Ce este restul împărțirii unui polinom la $X - a$?

Este valoarea polinomului în $a$, adică $f(a)$. Împărțirea cu un polinom de gradul întâi dă un rest constant, iar teorema restului spune că acesta este tocmai $f(a)$. De exemplu, restul împărțirii lui $f$ la $X + 4$ este $f(-4)$. Nu mai e nevoie să faci împărțirea, dacă ți se cere doar restul.

Cum arăt că un polinom este divizibil cu $X - a$?

Calculezi $f(a)$ și arăți că este $0$. Aceasta este teorema lui Bézout: $f$ se divide cu $X - a$ exact când $a$ este rădăcină a lui $f$. Dacă polinomul are un parametru, scrii $f(a) = 0$ și rezolvi ecuația în parametru, apoi verifici valoarea găsită.

Cum funcționează schema lui Horner?

Scrii coeficienții lui $f$ pe un rând, cu $0$ la puterile lipsă. Coboară primul coeficient, apoi fiecare coeficient nou este coeficientul din $f$ plus $a$ ori ultimul coeficient obținut. Numerele obținute, în afară de ultimul, sunt coeficienții câtului, iar ultimul este restul. Schema merge doar la împărțirea cu $X - a$.

Care sunt relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea?

Pentru $f = aX^3 + bX^2 + cX + d$ cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$: $x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}$ și $x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$. La bacalaureat nu primești formule, deci trebuie să le știi pe de rost, cu semnele lor.

Cum calculez $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ fără să aflu rădăcinile?

Ridici la pătrat suma rădăcinilor și scazi dublul sumei produselor luate câte două: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2\left(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\right)$. Ambele sume le iei din relațiile lui Viète, direct din coeficienți.

Ce se cere din teoria polinoamelor la M_tehnologic?

Programa de M_tehnologic cuprinde forma algebrică, operațiile, teorema împărțirii cu rest, împărțirea cu $X - a$ și schema lui Horner, divizibilitatea și teorema lui Bézout, rădăcinile și relațiile lui Viète pentru polinoame de gradul cel mult $3$. Descompunerea în factori ireductibili și c.m.m.d.c. al polinoamelor sunt la M_mate-info și M_șt-nat.

În ce subiect apar polinoamele la bacalaureat?

În iunie 2023–2026, problema 2 din subiectul al II-lea a fost în fiecare an, la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic, fie un polinom, fie o lege de compoziție. M_pedagogic nu are polinoame în programă: acolo subiectul al II-lea este numai despre legi de compoziție.

Bacalaureat 2027 · matematică

Polinoame la bacalaureat: împărțirea polinoamelor, schema lui Horner, relațiile lui Viète

La bacalaureat, problema 2 din subiectul al II-lea cere, când nu este o lege de compoziție, să lucrezi cu un polinom: calculezi $f(a)$ , afli restul sau câtul unei împărțiri, găsești un parametru din condiția că $f$ se divide cu $X - a$ sau calculezi o expresie în rădăcinile $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ . Aici ai regulile, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu barem.

La M_mate-info: în 2 din 4 ani (2023–2026), subiectul al II-lea, problema 2; la M_șt-nat și M_tehnologic: în 1 din 4 ani.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Un polinom de gradul $n$ are forma $f ={}$ $a_nX^n +{}$ $\dots + a_1X +{}$ $a_0$ , cu $a_n \neq 0$ . Valoarea lui în $a$ este $f(a)$ : înlocuiești $X$ cu $a$ și calculezi. Numărul $a$ este rădăcină a lui $f$ când $f(a) = 0$ .
Teorema împărțirii cu rest: pentru polinoamele $f$ și $g \neq 0$ există polinoamele $q$ (câtul) și $r$ (restul), unice, cu $f = g \cdot q + r$ și gradul lui $r$ mai mic decât gradul lui $g$ (sau $r = 0$ ). La împărțirea cu un polinom de gradul $2$ restul are gradul cel mult $1$ .
Teorema restului și teorema lui Bézout: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f(a)$ . Prin urmare $f$ se divide cu $X - a$ exact când $f(a) = 0$ . La $X + 3$ restul este $f(-3)$ .
Schema lui Horner împarte la $X - a$ fără să scrii împărțirea: coboară primul coeficient al lui $f$ , apoi fiecare coeficient al câtului este coeficientul următor al lui $f$ plus $a$ ori coeficientul de dinainte. Ultimul număr obținut este restul $f(a)$ . Coeficienții lipsă se scriu $0$ .
Relațiile lui Viète pentru $f ={}$ $aX^3 + bX^2 + cX + d$ cu rădăcinile $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ : $x_1 + x_2 + x_3 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ , $x_1x_2 +{}$ $x_1x_3 +{}$ $x_2x_3 ={}$ $\dfrac{c}{a}$ , $x_1x_2x_3 ={}$ $-\dfrac{d}{a}$ . La gradul $2$ : $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ și $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
Sumele de puteri se scot din relațiile lui Viète fără să afli rădăcinile: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2\left(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\right)$ . Dacă $x_k$ este rădăcină, $f(x_k) = 0$ , deci $x_k^3$ se scrie cu puteri mai mici ale lui $x_k$ .
Programa cere relațiile lui Viète pentru polinoame de gradul cel mult $4$ la M_șt-nat și de gradul cel mult $3$ la M_tehnologic; programa de M_mate-info nu fixează gradul. Descompunerea în factori ireductibili și c.m.m.d.c. al polinoamelor apar doar la M_mate-info și M_șt-nat.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Citește ce ți se dă și ce ți se cere
Notează gradul polinomului, parametrul (de exemplu $m$ ) și ce urmărește itemul: o valoare, un rest, o divizibilitate, o rădăcină sau o expresie în $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ . Din asta rezultă instrumentul.
2.Alege instrumentul potrivit
Valoare sau rest la împărțirea cu $X - a$ : calculezi $f(a)$ . Divizibilitate cu $X - a$ : impui $f(a) = 0$ . Cât și rest la împărțirea cu un polinom oarecare: schema lui Horner sau împărțirea obișnuită. Sumă, produs sau altă expresie în rădăcini: relațiile lui Viète.
3.Scrie coeficienții cu semnul lor
Pentru Viète și pentru Horner scrie întâi coeficienții în ordinea puterilor, cu semn și cu $0$ la puterile care lipsesc: $X^3 - 7X + 6$ are coeficienții $1, 0, -7, 6$ . Citește cu atenție semnele lui $b$ și $d$ când le pui în relațiile lui Viète.
4.Transformă expresia dată
Dacă expresia din enunț este simetrică în rădăcini, adu-o la sume și produse: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ se scrie cu suma rădăcinilor și cu suma produselor lor luate câte două, iar $\dfrac{1}{x_1} +{}$ $\dfrac{1}{x_2} +{}$ $\dfrac{1}{x_3}$ se aduce la numitor comun. Dacă un parametru apare în coeficienți, el apare și în rezultat.
5.Rezolvă ecuația și verifică
Obții o ecuație în parametru sau o valoare numerică. Rezolvă-o și verifică într-un caz simplu: înlocuiește valoarea găsită în polinom și vezi dacă $f(a) = 0$ sau dacă rădăcinile au suma cerută.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Divizibilitate și parametru
Se consideră polinomul $f = X^3 - 4X^2 + mX + 6$ , unde $m$ este număr real. Determină numărul real $m$ pentru care $f$ este divizibil cu $X - 3$ .
2.Câtul și restul prin schema lui Horner
Determină câtul și restul împărțirii polinomului $f ={}$ $2X^3 - 5X^2 + 3X + 4$ la $X - 2$ .
3.Suma pătratelor rădăcinilor
Rădăcinile polinomului $f ={}$ $X^3 - 6X^2 + 5X + 12$ sunt $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ . Calculează $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ fără să afli rădăcinile.
4.Descompunerea în factori
Arată că $f = X^3 - 7X + 6$ se divide cu $X - 1$ și descompune $f$ în factori de gradul întâi.

