Ce este o fracție algebrică?

O fracție algebrică este un raport $\dfrac{A}{B}$ între două expresii cu litere, definit numai pentru valorile literelor care nu anulează numitorul $B$. De aceea fiecare enunț spune pentru ce valori ale lui $x$ există expresia, de exemplu „$x \neq 2$ și $x \neq 3$”. Operațiile cu fracții algebrice sunt aceleași ca la fracțiile cu numere.

Cum aduc fracțiile algebrice la numitor comun?

Descompune numitorii în factori. Numitorul comun conține fiecare factor o singură dată, cu cel mai mare exponent. Apoi amplifici fiecare fracție cu factorii care lipsesc din numitorul ei. De exemplu, pentru numitorii $x - 2$ și $x + 2$ numitorul comun este $(x - 2)(x + 2)$.

Cum simplific o fracție algebrică?

Descompune numărătorul și numitorul în factori, cu factor comun sau cu formule de calcul prescurtat, apoi taie factorii care apar în ambele locuri. Nu poți tăia termeni dintr-o sumă: în $\dfrac{x + 3}{3}$ nu se simplifică nimic. După simplificare, păstrează condițiile de existență din enunț.

De ce trebuie să scriu condiția $x \neq \ldots$ în concluzie?

Pentru că expresia inițială nu există pentru valorile care anulează un numitor, iar egalitatea pe care o arăți este adevărată doar pe mulțimea de existență. În baremele din 2023, 2025 și 2026, etapa în care expresia ajunge la forma simplă cuprinde condiția, deci scrie-o la fiecare concluzie.

Cum rezolv un „arată că” cu o expresie algebrică?

Pornești de la membrul mai complicat și îl transformi cu pași corecți, până când ajungi la cealaltă parte a egalității: aduci la numitor comun, efectuezi la numărător, descompui, simplifici. Scrie fiecare egalitate pe o linie. Nu pornești de la egalitatea de demonstrat și nu aplici operații pe ambii membri deodată.

Cât de des apare calculul algebric la Evaluarea Națională?

În iunie 2023–2026 apare în fiecare an, în problema 2 din subiectul al III-lea, cu un punct a) de 2 puncte și un punct b) de 3 puncte. Punctul a) cere o simplificare sau o descompunere, iar punctul b) folosește rezultatul: într-o ecuație în 2023, pentru numere întregi în 2024, într-o inegalitate în 2025 și într-o divizibilitate în 2026.

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Calcul algebric și fracții algebrice pentru Evaluarea Națională

Calculul algebric înseamnă să lucrezi cu litere ca și cu numere: desfaci paranteze, reduci termeni asemenea și aduci fracțiile la același numitor. La Evaluarea Națională îl întâlnești în problema 2 din subiectul al III-lea, unde o expresie cu fracții algebrice trebuie simplificată și folosită mai departe. Aici ai regulile, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în problema 2 din subiectul al III-lea.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea. $a(b + c) = ab + ac$ , iar un minus în fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen: $-(a - b) = -a + b$ . Termenii asemenea au aceeași parte cu litere și se adună prin coeficienți: $5x + 3x = 8x$ .
Fracția algebrică este o fracție $\dfrac{A}{B}$ cu litere, definită numai când $B \neq 0$ . Valorile lui $x$ care anulează un numitor se exclud, de aceea enunțurile spun „ $x \neq 3$ ”.
Simplificarea se face numai cu factori: $\dfrac{A \cdot C}{B \cdot C} ={}$ $\dfrac{A}{B}$ , pentru $C \neq 0$ . Mai întâi descompui numărătorul și numitorul în factori, apoi simplifici.
Adunarea și scăderea cer același numitor: $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} ={}$ $\dfrac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$ . Ca numitorul comun să fie cât mai mic, descompui numitorii și iei fiecare factor o singură dată.
Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere. $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} ={}$ $\dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$ , iar $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} ={}$ $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$ , cu $C \neq 0$ . Pentru putere, $\left(\dfrac{A}{B}\right)^n = \dfrac{A^n}{B^n}$ .

