Numărul $i$ este unitatea imaginară, definită prin $i^2 = -1$. Nu există un număr real cu pătratul $-1$, așa că $i$ extinde mulțimea numerelor reale la numerele complexe $a + bi$. Calculezi cu $i$ ca cu o literă, iar oriunde apare $i^2$ scrii $-1$.

Cum calculez i la o putere mare?

Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $i, -1, -i, 1$. Împarte exponentul la $4$ și folosește restul. De exemplu, $i^{50}$: $50 = 4 \cdot 12 + 2$, deci $i^{50} = i^2 = -1$. Dacă restul este $0$, rezultatul este $1$.

Cum împart două numere complexe?

Amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Numitorul devine $c^2 + d^2$, un număr real pozitiv, iar la numărător desfaci parantezele și înlocuiești $i^2$ cu $-1$. La final împarți partea reală și partea imaginară la numitor.

La ce folosește conjugatul unui număr complex?

Conjugatul $\overline{z} = a - bi$ face din $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$ un număr real și îți permite să împarți numere complexe. Mai folosești $z + \overline{z} = 2a$ pentru partea reală și $z - \overline{z} = 2bi$ pentru partea imaginară.

Ce profiluri de bacalaureat au numere complexe?

Programa de bacalaureat are numere complexe sub formă algebrică, cu conjugat și operații, la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic. M_pedagogic nu le are. În iunie 2023–2026, CNCE le-a pus în itemul 1 din subiectul I la M_mate-info în 3 din 4 ani, iar la M_șt-nat și M_tehnologic în niciunul.

Cum rezolv o ecuație de gradul al doilea cu discriminant negativ?

Calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$. Dacă $\Delta < 0$, nu există rădăcini reale, dar în mulțimea numerelor complexe ai $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Rădăcinile sunt conjugate: au aceeași parte reală și părți imaginare opuse.

Bacalaureat 2027 · matematică

Numere complexe pentru bacalaureat: forma algebrică, conjugatul, operațiile

Un număr complex are forma $z = a + bi$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale, iar $i^2 = -1$ . Cu el calculezi ca în algebra obișnuită, cu o singură regulă în plus: oriunde apare $i^2$ , scrii $-1$ . La bacalaureat, itemurile cu numere complexe cer să aduci o expresie la forma algebrică sau să arăți o egalitate. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple, două subiecte CNCE cu barem și itemuri de verificare.

La M_mate-info: în 3 din 4 ani, în itemul 1 din subiectul I; la M_șt-nat și M_tehnologic: în niciun an din 2023–2026.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Forma algebrică: $z = a + bi$ , cu $a, b \in \mathbb{R}$ și $i^2 = -1$ . Numărul $a$ este partea reală, $a ={}$ $\operatorname{Re} z$ , iar $b$ este partea imaginară, $b ={}$ $\operatorname{Im} z$ . Două numere complexe sunt egale când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară.
Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $i^1 = i$ , $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ . Ca să calculezi $i^n$ , împarți pe $n$ la $4$ și te uiți la rest: restul $0$ dă $1$ , restul $1$ dă $i$ , restul $2$ dă $-1$ , restul $3$ dă $-i$ .
Operațiile: adunarea și scăderea se fac separat pe părțile reale și imaginare. Pentru produs desfaci parantezele și înlocuiești $i^2$ : $(a + bi)(c + di) ={}$ $(ac - bd) + (ad + bc)i$ .
Conjugatul lui $z = a + bi$ este $\overline{z} = a - bi$ . Avem $z + \overline{z} = 2a$ și $z - \overline{z} ={}$ $2bi$ , iar $z \cdot \overline{z} ={}$ $a^2 + b^2$ este un număr real. Conjugatul numitorului te ajută să împarți.
Câtul: $\dfrac{z_1}{z_2} ={}$ $\dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}$ . Numitorul devine un număr real, iar câtul revine la forma algebrică.
Interpretarea geometrică: numărul $z = a + bi$ corespunde punctului $M(a, b)$ din plan. Programa de la M_mate-info și M_șt-nat cere interpretarea geometrică a adunării și a scăderii numerelor complexe și a înmulțirii lor cu un număr real. Modulul, $|z| ={}$ $\sqrt{a^2 + b^2}$ , nu este numit în programa de bacalaureat; îl poți folosi doar ca scriere scurtă pentru $|z|^2 ={}$ $z \cdot \overline{z}$ .
Ecuația de gradul al doilea în $\mathbb{C}$ : dacă $\Delta < 0$ , rădăcinile sunt numere complexe conjugate, $z_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ . Ecuația cu coeficienți reali are deci două rădăcini în $\mathbb{C}$ în orice caz.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Desfă parantezele ca în algebră
Efectuează adunările și înmulțirile cu $i$ ca și cu o literă, fără să te gândești încă la proprietățile lui $i$ . Păstrează fiecare termen cu semnul lui.
2.Înlocuiește $i^2$ cu $-1$
Oriunde apare $i^2$ , scrie $-1$ ; pentru puteri mai mari folosește perioada de patru a puterilor lui $i$ . Un produs ca $(3 - i)(3 + i)$ devine $9 - i^2 = 9 + 1 = 10$ .
3.Grupează partea reală și partea imaginară
Adună între ele termenii fără $i$ și, separat, coeficienții lui $i$ . Scrie rezultatul sub forma $a + bi$ și numește cele două părți.
4.La câturi, amplifică cu conjugatul numitorului
Înmulțește numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului. Numitorul $c + di$ devine $c^2 + d^2$ , deci este real și poți despărți fracția în partea reală și cea imaginară.
5.Verifică
Recitește enunțul: dacă ți se cere un număr real, partea imaginară trebuie să fie $0$ . Pentru o egalitate de arătat, ajungi la aceeași valoare pe ambele părți. Pentru o ecuație, înlocuiește rădăcinile în ea.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Produsul a două numere complexe
Se consideră numerele complexe $z_1 = 3 + 2i$ și $z_2 = 2 - i$ . Determină partea reală și partea imaginară a numărului $z_1 \cdot z_2$ .
2.Puterile lui i
Calculează suma $S ={}$ $1 +{}$ $i +{}$ $i^2 +{}$ $i^3 +{}$ $\ldots + i^{2026}$ .
3.Câtul a două numere complexe
Scrie sub forma $a + bi$ numărul $\dfrac{3 + i}{1 - 2i}$ .
4.Ecuația de gradul al doilea în mulțimea numerelor complexe
Rezolvă în mulțimea numerelor complexe ecuația $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul I, 1

Itemul 1. (0–5 p)

Se consideră numărul complex

z = 3 - i

. Arătați că

z(z + 2i) = 10

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 1 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2025, matematică M_mate-info — subiectul I, 1

Itemul 1. (0–5 p)

Se consideră numerele complexe

z_1 = 1 - i

și

z_2 = 2 + i

. Arătați că

2z_1 + iz_2 = 1

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 1 (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în 3 din 4 ani (2023–2026)
- Mulțimi de numere (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.1 · 2025: I.1 · 2026: I.1
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în niciun an din 2023–2026
- Mulțimi de numere (clasa a X-a)
Itemi: niciun item în iunie 2023–2026
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în niciun an din 2023–2026
- Mulțimi de numere (clasa a X-a)
Itemi: niciun item în iunie 2023–2026
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră numerele complexe

z_1 = 2 - 5i

și

z_2 = 4 - 3i

. Determinați partea reală și partea imaginară a numărului complex

z = z_1 + i \cdot z_2

\operatorname{Re} z =

\operatorname{Im} z =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră numărul complex

z = -2 - 5i

. Calculați

z \cdot \overline{z} -{}

z -{}

\overline{z}

, unde

\overline{z}

este conjugatul numărului complex

z

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră numerele complexe

z_1 = 3 + 4i

și

z_2 = 1 + 2i

. Determinați partea reală și partea imaginară a numărului complex

z = z_1 \cdot z_2

\operatorname{Re} z =

\operatorname{Im} z =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 4. (0–1)

Se consideră numărul complex

z = 5 + 2i

. Calculați

z^2 + \overline{z}^2

, unde

\overline{z}

este conjugatul numărului complex

z

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Scrii $i^2 = 1$ în loc de $i^2 = -1$ . Atunci $(1 + i)^2 ={}$ $1 + 2i + i^2 ={}$ $1 + 2i - 1 ={}$ $2i$ , nu $2 + 2i$ . Dacă semnul lui $i^2$ e greșit, tot rezultatul e greșit.
Înmulțești părțile „pe componente”: $(a + bi)(c + di)$ nu este $ac + bdi$ . Trebuie să desfaci toate cele patru produse, inclusiv $bd \cdot i^2$ , care schimbă semnul și intră în partea reală.
Conjugatul schimbă semnul părții imaginare, nu pe al celei reale: conjugatul lui $3 + 2i$ este $3 - 2i$ , nu $-3 + 2i$ .
Împarți „pe părți” sau lași $i$ la numitor. Un cât se calculează amplificând cu conjugatul numitorului, ca numitorul să devină un număr real.
Spui că ecuația de gradul al doilea cu $\Delta < 0$ nu are soluții. Nu are soluții reale, dar în mulțimea numerelor complexe are două, conjugate una alteia.

Reține

$i^2 = -1$ ; $i^3 = -i$ ; $i^4 = 1$ , apoi puterile se repetă din patru în patru.
$(a + bi)(c + di) ={}$ $(ac - bd) + (ad + bc)i$ .
$\overline{a + bi} ={}$ $a - bi$ și $z \cdot \overline{z} ={}$ $a^2 + b^2$ .
$\dfrac{z_1}{z_2} ={}$ $\dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}$ .
Dacă $\Delta < 0$ : $z_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Ce este numărul i?+
Răspuns:Numărul $i$ este unitatea imaginară, definită prin $i^2 = -1$ . Nu există un număr real cu pătratul $-1$ , așa că $i$ extinde mulțimea numerelor reale la numerele complexe $a + bi$ . Calculezi cu $i$ ca cu o literă, iar oriunde apare $i^2$ scrii $-1$ .
2.Cum calculez i la o putere mare?+
Răspuns:Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $i, -1, -i, 1$ . Împarte exponentul la $4$ și folosește restul. De exemplu, $i^{50}$ : $50 = 4 \cdot 12 + 2$ , deci $i^{50} = i^2 = -1$ . Dacă restul este $0$ , rezultatul este $1$ .
3.Cum împart două numere complexe?+
Răspuns:Amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Numitorul devine $c^2 + d^2$ , un număr real pozitiv, iar la numărător desfaci parantezele și înlocuiești $i^2$ cu $-1$ . La final împarți partea reală și partea imaginară la numitor.
4.La ce folosește conjugatul unui număr complex?+
Răspuns:Conjugatul $\overline{z} = a - bi$ face din $z \cdot \overline{z} ={}$ $a^2 + b^2$ un număr real și îți permite să împarți numere complexe. Mai folosești $z + \overline{z} = 2a$ pentru partea reală și $z - \overline{z} ={}$ $2bi$ pentru partea imaginară.
5.Ce profiluri de bacalaureat au numere complexe?+
Răspuns:Programa de bacalaureat are numere complexe sub formă algebrică, cu conjugat și operații, la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic. M_pedagogic nu le are. În iunie 2023–2026, CNCE le-a pus în itemul 1 din subiectul I la M_mate-info în 3 din 4 ani, iar la M_șt-nat și M_tehnologic în niciunul.
6.Cum rezolv o ecuație de gradul al doilea cu discriminant negativ?+
Răspuns:Calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$ . Dacă $\Delta < 0$ , nu există rădăcini reale, dar în mulțimea numerelor complexe ai $z_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ . Rădăcinile sunt conjugate: au aceeași parte reală și părți imaginare opuse.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Numere complexe pentru bacalaureat: forma algebrică, conjugatul, operațiile

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Desfă parantezele ca în algebră

2.Înlocuiește i2i^2i2 cu −1-1−1

3.Grupează partea reală și partea imaginară

4.La câturi, amplifică cu conjugatul numitorului

5.Verifică

Exemple rezolvate

1.Produsul a două numere complexe

2.Puterile lui i

3.Câtul a două numere complexe

4.Ecuația de gradul al doilea în mulțimea numerelor complexe

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse

2.Înlocuiește $i^2$ cu $-1$