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2025, matematică M_mate-info — subiectul al II-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–5 p)

Se consideră polinomul

f ={}

aX^3 + 3X^2 - aX - 6

, unde

a

este număr real nenul. b) Pentru

a = 1

, determinați câtul și restul împărțirii polinomului

f

la polinomul

g = X^2 + 3X - 1

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 2.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEM_tehnologic

Bacalaureat 2025, matematică M_tehnologic — subiectul al II-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–5 p)

Se consideră polinomul

f = X^3 - 3X^2 + X + m

, unde

m

este număr real. b) Determinați numărul real

m

pentru care

2x_1 + 2x_2 + 2x_3 ={}

1 + x_1 x_2 x_3

, unde

x_1

x_2

și

x_3

sunt rădăcinile polinomului

f

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 2.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în 2 din 4 ani (2023–2026)
- Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp (clasa a XII-a)
Itemi: 2024: II.2 · 2025: II.2
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în 1 din 4 ani (2023–2026)
- Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp (clasa a XII-a)
Itemi: 2026: II.2
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în 1 din 4 ani (2023–2026)
- Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp (clasa a XII-a)
Itemi: 2025: II.2
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–2)

Se consideră polinoamele

f ={}

X^4 + 2X^3 + X^2 + 3X + 1

și

g = X^2 + 3X + 2

. Determinați câtul

q

și restul

r

ale împărțirii polinomului

f

la polinomul

g

q =

r =

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră polinomul

f = X^3 - 4X + m

, unde

m

este număr real. Determinați numărul real

m

, știind că

-1

este rădăcină a polinomului

f

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră polinomul

f ={}

X^3 - 8X^2 + 18X - 12

, cu rădăcinile

x_1

x_2

și

x_3

. Calculați

\dfrac{1}{x_1} +{}

\dfrac{1}{x_2} +{}

\dfrac{1}{x_3}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 4. (0–1)

Se consideră polinomul

f ={}

X^4 - 2X^3 + mX^2 + X - 3

, unde

m

este număr real. Pentru

m = 2

, determinați restul împărțirii polinomului

f

la polinomul

g = X + 2

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 5. (0–1)

Se consideră polinomul

f ={}

X^3 - 10X^2 + 31X - 30

. Determinați rădăcinile polinomului

f

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Folosești semnul greșit la împărțirea cu $X + 3$ . Restul împărțirii la $X + 3 = X - (-3)$ este $f(-3)$ , nu $f(3)$ . Scrie întâi $X - a$ și abia apoi alege $a$ .
Uiți semnul din relațiile lui Viète. Pentru $f = X^3 + bX^2 + cX + d$ , suma rădăcinilor este $-b$ , iar produsul lor este $-d$ ; doar suma produselor luate câte două este $+c$ . Verifică-te pe un polinom cu rădăcini cunoscute.
Nu împarți la coeficientul dominant. Dacă $f ={}$ $2X^3 - 5X^2 + \dots$ , suma rădăcinilor este $-\dfrac{-5}{2}$ , nu $5$ . În relațiile lui Viète apare întotdeauna împărțirea la $a$ .
Sari peste coeficienții zero la Horner. Pentru $X^3 - 7X + 6$ scrii $1, 0, -7, 6$ ; dacă scrii $1, -7, 6$ , câtul iese greșit.
Scrii restul cu gradul prea mare. Restul trebuie să aibă gradul mai mic decât al împărțitorului: la împărțirea cu $X^2 + 3X - 1$ restul are cel mult gradul $1$ . Dacă îți iese un rest de gradul $2$ , mai poți împărți.

Reține

Restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f(a)$ ; $f$ se divide cu $X - a$ exact când $f(a) = 0$ .
$f = g \cdot q + r$ , cu $\operatorname{grad} r < \operatorname{grad} g$ .
Viète, gradul $2$ : $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ , $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
Viète, gradul $3$ : suma rădăcinilor $= -\dfrac{b}{a}$ , suma produselor lor câte două $= \dfrac{c}{a}$ , produsul rădăcinilor $= -\dfrac{d}{a}$ .
$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 ={}$ $(\text{suma rădăcinilor})^2 -{}$ $2 \cdot (\text{suma produselor câte două})$ .
Horner: fiecare coeficient al câtului este coeficientul lui $f$ plus $a$ ori coeficientul de dinainte.

Întrebări și răspunsuri

1.Ce este restul împărțirii unui polinom la $X - a$ ?+
Răspuns:Este valoarea polinomului în $a$ , adică $f(a)$ . Împărțirea cu un polinom de gradul întâi dă un rest constant, iar teorema restului spune că acesta este tocmai $f(a)$ . De exemplu, restul împărțirii lui $f$ la $X + 4$ este $f(-4)$ . Nu mai e nevoie să faci împărțirea, dacă ți se cere doar restul.
2.Cum arăt că un polinom este divizibil cu $X - a$ ?+
Răspuns:Calculezi $f(a)$ și arăți că este $0$ . Aceasta este teorema lui Bézout: $f$ se divide cu $X - a$ exact când $a$ este rădăcină a lui $f$ . Dacă polinomul are un parametru, scrii $f(a) = 0$ și rezolvi ecuația în parametru, apoi verifici valoarea găsită.
3.Cum funcționează schema lui Horner?+
Răspuns:Scrii coeficienții lui $f$ pe un rând, cu $0$ la puterile lipsă. Coboară primul coeficient, apoi fiecare coeficient nou este coeficientul din $f$ plus $a$ ori ultimul coeficient obținut. Numerele obținute, în afară de ultimul, sunt coeficienții câtului, iar ultimul este restul. Schema merge doar la împărțirea cu $X - a$ .
4.Care sunt relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea?+
Răspuns:Pentru $f ={}$ $aX^3 + bX^2 + cX + d$ cu rădăcinile $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ : $x_1 + x_2 + x_3 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ , $x_1x_2 +{}$ $x_1x_3 +{}$ $x_2x_3 ={}$ $\dfrac{c}{a}$ și $x_1x_2x_3 ={}$ $-\dfrac{d}{a}$ . La bacalaureat nu primești formule, deci trebuie să le știi pe de rost, cu semnele lor.
5.Cum calculez $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ fără să aflu rădăcinile?+
Răspuns:Ridici la pătrat suma rădăcinilor și scazi dublul sumei produselor luate câte două: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2\left(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\right)$ . Ambele sume le iei din relațiile lui Viète, direct din coeficienți.
6.Ce se cere din teoria polinoamelor la M_tehnologic?+
Răspuns:Programa de M_tehnologic cuprinde forma algebrică, operațiile, teorema împărțirii cu rest, împărțirea cu $X - a$ și schema lui Horner, divizibilitatea și teorema lui Bézout, rădăcinile și relațiile lui Viète pentru polinoame de gradul cel mult $3$ . Descompunerea în factori ireductibili și c.m.m.d.c. al polinoamelor sunt la M_mate-info și M_șt-nat.
7.În ce subiect apar polinoamele la bacalaureat?+
Răspuns:În iunie 2023–2026, problema 2 din subiectul al II-lea a fost în fiecare an, la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic, fie un polinom, fie o lege de compoziție. M_pedagogic nu are polinoame în programă: acolo subiectul al II-lea este numai despre legi de compoziție.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Polinoame la bacalaureat: împărțirea polinoamelor, schema lui Horner, relațiile lui Viète

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Citește ce ți se dă și ce ți se cere

2.Alege instrumentul potrivit

3.Scrie coeficienții cu semnul lor

4.Transformă expresia dată

5.Rezolvă ecuația și verifică

Exemple rezolvate

1.Divizibilitate și parametru

2.Câtul și restul prin schema lui Horner

3.Suma pătratelor rădăcinilor

4.Descompunerea în factori

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse