Wat betekenen de logische symbolen ∧, ∨, ⇒ en ¬?

Het symbool $\wedge$ staat voor ‘en’, $\vee$ voor ‘of’, waarbij allebei mag, $\Rightarrow$ voor ‘als … dan …’ en $\neg$ voor ‘niet’. Deze vier noemt de syllabus van wiskunde C vwo bij domein F. Met haakjes bepaal je de volgorde: $(P \vee Q) \Rightarrow R$ is een andere uitspraak dan $P \vee (Q \Rightarrow R)$.

Wat is het verschil tussen een nodige en een voldoende voorwaarde?

Een voldoende voorwaarde garandeert het gevolg: als $P$ klopt, dan klopt $Q$. Een nodige voorwaarde is iets wat je minstens nodig hebt: als $Q$ klopt, dan moet $P$ kloppen. Voor het bakken van een taart is een oven nodig, maar niet voldoende: je hebt ook ingrediënten nodig. Controleer beide richtingen apart, met een tegenvoorbeeld als een richting niet geldt.

Wanneer is een als-dan uitspraak niet waar?

Een uitspraak ‘als $P$, dan $Q$’ is alleen niet waar als $P$ waar is en $Q$ niet. Is $P$ niet waar, dan zegt de uitspraak niets en geldt ze als waar. Dat verklaart waarom een sproeier de uitspraak ‘als het regent, is de straat nat’ niet weerlegt: het als-deel klopt dan niet.

Hoe werkt een tegenvoorbeeld?

Je zoekt één geval waarin het als-deel van de bewering klopt en het dan-deel niet. Daarmee is de bewering weerlegd, hoeveel voorbeelden er ook zijn waarin ze wel klopt. Noem het geval concreet, met zijn getallen of namen, en laat zien dat beide delen kloppen of niet kloppen. Een tegenvoorbeeld kun je ook zoeken in een tabel met gegevens.

Hoe vul ik een Venndiagram in?

Begin bij het deel waarin beide eigenschappen gelden, de overlap. Trek dat aantal af van het aantal in elke cirkel om te weten wat er alleen in die cirkel hoort. Het aantal buiten de cirkels is het totaal min alles wat je in de cirkels hebt. Controleer ten slotte of alle delen samen het totaal geven.

Wat is het verschil tussen een contradictie en een paradox?

Een contradictie is een uitspraak die nooit waar kan zijn, zoals ‘$P$ en niet $P$’: welke waarde $P$ ook heeft, de uitspraak is niet waar. Een paradox is een uitspraak of redenering waarvan elke stap lijkt te kloppen, maar die tot een tegenstrijdigheid leidt. Neem ‘deze zin is niet waar’: is de zin waar, dan is hij niet waar, en is hij niet waar, dan is hij juist waar. De begrippen staan in de syllabus van wiskunde C vwo; daar wordt gevraagd dat je een contradictie en een paradox herkent en beschrijft (F.7). De omschrijvingen hier zijn van ons.

Centraal examen 2027 · Wiskunde C vwo

Logisch redeneren: als-dan, nodige en voldoende voorwaarde en het Venndiagram

Bij logisch redeneren beoordeel je of een redenering klopt. Je vertaalt zinnen naar logische symbolen, werkt met als-dan, maakt onderscheid tussen een nodige en een voldoende voorwaarde, zoekt een tegenvoorbeeld en leest gegevens uit een Venndiagram. Dit hoort bij wiskunde C van het vwo. Voor het centraal examen zet deze pagina de begrippen en de aanpak op een rij, met voorbeelden en een vraag uit het examen zelf.

Centraal examen vwo wiskunde C: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.

Per examen

uit de syllabus

Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.

Wiskunde C vwo
- Domein F Logisch redeneren, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de logische symbolen ∧, ∨, ⇒ en ¬; bij redeneringen de begrippen conclusie, uitgangspunt, definitie, redeneerstap, correct, volledig en onvolledig; de begrippen contradictie en paradox.
- Domein F Logisch redeneren, specificatie 3gegevens uit een Venn-diagram halen.
- Domein F Logisch redeneren, specificatie 4een onderscheid maken tussen een nodige en een voldoende voorwaarde;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
2026: vraag 18, 20, 21, 22, 23; 2025: vraag 11, 12, 13; 2024: vraag 9, 10, 11, 12; 2023: vraag 1, 2, 3, 4; 2022: vraag 2, 19, 20, 21
Formuleblad: nee · Grafische rekenmachine: ja
Alle onderwerpen van dit examen Het formuleblad Het examen van 2026 gratis maken

Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.

Het belangrijkste

wat je moet weten

De syllabus noemt vier logische symbolen: $\wedge$ (en), $\vee$ (of, waarbij allebei mag), $\Rightarrow$ (als … dan …) en $\neg$ (niet). Een uitspraak is waar of niet waar; met de symbolen bouw je uit eenvoudige uitspraken een samengestelde uitspraak.
Een waarheidstabel laat zien wanneer een samengestelde uitspraak waar is. $P \wedge Q$ is alleen waar als beide waar zijn. $P \vee Q$ is alleen niet waar als beide niet waar zijn. $P \Rightarrow Q$ is alleen niet waar als $P$ waar is en $Q$ niet. $\neg P$ draait waar en niet waar om.
Een als-dan redenering verbind je met het ‘hieruit volgt’ van de conclusie: uit $P \Rightarrow Q$ en $P$ volgt $Q$ . De omgekeerde uitspraak $Q \Rightarrow P$ is een andere uitspraak: uit $P \Rightarrow Q$ en $Q$ volgt niet dat $P$ geldt.
Een voldoende voorwaarde voor $Q$ is een voorwaarde $P$ waarmee $P \Rightarrow Q$ geldt: als $P$ klopt, dan klopt $Q$ . Een nodige voorwaarde voor $Q$ is een voorwaarde $P$ waarmee $Q \Rightarrow P$ geldt: zonder $P$ kan $Q$ niet. Geldt allebei, dan is $P$ nodig en voldoende.
Een tegenvoorbeeld weerlegt een bewering: één geval waarin het als-deel klopt en het dan-deel niet. Voorbeelden die de bewering laten kloppen, illustreren haar alleen en bewijzen niets.
In een Venndiagram stelt elke cirkel een eigenschap voor. Vul het diagram van binnen naar buiten: eerst het deel waar beide eigenschappen gelden, daarna wat alleen bij één cirkel hoort en tot slot wat buiten alle cirkels valt. De delen samen vormen het totaal.
Bij een redenering gebruikt de syllabus de begrippen uitgangspunt, definitie, redeneerstap en conclusie. Een redenering is correct als elke stap volgt uit de uitgangspunten en eerdere stappen, en volledig als er geen stap ontbreekt. Een contradictie is een uitspraak die nooit waar kan zijn, zoals ‘ $P$ en niet $P$ ’. Een paradox is een uitspraak of redenering waarvan elke stap lijkt te kloppen, maar die tot een tegenstrijdigheid leidt of tot een conclusie die onmogelijk lijkt.

Het centraal examen wiskunde C vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.

Zo pak je het aan

stap voor stap

1.Vertaal de uitspraken
Geef elke eenvoudige uitspraak een letter en schrijf de samengestelde uitspraken met $\wedge$ , $\vee$ , $\Rightarrow$ en $\neg$ . Let op woorden als ‘niet’, ‘of’ en ‘als … dan’.
2.Kies een representatie
Maak een waarheidstabel, een tabel met gegevens of een Venndiagram, afhankelijk van de vraag. Bij aantallen is een Venndiagram, bij waar of niet waar een waarheidstabel handig.
3.Redeneer stap voor stap
Schrijf op welk uitgangspunt of welke eerdere stap je bij elke stap gebruikt. Een stap die nergens uit volgt, maakt de redenering niet correct.
4.Zoek een tegenvoorbeeld bij twijfel
Klopt een bewering niet, probeer dan een geval te vinden waarin het als-deel klopt en het dan-deel niet. Eén zo’n geval is genoeg.
5.Sluit af met de conclusie
Schrijf de conclusie in woorden, en bij een ‘leg uit’- of ‘beredeneer’-vraag ook de redenering die ertoe leidt.

Voorbeelden

Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.

1.Wanneer is een als-dan uitspraak niet waar?
Gegeven is de uitspraak $(P \vee Q) \Rightarrow R$ . In welke combinaties van waar en niet waar voor $P$ , $Q$ en $R$ is de uitspraak niet waar?
2.Nodig, voldoende en een tegenvoorbeeld
Zij $P$ : het getal $n$ is deelbaar door 6, en $Q$ : het getal $n$ is deelbaar door 3. Is $P$ een nodige voorwaarde voor $Q$ , een voldoende voorwaarde, of allebei?
3.Aantallen in een Venndiagram
In een groep van 60 mensen lezen er 25 een krant ( $K$ ) en kijken er 30 naar het nieuws op televisie ( $J$ ). Er zijn 10 mensen die allebei doen. Hoeveel mensen doen geen van beide? Voor hoeveel mensen geldt $J \wedge \neg K$ ?
4.Klopt deze redenering?
Iemand redeneert: ‘Als het regent, is de straat nat. De straat is nat. Dus het regent.’ Is deze redenering correct?

Een vraag uit het centraal examen

een echte examenvraag

Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.

Centraal examenvwo C

Lootjes trekken

Veel groepen en families trekken voor Sinterklaas of Kerstmis lootjes om te bepalen wie aan wie een cadeautje geeft. Het trekken van lootjes kan met behulp van papiertjes worden gedaan. Daarover gaat deze opgave. Dit lootjes trekken gaat als volgt: – Elke deelnemer schrijft de eigen naam op een papiertje. – Vervolgens worden deze zogenaamde lootjes in een zak gestopt. – Daarna trekt iedereen willekeurig blind één lootje uit de zak. Als iemand het eigen lootje trekt, moeten alle lootjes weer worden ingeleverd en worden de lootjes opnieuw getrokken. We noemen het trekken van lootjes anoniem als iedereen alleen de naam weet op het lootje dat hij/zij getrokken heeft en van geen enkel ander lootje kan beredeneren door wie het getrokken is. De verdeling van de lootjes over de verschillende personen noemen we goed als niemand het eigen lootje heeft en als het lootjes trekken anoniem is. We voeren de volgende notaties in:

Z

Minstens één persoon heeft het eigen lootje getrokken.

A

Het lootjes trekken is anoniem.

G

De verdeling van de lootjes is een goede verdeling. Gegeven is de zin: Als niemand het eigen lootje getrokken heeft en het lootjes trekken is anoniem, dan is de verdeling van de lootjes een goede verdeling. Als de verdeling van de lootjes niet goed is, dan heeft minstens één persoon het eigen lootje getrokken en/of is het lootjes trekken niet anoniem. Met twee personen is er geen goede verdeling van lootjes mogelijk. Immers: – Als je je eigen lootje trekt, dan is de verdeling niet goed. Bovendien weet je dan ook dat de ander zichzelf heeft en is het daarmee ook niet anoniem. – Als je het lootje van de ander trekt, dan weet je dat de ander jouw lootje heeft getrokken en is het lootjes trekken niet anoniem. Ook voor drie personen is het niet mogelijk om een goede verdeling te krijgen. Sem, Finn en Rik gaan lootjes trekken.

Vraag 12

Beredeneer dat er bij deze drie personen geen goede verdeling van de lootjes mogelijk is.

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo wiskunde C 2025, tijdvak 1, vraag 12 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl

Test jezelf

meteen nakijken

Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.

vwo C

Vraag 1.

Acht deelnemers aan een sportdag staan in de tabel. Daarbij betekent

H

: deze persoon deed mee aan het hardlopen, en

M

: deze persoon won een medaille. De uitspraken hieronder gaan alleen over deze acht personen.

naam	$H$	$M$
Bram	ja	ja
Ravi	nee	nee
Daan	nee	ja
Noah	nee	nee
Tess	nee	nee
Thijs	ja	ja
Sanne	nee	ja
Noor	nee	nee

Geef bij elke uitspraak aan of die waar of niet waar is.

M

is een nodige voorwaarde voor

H

H

is een voldoende voorwaarde voor

M

M

is een voldoende voorwaarde voor

H

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo C

Vraag 2.

Op een camping staan 48 gasten. Daarvan hebben er 21 een fiets bij zich (

F

) en 28 een hond (

H

); 12 gasten hebben allebei. Bereken voor hoeveel gasten

F \wedge \neg H

geldt.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo C

Vraag 3.

Gegeven is de uitspraak

A \Rightarrow (B \Rightarrow C)

. Hierin zijn

A

B

C

uitspraken die elk waar of niet waar kunnen zijn. Bereken in hoeveel van de acht combinaties van waar en niet waar voor

A

B

C

de uitspraak waar is.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo C

Vraag 4.

Iemand beweert: ‘Als de som van de cijfers van een getal deelbaar is door 12, dan is het getal deelbaar door 12.’ Welk van de volgende getallen is een tegenvoorbeeld van deze bewering?

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo C

Vraag 5.

In een vereniging zijn er toneelspelers, koorleden en dansers; iemand kan bij meer groepen horen. Over de leden is het volgende bekend. ‘Sommige koorleden zijn geen toneelspelers. Alle koorleden zijn dansers.’ Welke conclusie volgt hieruit?

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

Meer opgaven: maak gratis een heel centraal examen

Veelgemaakte fouten

waar punten verloren gaan

Een als-dan uitspraak omkeren. Uit ‘als $P$ , dan $Q$ ’ volgt niet ‘als $Q$ , dan $P$ ’. De omgekeerde uitspraak moet je apart onderzoeken.
Een nodige voorwaarde aanzien voor een voldoende voorwaarde. Een voldoende voorwaarde garandeert het gevolg; een nodige voorwaarde is iets wat je minimaal moet hebben, zonder dat het genoeg is.
Een bewering ‘bewijzen’ met voorbeelden. Een of meer voorbeelden laten de bewering kloppen, maar bewijzen haar niet; één tegenvoorbeeld weerlegt haar wel.
‘Of’ lezen als ‘het een of het ander, maar niet allebei’. In de logica is $P \vee Q$ ook waar als $P$ en $Q$ allebei waar zijn.
In een Venndiagram de overlap dubbel tellen. Het aantal in een cirkel is inclusief de overlap; haal die eraf voor het deel dat alleen bij die cirkel hoort.

Onthoud

$\wedge$ is en, $\vee$ is of (ook allebei), $\Rightarrow$ is als-dan, $\neg$ is niet.
$P \Rightarrow Q$ is alleen niet waar als $P$ waar is en $Q$ niet.
Voldoende: $P \Rightarrow Q$ . Nodig: $Q \Rightarrow P$ .
Eén tegenvoorbeeld weerlegt een bewering; voorbeelden bewijzen niet.
Een Venndiagram vul je van binnen naar buiten.

Veelgestelde vragen

1.Wat betekenen de logische symbolen ∧, ∨, ⇒ en ¬?+
Antwoord:Het symbool $\wedge$ staat voor ‘en’, $\vee$ voor ‘of’, waarbij allebei mag, $\Rightarrow$ voor ‘als … dan …’ en $\neg$ voor ‘niet’. Deze vier noemt de syllabus van wiskunde C vwo bij domein F. Met haakjes bepaal je de volgorde: $(P \vee Q) \Rightarrow R$ is een andere uitspraak dan $P \vee (Q \Rightarrow R)$ .
2.Wat is het verschil tussen een nodige en een voldoende voorwaarde?+
Antwoord:Een voldoende voorwaarde garandeert het gevolg: als $P$ klopt, dan klopt $Q$ . Een nodige voorwaarde is iets wat je minstens nodig hebt: als $Q$ klopt, dan moet $P$ kloppen. Voor het bakken van een taart is een oven nodig, maar niet voldoende: je hebt ook ingrediënten nodig. Controleer beide richtingen apart, met een tegenvoorbeeld als een richting niet geldt.
3.Wanneer is een als-dan uitspraak niet waar?+
Antwoord:Een uitspraak ‘als $P$ , dan $Q$ ’ is alleen niet waar als $P$ waar is en $Q$ niet. Is $P$ niet waar, dan zegt de uitspraak niets en geldt ze als waar. Dat verklaart waarom een sproeier de uitspraak ‘als het regent, is de straat nat’ niet weerlegt: het als-deel klopt dan niet.
4.Hoe werkt een tegenvoorbeeld?+
Antwoord:Je zoekt één geval waarin het als-deel van de bewering klopt en het dan-deel niet. Daarmee is de bewering weerlegd, hoeveel voorbeelden er ook zijn waarin ze wel klopt. Noem het geval concreet, met zijn getallen of namen, en laat zien dat beide delen kloppen of niet kloppen. Een tegenvoorbeeld kun je ook zoeken in een tabel met gegevens.
5.Hoe vul ik een Venndiagram in?+
Antwoord:Begin bij het deel waarin beide eigenschappen gelden, de overlap. Trek dat aantal af van het aantal in elke cirkel om te weten wat er alleen in die cirkel hoort. Het aantal buiten de cirkels is het totaal min alles wat je in de cirkels hebt. Controleer ten slotte of alle delen samen het totaal geven.
6.Wat is het verschil tussen een contradictie en een paradox?+
Antwoord:Een contradictie is een uitspraak die nooit waar kan zijn, zoals ‘ $P$ en niet $P$ ’: welke waarde $P$ ook heeft, de uitspraak is niet waar. Een paradox is een uitspraak of redenering waarvan elke stap lijkt te kloppen, maar die tot een tegenstrijdigheid leidt. Neem ‘deze zin is niet waar’: is de zin waar, dan is hij niet waar, en is hij niet waar, dan is hij juist waar. De begrippen staan in de syllabus van wiskunde C vwo; daar wordt gevraagd dat je een contradictie en een paradox herkent en beschrijft (F.7). De omschrijvingen hier zijn van ons.

Zie ook

Alle onderwerpen wiskunde c vwo

Bronnen

De rijen van de syllabus zijn geciteerd uit de syllabi centraal examen 2027 van het College voor Toetsen en Examens; de telling is van ons.

Pagina gecontroleerd op 27 oktober 2026

Laatste opgave.

Maak gratis het centraal examen 2026, eerste tijdvak — 180 minuten, en kijk het zelf na met het correctievoorschrift

Maak het examen gratis

Logisch redeneren: als-dan, nodige en voldoende voorwaarde en het Venndiagram

Per examen

Het belangrijkste

Zo pak je het aan

1.Vertaal de uitspraken

2.Kies een representatie

3.Redeneer stap voor stap

4.Zoek een tegenvoorbeeld bij twijfel

5.Sluit af met de conclusie

Voorbeelden

1.Wanneer is een als-dan uitspraak niet waar?

2.Nodig, voldoende en een tegenvoorbeeld

3.Aantallen in een Venndiagram

4.Klopt deze redenering?

Een vraag uit het centraal examen

Test jezelf

Veelgemaakte fouten

Onthoud

Veelgestelde vragen

Zie ook

Bronnen