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Descompune numitorii și numărătorii
Scrie fiecare numitor ca produs de factori, cu factor comun sau cu o formulă de calcul prescurtat, de exemplu $x^2 - 9 ={}$ $(x - 3)(x + 3)$ . Descompunerea îți arată numitorul comun cel mai mic.
2.Notează condițiile de existență
Verifică valorile lui $x$ care anulează un numitor și care sunt excluse. Enunțul CNCE le dă: le recopiezi în concluzie, la fel ca baremul.
3.Adu fracțiile la numitor comun
Amplifică fiecare fracție cu factorii care lipsesc din numitorul ei, ca să ajungă la numitorul comun. Păstrează numitorul în formă de produs, nu îl dezvolta.
4.Efectuează calculele la numărător
Desfă parantezele, redu termenii asemenea și descompune numărătorul rezultat. De multe ori numărătorul devine un pătrat perfect sau un produs care conține un factor al numitorului.
5.Simplifică factorii comuni
Taie numai factorii care apar atât la numărător, cât și la numitor. Un termen dintr-o sumă nu se simplifică.
6.Scrie concluzia
Încheie cu egalitatea cerută și cu condiția: „pentru orice număr real $x$ , $x \neq \ldots$ ”. În baremele din 2023, 2025 și 2026, etapa în care expresia ajunge la forma simplă cuprinde această condiție.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Reducerea termenilor asemenea
Simplifică expresia $3(x - 1) - 2(x + 4) + 5$ .
2.Simplificarea unei fracții
Simplifică fracția $\dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x}$ , unde $x \neq 0$ și $x \neq -4$ .
3.Adunarea a două fracții
Calculează $\dfrac{1}{x - 2} +{}$ $\dfrac{2}{x + 2}$ , unde $x \neq 2$ și $x \neq -2$ .
4.Împărțirea a două fracții
Arată că $\dfrac{x^2 - 9}{x + 1} : \dfrac{x + 3}{x^2 - 1} ={}$ $x^2 - 4x + 3$ , pentru $x \neq -3$ , $x \neq -1$ și $x \neq 1$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 2.a)

Problema 2.a) (0–2 p)

Se consideră expresia

E(x) ={}

\frac{x}{x - 3} +{}

\frac{1}{x - 2} +{}

\frac{7 - 3x}{(x - 2)(x - 3)}

, unde

x

este număr real,

x \neq 2

și

x \neq 3

. a) Arată că

E(x) ={}

\frac{x - 2}{x - 3}

, pentru orice număr real

x

x \neq 2

și

x \neq 3

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.a) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–3 p)

Se consideră expresia

E(x) = \left(\frac{1}{x^2 - 3x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) \cdot \left(x^2 - 4\right)

, unde

x

este număr real,

x \neq 1

și

x \neq 2

. b) Determină numerele întregi

n

n \neq 1

și

n \neq 2

, pentru care

N = \frac{5}{E(n)}

este număr natural.

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.b) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

Întrebarea 1. (0–5)

Forma cea mai simplă a expresiei

E(x) ={}

(x - 8)^2 - x(x + 1)

, unde

x

este număr real, este:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Întrebarea 2. (0–5)

Forma cea mai simplă a expresiei

E(x) ={}

(x - 7)^2 - x(x + 9)

, unde

x

este număr real, este:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

Pentru orice număr real

x

x \neq 5

și

x \neq -5

, fracția

\dfrac{2x - 10}{x^2 - 25}

este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Se consideră expresia

E(x) ={}

\dfrac{x}{x - 3} -{}

\dfrac{9}{x^2 - 3x}

, unde

x

este număr real,

x \neq 0

și

x \neq 3

. Calculează

E(6)

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Simplifici termeni, nu factori: $\dfrac{x + 3}{3} = x + 1$ . Numai factorii se taie, iar $x + 3$ nu este un produs. De exemplu, pentru $x = 6$ avem $\dfrac{9}{3} = 3$ , nu $7$ .
Pui minusul numai primului termen dintr-o paranteză: $5 - (x - 2) = 5 - x - 2$ . Minusul schimbă semnul ambilor termeni, deci $5 - (x - 2) ={}$ $5 - x + 2 ={}$ $7 - x$ .
Aduni fracțiile adunând numitorii: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} ={}$ $\dfrac{1}{a + b}$ . Pentru $a = 2$ și $b = 3$ se vede că $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} ={}$ $\dfrac{5}{6}$ , nu $\dfrac{1}{5}$ . Aduci mai întâi fracțiile la numitor comun.
Răstorni prima fracție la o împărțire: $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} ={}$ $\dfrac{B}{A} \cdot \dfrac{C}{D}$ . Se răstoarnă a doua fracție, cea la care împarți: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$ .
Uiți condițiile de existență. Concluzia unui „arată că” din baremele CNCE din 2023, 2025 și 2026 spune și „pentru orice număr real $x$ , $x \neq \ldots$ ”; fără condiție, o simplificare nu este completă.

