Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Ecuații, inecuații și sisteme de ecuații liniare pentru Evaluarea Națională

O ecuație liniară se rezolvă ca o balanță: ce faci într-un membru faci și în celălalt. La inecuații regula este aceeași, cu o excepție: când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă. Un sistem de două ecuații cu două necunoscute se rezolvă prin substituție sau prin reducere, iar o problemă de text se transformă într-o ecuație. Aici ai metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, mai ales ca problemă de text din subiectul al III-lea (problema 1), rezolvată cu o ecuație sau cu un sistem; uneori și în subiectul I.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Ecuația de forma ax+b=0ax + b = 0, cu a≠0a \neq 0, are o singură soluție, x=−bax = -\dfrac{b}{a}. Mulțimea soluțiilor este formată din acest număr. Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime a soluțiilor.
  • Ca să rezolvi o ecuație, aduci termenii cu necunoscuta într-un membru și numerele în celălalt, apoi împarți la coeficientul lui xx. Ai voie să aduni sau să scazi același număr în ambii membri și să înmulțești sau să împarți ambii membri cu un număr nenul; așa obții ecuații echivalente.
  • Inecuația ax+b>0ax + b > 0 (la fel ≥\geq, <<, ≤\leq) se rezolvă la fel, cu o regulă în plus: când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă. Soluția este un interval; capătul care face parte din soluție se scrie cu paranteză dreaptă, cel care nu face parte cu paranteză rotundă, iar la ±∞\pm\infty paranteza este mereu rotundă.
  • Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute are ca soluție o pereche (x,y)(x, y) care verifică ambele ecuații. Metoda substituției: scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă. Metoda reducerii: înmulțești ecuațiile astfel încât o necunoscută să aibă coeficienți opuși, apoi aduni ecuațiile.
  • Problema de text se rezolvă în patru pași: alegi necunoscuta, scrii ecuația (sau sistemul) pe care o dă enunțul, o rezolvi și verifici dacă rezultatul are sens (un număr de elevi este natural, un preț este pozitiv).

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Stabilește ce ți se cere

    Vezi dacă ai de rezolvat o ecuație, o inecuație sau un sistem și ce fel de răspuns se cere: un număr, un interval sau o pereche de numere. La o problemă de text, notează cu xx (și cu yy) mărimile necunoscute și scrie ce reprezintă fiecare.

  2. 2.Desfă parantezele și redu termenii asemenea

    Înmulțește numerele cu parantezele. Dacă ai fracții, înmulțește ambii membri cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, ca să scapi de ele. Apoi redu termenii asemenea în fiecare membru.

  3. 3.Separă necunoscuta

    Mută termenii cu xx într-un membru și numerele în celălalt, schimbându-le semnul când treci peste semnul egal. Împarte la coeficientul lui xx. La o inecuație, dacă împarți la un număr negativ, schimbă sensul inegalității.

  4. 4.La sistem, alege metoda

    Dacă o necunoscută are coeficientul 11 sau −1-1, folosește substituția. Dacă o necunoscută are coeficienți egali sau opuși în cele două ecuații, folosește reducerea: adună sau scade ecuațiile. Elimini astfel o necunoscută și ajungi la o ecuație cu o singură necunoscută.

  5. 5.Scrie soluția în forma cerută

    Scrie mulțimea soluțiilor pentru o ecuație, intervalul pentru o inecuație și perechea (x,y)(x, y) pentru un sistem. Dacă problema este de text, răspunde la întrebarea pusă, nu doar la valoarea lui xx.

  6. 6.Verifică

    Înlocuiește soluția în ecuația inițială (în ambele ecuații, la sistem) sau încearcă un număr din intervalul găsit. La o problemă de text, verifică și condițiile din enunț.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Ecuație cu fracții

    Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația x2+3=\dfrac{x}{2} + 3 ={}x3+4 \dfrac{x}{3} + 4.

  2. 2.Inecuație

    Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația 3(x−1)≥2x+43(x - 1) \geq 2x + 4 și scrie soluția ca interval.
    x5678910

  3. 3.Sistem rezolvat prin reducere

    Rezolvă sistemul de ecuații {2x+3y=124x−3y=6\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}.

  4. 4.Problemă de text

    Într-o cutie sunt 4040 de bile, roșii și albastre. Bilele roșii sunt cu 88 mai multe decât cele albastre. Determină numărul bilelor roșii.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul I, 6

Întrebarea 6. (0–5)

Afirmația: „Numărul 11 este soluția ecuației 2x+3=4x+12x + 3 = 4x + 1.” este:

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul I, 6 (varianta 7). Răspuns după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 1.b)

Problema 1.b) (0–3 p)

Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte 1818 lei, mai sunt necesari 3030 de lei. b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte 2424 de lei, atunci sunt în plus 1212 lei. Determină cât costă mingea.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 1.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

Soluția ecuației 3(x+4)=173(x + 4) = 17 este numărul:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației −3x+10>22-3x + 10 > 22 este intervalul:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

Soluția sistemului de ecuații {3x−y=13x−2y=−4\begin{cases} 3x - y = 1 \\ 3x - 2y = -4 \end{cases} este perechea de numere (x,y)(x, y):

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Nu schimbi sensul inegalității când împarți la un număr negativ. Din −2x>6-2x > 6 rezultă x<−3x < -3, nu x>−3x > -3. Ca să prinzi greșeala, alege un număr din intervalul găsit și înlocuiește-l în inecuația inițială.
  • Treci un termen peste semnul egal fără să-i schimbi semnul. Din x+5=9x + 5 = 9 rezultă x=9−5x = 9 - 5, nu x=9+5x = 9 + 5. Verifică mereu soluția în ecuația de la care ai plecat.
  • Scrii intervalul cu paranteza greșită. Pentru x≥7x \geq 7 capătul 77 face parte din soluție: [7,+∞)[7, +\infty); pentru x>7x > 7 nu face parte: (7,+∞)(7, +\infty). Lângă ∞\infty paranteza este mereu rotundă.
  • Înmulțești doar un termen al ecuației când vrei să obții coeficienți opuși la un sistem. Înmulțește ambii membri ai ecuației, toți termenii: din x+y=5x + y = 5 înmulțită cu 22 obții 2x+2y=102x + 2y = 10, nu 2x+y=102x + y = 10.
  • Te oprești la valoarea lui xx, deși întrebarea cere altceva. În problema cu bile, necunoscuta aa este numărul bilelor albastre, iar întrebarea este despre cele roșii. Recitește enunțul înainte de a scrie răspunsul.

Reține

  • ax+b=ax + b ={}0⇒x= 0 \Rightarrow x ={}−ba -\dfrac{b}{a}, pentru a≠0a \neq 0.
  • Înmulțire sau împărțire cu un număr negativ la o inecuație: sensul inegalității se schimbă.
  • x≥m⇔x∈[m,+∞)x \geq m \Leftrightarrow x \in [m, +\infty); x<m⇔x∈(−∞,m)x < m \Leftrightarrow x \in (-\infty, m).
  • Sistem: metoda substituției sau metoda reducerii; soluția este o pereche (x,y)(x, y), verificată în ambele ecuații.
  • Problemă de text: necunoscută, ecuație, rezolvare, verificare cu enunțul.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Cum rezolv o ecuație de forma ax+b=0ax + b = 0?+
    Răspuns:Muți termenul bb în celălalt membru, cu semn schimbat, și obții ax=−bax = -b. Apoi împarți ambii membri la aa, cu a≠0a \neq 0: x=−bax = -\dfrac{b}{a}. Dacă ecuația are paranteze sau fracții, le desfaci întâi și reduci termenii asemenea. La final, verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială.
  2. 2.Când se schimbă sensul unei inegalități?+
    Răspuns:Sensul se schimbă când înmulțești sau împarți ambii membri ai inegalității cu un număr negativ: din −x>2-x > 2 rezultă x<−2x < -2. Când aduni sau scazi același număr, sau când înmulțești ori împarți cu un număr pozitiv, sensul rămâne același.
  3. 3.Cum scriu soluția unei inecuații ca interval?+
    Răspuns:Pornești de la forma x≥mx \geq m sau x<mx < m și alegi parantezele. Un capăt care face parte din soluție (≥\geq sau ≤\leq) se scrie cu paranteză dreaptă, un capăt care nu face parte din soluție (>> sau <<) se scrie cu paranteză rotundă. Lângă +∞+\infty și −∞-\infty paranteza este mereu rotundă.
  4. 4.Când folosesc substituția și când reducerea?+
    Răspuns:Substituția este comodă când o necunoscută apare cu coeficientul 11 sau −1-1, pentru că o scoți ușor dintr-o ecuație. Reducerea este comodă când o necunoscută are în cele două ecuații coeficienți egali sau opuși, sau când îi poți face așa înmulțind o ecuație cu un număr. Ambele metode dau aceeași soluție.
  5. 5.Cum verific soluția unui sistem?+
    Răspuns:Înlocuiești perechea (x,y)(x, y) în fiecare dintre cele două ecuații. Perechea este soluție numai dacă ambele ecuații devin egalități adevărate. Dacă una singură se verifică, ai greșit undeva la rezolvare.
  6. 6.Cum transform o problemă de text într-o ecuație?+
    Răspuns:Citești enunțul și alegi ca necunoscută mărimea cerută sau una din care o poți afla ușor. Apoi scrii aceeași mărime în două feluri, ca în problema cu mingea, sau o relație între mărimi, și le pui egale. După ce rezolvi ecuația, verifici dacă soluția are sens în problemă: un număr de copii trebuie să fie natural.
  7. 7.Cum apar ecuațiile și sistemele la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026, problema 1 din subiectul al III-lea a fost în fiecare an o problemă de text cu ecuații sau cu un sistem. În 2024 itemul 6 din subiectul I a cerut să stabilești dacă un număr este soluția unei ecuații, iar în 2025 itemul 4 a cerut soluția unei ecuații.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.