Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Divizibilitate: criterii, numere prime, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Numărul aa este divizibil cu bb când a=b⋅ca = b \cdot c, pentru un număr natural cc. La Evaluarea Națională ai nevoie de divizibilitate ca să arăți că un număr se împarte exact, să găsești numere cu o proprietate dată sau să afli c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Aici ai criteriile, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La Evaluarea Națională: în 2 din 4 ani (2023–2026), în problemele din subiectul al III-lea.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Numărul aa este divizibil cu bb, scris a ⋮ ba \,\vdots\, b, dacă există un număr natural cc cu a=b⋅ca = b \cdot c. Atunci bb este un divizor al lui aa, iar aa este un multiplu al lui bb.
  • Criterii. Un număr se divide cu 22 dacă ultima cifră este pară, cu 55 dacă ultima cifră este 00 sau 55, cu 10n10^n dacă se termină cu nn zerouri. Se divide cu 33 (respectiv cu 99) dacă suma cifrelor lui se divide cu 33 (respectiv cu 99).
  • Numere prime și compuse. Un număr prim are exact doi divizori, 11 și el însuși: 2,3,5,7,11,13,…2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots Numărul 11 nu este prim, iar 22 este singurul număr prim par. Un număr compus are cel puțin trei divizori.
  • Descompunerea în factori primi. Orice număr natural mai mare decât 11 se scrie ca produs de puteri de numere prime, de exemplu 360=360 ={}23⋅32⋅5 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5. Din descompuneri afli c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
  • C.m.m.d.c. (a,b)(a, b) este produsul factorilor primi comuni, fiecare cu cel mai mic exponent. C.m.m.m.c. [a,b][a, b] este produsul tuturor factorilor primi, fiecare cu cel mai mare exponent. Numerele aa și bb sunt prime între ele dacă (a,b)=1(a, b) = 1.

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Tradu enunțul în egalități

    Un număr „se împarte exact la bb” înseamnă n=b⋅cn = b \cdot c. Dacă enunțul spune că împărțirea lasă un rest, scrie a=b⋅q+ra = b \cdot q + r, cu r<br < b. Pe aceste egalități se sprijină orice justificare.

  2. 2.Alege criteriul potrivit

    Pentru 22, 55 și 10n10^n te uiți la ultimele cifre. Pentru 33 și 99 aduni cifrele numărului și vezi dacă suma se împarte la 33, respectiv la 99. Când numărul are o cifră necunoscută, scrie suma cifrelor ca expresie și caută valorile cifrei care o fac divizibilă.

  3. 3.Descompune în factori primi

    Împarte numărul pe rând la cele mai mici numere prime (22, 33, 55, 77, …) până ajungi la 11 și scrie rezultatul ca produs de puteri. Nu opri împărțirea înainte ca factorul rămas să fie prim.

  4. 4.Citește c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. din descompuneri

    La c.m.m.d.c. păstrezi numai factorii primi care apar în ambele numere, cu exponentul cel mai mic. La c.m.m.m.c. păstrezi toți factorii primi care apar în cel puțin un număr, cu exponentul cel mai mare.

  5. 5.Scrie concluzia cu proprietatea folosită

    La „arată că” și „justifică răspunsul dat” scrie ce proprietate folosești: un factor comun scos în față, un număr par sau impar, un criteriu. Încheie cu propoziția cerută de enunț.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Cifra care lipsește, cu criteriul lui 9

    Determină cifra cc pentru care numărul 57c‾\overline{57c} este divizibil cu 99.

  2. 2.C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. prin descompunere

    Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor 8484 și 140140.

  3. 3.Numere prime între ele

    Arată că numerele 3535 și 4848 sunt prime între ele și calculează c.m.m.m.c. al lor.

  4. 4.Divizibilitate cu un factor comun

    Arată că numărul A=5n+5n+1A = 5^n + 5^{n+1} este divizibil cu 66, pentru orice număr natural nn.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 1.a)

Problema 1.a) (0–2 p)

Dacă elevii unei clase se așază câte 22 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 33 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 44 în bancă, atunci rămân 55 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev. a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 3030 de elevi. Justifică răspunsul dat.

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 1.a) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–3 p)

Se consideră expresia E(x)=E(x) ={}xx−3+ \frac{x}{x - 3} +{}1x−2+ \frac{1}{x - 2} +{}7−3x(x−2)(x−3) \frac{7 - 3x}{(x - 2)(x - 3)}, unde xx este număr real, x≠2x \neq 2 și x≠3x \neq 3. b) Arată că numărul A=(E(4))n+(E(4))n+3A = \left(E(4)\right)^n + \left(E(4)\right)^{n+3} este divizibil cu 1818, pentru orice număr natural nenul nn.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

Cel mai mare divizor comun al numerelor 9696 și 108108 este egal cu:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 2424 și 6666 este egal cu:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

Afirmația „Numărul 143143 este număr prim.” este:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 4. (0–5)

Afirmația „Suma divizorilor naturali ai numărului 1515 este egală cu 2323.” este:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Confunzi divizorul cu multiplul. Divizorii lui 2020 sunt numerele care îl împart exact (1,2,4,5,10,201, 2, 4, 5, 10, 20), iar multiplii lui 2020 sunt 20,40,60,…20, 40, 60, \ldots Un număr nenul are un număr finit de divizori, dar o infinitate de multipli.
  • Consideri că 11 este număr prim, sau că toate numerele prime sunt impare. Numărul 11 are un singur divizor, deci nu este prim, iar 22 este singurul număr prim par.
  • La c.m.m.d.c. iei toți factorii cu exponentul cel mai mare. Așa se calculează c.m.m.m.c.; la c.m.m.d.c. iei numai factorii comuni, cu exponentul cel mai mic.
  • Aplici criteriul lui 33 sau al lui 99 la ultima cifră. Pentru ele contează suma tuturor cifrelor: 57c‾\overline{57c} nu se divide cu 99 după cifra cc, ci după suma 5+7+c5 + 7 + c.
  • Termini descompunerea în factori înainte ca factorul rămas să fie prim. Dacă ai scris 90=2⋅4590 = 2 \cdot 45, continuă cu 45=32⋅545 = 3^2 \cdot 5, altfel c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. ies greșite.

Reține

  • a ⋮ ba \,\vdots\, b înseamnă a=b⋅ca = b \cdot c, cu cc număr natural.
  • Cu 22, 55, 10n10^n: ultima cifră sau ultimele nn cifre. Cu 33 și 99: suma cifrelor.
  • Numere prime mici: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,312, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Numărul 11 nu este prim.
  • (a,b)(a, b): factorii comuni, exponent minim. [a,b][a, b]: toți factorii, exponent maxim.
  • (a,b)⋅[a,b]=(a, b) \cdot [a, b] ={}a⋅b a \cdot b; numere prime între ele: (a,b)=1(a, b) = 1.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Care sunt criteriile de divizibilitate din programa Evaluării Naționale?+
    Răspuns:Programa cere criteriile de divizibilitate cu 22, 55, 10n10^n, 33 și 99. Un număr se divide cu 22 dacă ultima cifră este pară, cu 55 dacă se termină în 00 sau 55, cu 10n10^n dacă se termină cu nn zerouri. Un număr se împarte exact la 33, respectiv la 99, dacă suma cifrelor lui se împarte exact la 33, respectiv la 99.
  2. 2.Cum aflu c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere?+
    Răspuns:Descompune fiecare număr în factori primi. Pentru c.m.m.d.c. înmulțești factorii primi care apar în ambele descompuneri, fiecare cu cel mai mic exponent. Pentru c.m.m.m.c. înmulțești toți factorii primi care apar, fiecare cu cel mai mare exponent. Poți verifica rezultatul cu relația (a,b)⋅[a,b]=(a, b) \cdot [a, b] ={}a⋅b a \cdot b.
  3. 3.Când sunt două numere prime între ele?+
    Răspuns:Două numere naturale sunt prime între ele când singurul lor divizor comun este 11, adică (a,b)=1(a, b) = 1. Nu trebuie ca numerele să fie prime: 3535 și 4848 sunt compuse, dar nu au niciun factor prim comun. Dacă sunt prime între ele, c.m.m.m.c. al lor este produsul lor.
  4. 4.Este 11 număr prim?+
    Răspuns:Nu. Un număr prim are exact doi divizori distincți, 11 și el însuși, iar numărul 11 are un singur divizor. De aceea șirul numerelor prime începe cu 2,3,5,7,11,…2, 3, 5, 7, 11, \ldots Numărul 22 este singurul număr prim par, toate celelalte numere pare sunt compuse.
  5. 5.Cum arăt că un număr este divizibil cu alt număr, la o problemă cu parametru nn?+
    Răspuns:Scrie numărul ca produs și pune în evidență factorul cerut. De exemplu, pentru 5n+5n+15^n + 5^{n+1} scoți factor comun 5n5^n și obții 5n⋅65^n \cdot 6, un multiplu al lui 66. La subiectul din 2026 baremul dă puncte separate pentru valoarea lui E(4)E(4), pentru factorul comun și pentru concluzie, deci scrie toți cei trei pași.
  6. 6.În ce probleme apare divizibilitatea la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:Potrivit numărării noastre, în iunie 2023–2026 divizibilitatea a apărut în 2 din 4 ani, în subiectul al III-lea: în 2024 pentru a justifica de ce un număr de elevi nu poate fi 3030, în 2026 pentru a arăta că o expresie cu puteri se divide cu 1818.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.