Reține

$a(b + c) = ab + ac$ și $-(a - b) = -a + b$ .
Simplifici numai factori: $\dfrac{A \cdot C}{B \cdot C} ={}$ $\dfrac{A}{B}$ , cu $C \neq 0$ .
$\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} ={}$ $\dfrac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$ .
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} ={}$ $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$ .
Concluzia are condiția: „pentru orice număr real $x$ , $x \neq \ldots$ ”.

Întrebări și răspunsuri

1.Ce este o fracție algebrică?+
Răspuns:O fracție algebrică este un raport $\dfrac{A}{B}$ între două expresii cu litere, definit numai pentru valorile literelor care nu anulează numitorul $B$ . De aceea fiecare enunț spune pentru ce valori ale lui $x$ există expresia, de exemplu „ $x \neq 2$ și $x \neq 3$ ”. Operațiile cu fracții algebrice sunt aceleași ca la fracțiile cu numere.
2.Cum aduc fracțiile algebrice la numitor comun?+
Răspuns:Descompune numitorii în factori. Numitorul comun conține fiecare factor o singură dată, cu cel mai mare exponent. Apoi amplifici fiecare fracție cu factorii care lipsesc din numitorul ei. De exemplu, pentru numitorii $x - 2$ și $x + 2$ numitorul comun este $(x - 2)(x + 2)$ .
3.Cum simplific o fracție algebrică?+
Răspuns:Descompune numărătorul și numitorul în factori, cu factor comun sau cu formule de calcul prescurtat, apoi taie factorii care apar în ambele locuri. Nu poți tăia termeni dintr-o sumă: în $\dfrac{x + 3}{3}$ nu se simplifică nimic. După simplificare, păstrează condițiile de existență din enunț.
4.De ce trebuie să scriu condiția $x \neq \ldots$ în concluzie?+
Răspuns:Pentru că expresia inițială nu există pentru valorile care anulează un numitor, iar egalitatea pe care o arăți este adevărată doar pe mulțimea de existență. În baremele din 2023, 2025 și 2026, etapa în care expresia ajunge la forma simplă cuprinde condiția, deci scrie-o la fiecare concluzie.
5.Cum rezolv un „arată că” cu o expresie algebrică?+
Răspuns:Pornești de la membrul mai complicat și îl transformi cu pași corecți, până când ajungi la cealaltă parte a egalității: aduci la numitor comun, efectuezi la numărător, descompui, simplifici. Scrie fiecare egalitate pe o linie. Nu pornești de la egalitatea de demonstrat și nu aplici operații pe ambii membri deodată.
6.Cât de des apare calculul algebric la Evaluarea Națională?+
Răspuns:În iunie 2023–2026 apare în fiecare an, în problema 2 din subiectul al III-lea, cu un punct a) de 2 puncte și un punct b) de 3 puncte. Punctul a) cere o simplificare sau o descompunere, iar punctul b) folosește rezultatul: într-o ecuație în 2023, pentru numere întregi în 2024, într-o inegalitate în 2025 și într-o divizibilitate în 2026.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.

Rezolvă gratuit un test

Calcul algebric și fracții algebrice pentru Evaluarea Națională

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Descompune numitorii și numărătorii

2.Notează condițiile de existență

3.Adu fracțiile la numitor comun

4.Efectuează calculele la numărător

5.Simplifică factorii comuni

6.Scrie concluzia

Exemple rezolvate

1.Reducerea termenilor asemenea

2.Simplificarea unei fracții

3.Adunarea a două fracții

4.Împărțirea a două fracții

Subiect de examen

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse