie în $x$ . Apoi poți verifica pe un exemplu: $x * e$ trebuie să fie chiar $x$ .
4.Cum aflu simetricul unui element?+
Răspuns:Rezolvi ecuația $x * x' = e$ în necunoscuta $x'$ , unde $e$ este elementul neutru. Pentru unele valori ale lui $x$ ecuația nu are soluție în mulțimea dată, iar atunci acel element nu este simetrizabil.
5.Cum aflu perechile (m, n) de numere întregi?+
Răspuns:Aduci relația la forma $(m - a)(n - a) = k$ , cu $k$ un număr întreg, apoi scrii toate perechile de divizori ai lui $k$ , cu semnele lor, și revii la $m$ și $n$ . La final păstrezi doar perechile care respectă condițiile din enunț.
6.Cum apar legile de compoziție la bacalaureat?+
Răspuns:La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic, itemul 2 din subiectul al II-lea este o lege de compoziție sau un polinom: în iunie 2023–2026 legea a fost cerută la M_mate-info în 2 din 4 ani, iar la M_șt-nat și M_tehnologic în 3 din 4 ani. La M_pedagogic subiectul al II-lea este în fiecare an o singură lege, pe care cele șase itemuri o studiază pe rând.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Legi de compoziție la bacalaureat: element neutru, element simetric, asociativitate

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Citește legea și mulțimea

2.Adu legea la o formă comodă

3.Alege proprietatea sau ecuația

4.Rezolvă ecuația rezultată

5.Verifică înlocuind

Exemple rezolvate

1.Valoarea și comutativitatea

2.Forma factorizată și asociativitatea

3.Elementul neutru și un simetric

4.Perechi de numere întregi

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse