Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă în triunghiul dreptunghic

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit sunt rapoarte între laturile unui triunghi dreptunghic. Cu ele afli o latură când știi un unghi și o altă latură, sau un unghi când știi două laturi. Aici ai definițiile, valorile pentru 30∘30^\circ, 45∘45^\circ și 60∘60^\circ, metoda pas cu pas, exemple, un subiect de la Evaluarea Națională și unul de la bacalaureat, ambele cu barem.

La Evaluarea Națională: în 1 din 4 ani (2023–2026); la M_mate-info și M_șt-nat: în 2 din 4 ani; la M_tehnologic: în 1 din 4 ani; la M_pedagogic: în niciun an.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Într-un triunghi ABCABC dreptunghic în AA, laturile ABAB și ACAC sunt catetele, iar BCBC este ipotenuza. Față de unghiul ascuțit BB, cateta ACAC este opusă, iar cateta ABAB este alăturată. Față de unghiul CC, rolurile catetelor se schimbă.
  • Definițiile pentru unghiul ascuțit BB: sin⁡B=\sin B ={}ACBC \dfrac{AC}{BC}, cateta opusă împărțită la ipotenuză; cos⁡B=\cos B ={}ABBC \dfrac{AB}{BC}, cateta alăturată împărțită la ipotenuză; tg⁡B=\operatorname{tg} B ={}ACAB \dfrac{AC}{AB}, opusa împărțită la alăturată; ctg⁡B=\operatorname{ctg} B ={}ABAC \dfrac{AB}{AC}, alăturata împărțită la opusă.
  • Valorile de învățat pentru sinus și cosinus: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Cosinusul are aceleași valori în ordine inversă: cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • Valorile pentru tangentă și cotangentă: tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}. Cotangenta le are în ordine inversă: ctg⁡30∘=3\operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}, ctg⁡45∘=1\operatorname{ctg} 45^\circ = 1, ctg⁡60∘=33\operatorname{ctg} 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  • Relații utile: sin⁡2B+cos⁡2B=\sin^2 B + \cos^2 B ={}1 1, tg⁡B=\operatorname{tg} B ={}sin⁡Bcos⁡B \dfrac{\sin B}{\cos B} și tg⁡B⋅ctg⁡B=\operatorname{tg} B \cdot \operatorname{ctg} B ={}1 1. Pentru unghiurile ascuțite BB și CC ale aceluiași triunghi dreptunghic, B+C=90∘B + C = 90^\circ, deci sin⁡B=cos⁡C\sin B = \cos C și tg⁡B=\operatorname{tg} B ={}ctg⁡C \operatorname{ctg} C.
  • Rezolvarea triunghiului dreptunghic înseamnă să afli toate elementele lui din două date, dintre care cel puțin una este o latură. În triunghiul echilateral cu latura ll, înălțimea este l32\dfrac{l\sqrt{3}}{2}, pentru că sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30∘30^\circ, cateta opusă lui este jumătate din ipotenuză.
ABCopusăalăturatăipotenuza

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Numește laturile față de unghiul ales

    Marchează unghiul drept și unghiul ascuțit cu care lucrezi. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Cateta care nu atinge unghiul ales este cea opusă, iar cea care îl formează împreună cu ipotenuza este cea alăturată.

  2. 2.Alege raportul potrivit

    Alege raportul care conține necunoscuta și o latură cunoscută. Cu ipotenuza și cateta opusă, folosești sinusul. Cu ipotenuza și cateta alăturată, folosești cosinusul. Cu cele două catete, folosești tangenta sau cotangenta.

  3. 3.Scrie relația cu literele din enunț

    Scrie, de exemplu, cos⁡B=\cos B ={}ABBC \dfrac{AB}{BC} și înlocuiește valoarea raportului, pe care o știi pe de rost dacă unghiul este de 30∘30^\circ, 45∘45^\circ sau 60∘60^\circ, sau pe care o dă enunțul.

  4. 4.Rezolvă ecuația

    Aplică proporția: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Dacă rămâi cu un radical la numitor, raționalizează-l, de exemplu 123=\dfrac{12}{\sqrt{3}} ={}1233= \dfrac{12\sqrt{3}}{3} ={}43 4\sqrt{3}.

  5. 5.Completează și verifică

    Află celelalte elemente cu teorema lui Pitagora sau din suma unghiurilor, B+C=90∘B + C = 90^\circ. Verifică dacă ipotenuza este cea mai lungă latură și dacă sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit ies mai mici decât 11.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Catetele din ipotenuză și unghi

    Triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA, cu BC=20BC = 20 cm și ∢B=\sphericalangle B ={}30∘ 30^\circ. Calculează catetele ACAC și ABAB.

  2. 2.Cele patru rapoarte din catete

    Triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA, cu AB=6AB = 6 cm și AC=8AC = 8 cm. Calculează sin⁡B\sin B, cos⁡B\cos B, tg⁡B\operatorname{tg} B și ctg⁡B\operatorname{ctg} B.

  3. 3.Înălțimea și aria triunghiului echilateral

    Un triunghi echilateral ABCABC are latura de 1414 cm. Calculează înălțimea ADAD și aria triunghiului.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 5.b)

Problema 5.b) (0–3 p)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO, în care CDCD este diametru. Punctul BB aparține cercului astfel încât dreptele BOBO și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM aparține arcului mic BCBC, dreptele DMDM și BOBO se intersectează în punctul NN, DN=2⋅MNDN = 2 \cdot MN și MN=4MN = 4 cm. b) Calculează aria triunghiului DONDON.OCDBMN

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 5.b) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

La bacalaureat

ce cere celălalt examen
La bacalaureat, trigonometria triunghiului dreptunghic apare în itemul 6 din subiectul I, un item de 5 puncte. În iunie 2023–2026 a fost cerută la M_mate-info și la M_șt-nat în câte 2 din 4 ani, la M_tehnologic într-un an și la M_pedagogic în niciun an. În itemele din 2024–2026 numărate aici, enunțul dă un triunghi dreptunghic în AA, cu o latură, aria, un unghi sau o valoare a tangentei ori a cosinusului, iar cerința este să arăți lungimea unei alte laturi.
Metoda este cea de aici, dar rezultatul se justifică pe pași: baremul itemului de mai jos dă 2 puncte pentru relația trigonometrică și 3 puncte pentru calculul care urmează, deci scrie întâi raportul din definiție. Un unghi poate fi dat și în radiani, de exemplu π4\dfrac{\pi}{4}, adică 45∘45^\circ.
Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2026, matematică M_șt-nat — subiectul I, 6

Itemul 6. (0–5 p)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu tg⁡B=\operatorname{tg} B ={}13 \dfrac{1}{3} și aria egală cu 2424. Arătați că AC=4AC = 4.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul I, 6 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

  • M_mate-info

    în 2 din 4 ani (2023–2026)

    • Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană (clasa a IX-a)

    Itemi: 2024: I.6 · 2025: I.6

    Toate noțiunile profilului

  • M_șt-nat

    în 2 din 4 ani (2023–2026)

    • Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană (clasa a IX-a)

    Itemi: 2025: I.6 · 2026: I.6

    Toate noțiunile profilului

  • M_tehnologic

    în 1 din 4 ani (2023–2026)

    • Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

    Itemi: 2026: I.6

    Toate noțiunile profilului

  • M_pedagogic

    în niciun an din 2023–2026

    • Aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

    Itemi: niciun item în iunie 2023–2026

    Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
M_șt-nat

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=8AB = 8 și măsura unghiului BB egală cu 60∘60^\circ. Determinați lungimea laturii ACAC.

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=12AB = 12 și măsura unghiului BB egală cu 60∘60^\circ. Determinați lungimea laturii BCBC.

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

În triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, avem AB=5AB = 5 cm și AC=12AC = 12 cm. Valoarea lui sin⁡C\sin C este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Triunghiul MNPMNP este dreptunghic în MM, cu MN=24MN = 24 cm și tg⁡N=\operatorname{tg} N ={}158 \dfrac{15}{8}. Calculează perimetrul triunghiului MNPMNP, în centimetri.

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Încurci cateta opusă cu cea alăturată. „Opusă” și „alăturată” se spun față de unghiul ascuțit ales: pentru BB, cateta opusă este ACAC, dar pentru CC aceeași catetă este cea alăturată.
  • Scrii raportul pe dos, de exemplu sin⁡B=\sin B ={}BCAC \dfrac{BC}{AC}. Sinusul și cosinusul se împart la ipotenuză, deci un unghi ascuțit are valori mai mici decât 11; dacă obții mai mult, ai răsturnat raportul.
  • Amesteci valorile învățate. Pentru unghiuri ascuțite sinusul crește odată cu unghiul, de la sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} la sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, iar cosinusul scade.
  • Folosești sinusul sau cosinusul într-un triunghi care nu este dreptunghic. Aceste rapoarte sunt definite cu catetele și ipotenuza; într-un alt triunghi duci mai întâi o înălțime, ca să obții triunghiuri dreptunghice.
  • Lași radicalul la numitor. Forma 123\dfrac{12}{\sqrt{3}} nu este rezultatul final; raționalizează numitorul și scrie 434\sqrt{3}.

Reține

  • Sinus: opusă pe ipotenuză. Cosinus: alăturată pe ipotenuză. Tangentă: opusă pe alăturată. Cotangentă: alăturată pe opusă.
  • sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}; sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}; tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1; tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.
  • sin⁡2B+cos⁡2B=\sin^2 B + \cos^2 B ={}1 1 și tg⁡B=\operatorname{tg} B ={}sin⁡Bcos⁡B \dfrac{\sin B}{\cos B}.
  • Înălțimea triunghiului echilateral cu latura ll: l32\dfrac{l\sqrt{3}}{2}.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Cum definesc sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta?+
    Răspuns:Într-un triunghi dreptunghic și pentru un unghi ascuțit, sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, cosinusul este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză, tangenta este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată, iar cotangenta este raportul invers al tangentei. Numele catetelor depind de unghiul ales.
  2. 2.Care sunt valorile pentru 30∘30^\circ, 45∘45^\circ și 60∘60^\circ?+
    Răspuns:Sinusul are valorile 12\dfrac{1}{2}, 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} și 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, iar cosinusul le are în ordine inversă. Tangenta are valorile 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}, 11 și 3\sqrt{3}, iar cotangenta le are în ordine inversă. La Evaluarea Națională nu primești formule, deci le scrii din memorie.
  3. 3.Cum aflu o latură dacă știu un unghi și o altă latură?+
    Răspuns:Alegi raportul care conține cele două laturi, cea cunoscută și cea căutată, scrii relația și rezolvi ecuația. De exemplu, dacă știi ipotenuza și un unghi, cateta opusă lui este ipotenuza înmulțită cu sinusul, iar cateta alăturată este ipotenuza înmulțită cu cosinusul.
  4. 4.Cum calculez sinusul unui unghi dacă știu doar catetele?+
    Răspuns:Calculezi întâi ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi scrii raportul. De exemplu, într-un triunghi cu catetele de 77 cm și 2424 cm, ipotenuza are 2525 cm, deci sinusul unghiului opus catetei de 77 cm este 725\dfrac{7}{25}.
  5. 5.Ce legătură este între sinusul și cosinusul a două unghiuri ascuțite ale aceluiași triunghi?+
    Răspuns:Cele două unghiuri ascuțite au suma de 90∘90^\circ și sunt complementare. Sinusul unuia este egal cu cosinusul celuilalt, iar tangenta unuia este egală cu cotangenta celuilalt, pentru că cateta opusă unui unghi este cea alăturată celuilalt.
  6. 6.Cum apare trigonometria în triunghiul dreptunghic la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026 a apărut într-un singur an, 2024, în problema 5 din subiectul al III-lea, unde cosinusul unui unghi a legat două rapoarte într-un cerc. Alte subiecte publicate de CNCE au folosit sinusul și tangenta în geometrie, de exemplu într-un triunghi isoscel cu un unghi de 120∘120^\circ. Cercul trigonometric nu intră în programa de Evaluare Națională.
  7. 7.Se cere trigonometria triunghiului dreptunghic și la bacalaureat?+
    Răspuns:Da, în itemul 6 din subiectul I. În iunie 2023–2026 a apărut la M_mate-info și la M_șt-nat în câte 2 din 4 ani, la M_tehnologic într-un an și la M_pedagogic în niciun an. În itemele numărate aici cerința este să arăți lungimea unei laturi, iar pasul de bază este tot raportul trigonometric din triunghiul dreptunghic.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.