Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Teorema lui Pitagora, teorema catetei și teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2. Cu teorema lui Pitagora afli o latură când le știi pe celelalte două, iar teorema catetei și teorema înălțimii leagă laturile de înălțimea dusă din unghiul drept. Le folosești la Evaluarea Națională în aproape fiecare problemă de geometrie din subiectul al III-lea. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și un subiect CNCE cu baremul lui.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, mai ales în problemele din subiectul al III-lea; la M_pedagogic: în 2 din 4 ani; la M_mate-info și M_tehnologic: în 1 din 4 ani.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Teoremele sunt despre triunghiul dreptunghic. Laturile care formează unghiul drept sunt catetele, latura opusă unghiului drept este ipotenuza, cea mai lungă latură.
  • Teorema lui Pitagora: dacă triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA, atunci BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2. Afli ipotenuza adunând pătratele, o catetă scăzând: AB2=BC2−AC2AB^2 = BC^2 - AC^2.
  • Reciproca: dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii celei mai lungi.
  • Teorema catetei: cu înălțimea ADAD, unde D∈BCD \in BC, avem AB2=BD⋅BCAB^2 = BD \cdot BC și AC2=DC⋅BCAC^2 = DC \cdot BC. Segmentele BDBD și DCDC sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
  • Teorema înălțimii: AD2=BD⋅DCAD^2 = BD \cdot DC. Înălțimea mai are o formulă, din arie: AD=AD ={}AB⋅ACBC \dfrac{AB \cdot AC}{BC}.
ABCD

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Găsește unghiul drept

    Marchează unghiul drept pe figură. Latura opusă lui este ipotenuza, celelalte două sunt catetele. Dacă în problemă nu există un triunghi dreptunghic, caută o înălțime sau o rază perpendiculară pe o coardă care formează unul.

  2. 2.Alege teorema după ce știi

    Știi două laturi ale triunghiului: folosește teorema lui Pitagora. Știi proiecțiile pe ipotenuză sau ți se cere înălțimea din unghiul drept: folosește teorema înălțimii sau a catetei.

  3. 3.Scrie relația cu literele din enunț

    Scrie formula cu numele punctelor din problemă, de exemplu BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2 pentru un triunghi dreptunghic în AA. Ipotenuza stă singură într-un membru.

  4. 4.Calculează și scoate factorii de sub radical

    Înlocuiește lungimile, calculează pătratele, apoi extrage radicalul. Scoate factorii de sub radical: 27=\sqrt{27} ={}9⋅3= \sqrt{9 \cdot 3} ={}33 3\sqrt{3}. O lungime este întotdeauna pozitivă.

  5. 5.Verifică rezultatul

    Ipotenuza trebuie să iasă cea mai lungă latură. Înlocuiește valorile înapoi în relație și scrie unitatea de măsură cerută, de obicei centimetrii.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Ipotenuza din două catete

    Triunghiul MNPMNP este dreptunghic în MM, cu MN=8MN = 8 cm și MP=15MP = 15 cm. Calculează lungimea ipotenuzei NPNP.

  2. 2.Înălțimea și catetele din proiecții

    Triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA, iar ADAD este înălțime, cu D∈BCD \in BC, BD=4BD = 4 cm și DC=9DC = 9 cm. Calculează lungimile segmentelor ADAD și ABAB.
    ABCD49

  3. 3.Este triunghiul dreptunghic?

    Laturile triunghiului EFGEFG au lungimile EF=9EF = 9 cm, FG=41FG = 41 cm și EG=40EG = 40 cm. Arată că triunghiul EFGEFG este dreptunghic și precizează vârful unghiului drept.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 4.a)

Problema 4.a) (0–2 p)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO și raza de 66 cm. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât dreptele ABAB și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM este mijlocul coardei ABAB și OM=3OM = 3 cm.OMABCDa) Arată că AM=33AM = 3\sqrt{3} cm.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 4.a) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

La bacalaureat

ce cere celălalt examen
La bacalaureat, teorema lui Pitagora nu mai are o problemă a ei: apare în itemul 6 al subiectului I, de 5 puncte, unde triunghiul dreptunghic vine de multe ori împreună cu sinusul, cosinusul sau tangenta unui unghi. În iunie 2023–2026 a cerut-o așa M_pedagogic în doi ani, M_mate-info și M_tehnologic câte o dată.
Metoda e cea de aici, cu un pas în plus: din raportul trigonometric afli a doua catetă, apoi ipotenuza din teorema lui Pitagora, ca în itemul de mai jos. Baremul dă puncte separat pentru fiecare dintre cele două relații, așa că scrie-le pe amândouă.
Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2025, matematică M_mate-info — subiectul I, 6

Itemul 6. (0–5 p)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=2AB = 2 și tg⁡B=\operatorname{tg} B ={}3 3. Arătați că BC=210BC = 2\sqrt{10}.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2025, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 6 (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

  • M_mate-info

    în 1 din 4 ani (2023–2026)

    • Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană (clasa a IX-a)

    Itemi: 2025: I.6

    Toate noțiunile profilului

  • M_șt-nat

    în niciun an din 2023–2026

    • Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană (clasa a IX-a)

    Itemi: niciun item în iunie 2023–2026

    Toate noțiunile profilului

  • M_tehnologic

    în 1 din 4 ani (2023–2026)

    • Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

    Itemi: 2023: I.6

    Toate noțiunile profilului

  • M_pedagogic

    în 2 din 4 ani (2023–2026)

    • Aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

    Itemi: 2024: I.6 · 2025: I.6

    Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=15AB = 15 cm și AC=20AC = 20 cm. Punctul DD aparține segmentului BCBC, astfel încât AD⊥BCAD \perp BC. Lungimea segmentului ADAD este egală cu:
ABCD

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=20AB = 20 cm și BC=29BC = 29 cm. Lungimea segmentului ACAC este egală cu:
ABC

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=7AB = 7 și AC=2AC = 2. Determinați lungimea laturii BCBC.

Greu de tastat o fracție, un radical sau o putere? Apasă creionul de lângă casetă și scrie răspunsul de mână.

Sau scrie răspunsul pe o foaie și fotografiază-l: apasă aparatul foto de lângă casetă.

Cum se scrie: o putere ca x^2 sau x², un produs ca 3x sau 3*x, un cât ca (x + 1)/2, un exponent din mai multe simboluri între paranteze, e^(-0,4t); ln(x), √x sau sqrt(x), pi pentru π.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Laturile unui triunghi au lungimile de 1010 cm, 2424 cm și 2626 cm. Măsura celui mai mare unghi al triunghiului este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Aduni pătratele când cauți o catetă. Dacă știi ipotenuza, din pătratul ei scazi pătratul celeilalte catete: AB2=BC2−AC2AB^2 = BC^2 - AC^2.
  • Scrii BC=AB+ACBC = AB + AC în loc de BC=BC ={}AB2+AC2 \sqrt{AB^2 + AC^2}. Pentru catetele de 88 cm și 1515 cm ipotenuza are 1717 cm, nu 2323 cm.
  • Încurci proiecțiile în teorema catetei. Cateta ABAB se scrie cu proiecția ei, BDBD, cea care pornește din același vârf BB: AB2=BD⋅BCAB^2 = BD \cdot BC, nu DC⋅BCDC \cdot BC.
  • Aplici teorema lui Pitagora într-un triunghi care nu este dreptunghic. Caută întâi unghiul drept; dacă nu există, duci o înălțime și lucrezi în triunghiurile dreptunghice pe care le formează.
  • Lași rezultatul 27\sqrt{27} când enunțul cere să arăți că lungimea este 333\sqrt{3}. Scoate factorii de sub radical, ca rezultatul să arate exact ca în enunț.

Reține

  • Pitagora: BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2, unde BCBC este ipotenuza, opusă unghiului drept AA.
  • Catetei: AB2=BD⋅BCAB^2 = BD \cdot BC. Înălțimii: AD2=BD⋅DCAD^2 = BD \cdot DC.
  • Înălțimea din unghiul drept: AD=AD ={}AB⋅ACBC \dfrac{AB \cdot AC}{BC}.
  • Diagonala pătratului cu latura ll: d=l2d = l\sqrt{2}.
  • Triplete de recunoscut: 3,4,53, 4, 5; 5,12,135, 12, 13; 8,15,178, 15, 17; 7,24,257, 24, 25 și multiplii lor.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce spune teorema lui Pitagora?+
    Răspuns:Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Pentru un triunghi dreptunghic în AA, BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este întotdeauna cea mai lungă latură a triunghiului.
  2. 2.Cum aflu o catetă dacă știu ipotenuza?+
    Răspuns:Din pătratul ipotenuzei scazi pătratul catetei cunoscute, apoi extragi radicalul. De exemplu, pentru ipotenuza de 2525 cm și o catetă de 77 cm, cealaltă catetă are 625−49=\sqrt{625 - 49} ={}576 \sqrt{576}, adică 2424 cm. Greșeala cea mai des întâlnită este să aduni în loc să scazi.
  3. 3.Ce spune teorema catetei?+
    Răspuns:Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Cu înălțimea ADAD, AB2=BD⋅BCAB^2 = BD \cdot BC și AC2=DC⋅BCAC^2 = DC \cdot BC. Proiecția catetei ABAB este segmentul BDBD, care pornește tot din vârful BB.
  4. 4.Ce spune teorema înălțimii?+
    Răspuns:Înălțimea dusă din vârful unghiului drept are pătratul egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: AD2=BD⋅DCAD^2 = BD \cdot DC. Când nu știi proiecțiile, dar știi catetele, folosește formula din arie: AD=AD ={}AB⋅ACBC \dfrac{AB \cdot AC}{BC}.
  5. 5.În ce subiecte de la Evaluarea Națională apare teorema lui Pitagora?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026 a apărut în fiecare an, aproape mereu în problemele din subiectul al III-lea: în calculul unei laturi, al unei înălțimi, al unei diagonale sau al unei distanțe într-un corp geometric. Uneori este și pasul ascuns al unui item cu variante din subiectul al II-lea.
  6. 6.Cum știu dacă un triunghi este dreptunghic?+
    Răspuns:Folosește reciproca teoremei lui Pitagora. Ridici la pătrat lungimea celei mai mari laturi și compari rezultatul cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă sunt egale, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii celei mai lungi. Dacă nu sunt egale, triunghiul nu este dreptunghic.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.