Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Formule de calcul prescurtat și descompunerea în factori

Formulele de calcul prescurtat îți permit să dezvolți o paranteză sau să calculezi un produs într-un singur pas, iar citite invers te ajută să descompui o expresie în factori. La Evaluarea Națională le întâlnești în problema de calcul algebric din subiectul al III-lea. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în problema 2 din subiectul al III-lea.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Pătratul unei sume și al unei diferențe. (a+b)2=(a + b)^2 ={}a2+2ab+b2 a^2 + 2ab + b^2 și (a−b)2=(a - b)^2 ={}a2−2ab+b2 a^2 - 2ab + b^2, pentru orice numere reale aa și bb.
  • Diferența pătratelor. (a−b)(a+b)=(a - b)(a + b) ={}a2−b2 a^2 - b^2. La înmulțire, termenii −ab-ab și +ab+ab se reduc, deci rămân doar cele două pătrate.
  • Citește formulele și de la dreapta la stânga. a2+2ab+b2=a^2 + 2ab + b^2 ={}(a+b)2 (a + b)^2 și a2−b2=a^2 - b^2 ={}(a−b)(a+b) (a - b)(a + b) sunt descompuneri în factori. De exemplu, x2−6x+9=x^2 - 6x + 9 ={}(x−3)2 (x - 3)^2.
  • Factorul comun și gruparea. ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c). Cu patru termeni grupezi câte doi: ax+ay+bx+by=ax + ay + bx + by ={}a(x+y)+b(x+y)= a(x + y) + b(x + y) ={}(a+b)(x+y) (a + b)(x + y).
  • Două legături utile. a2+b2=a^2 + b^2 ={}(a+b)2−2ab (a + b)^2 - 2ab și (a+b)2−(a−b)2=(a + b)^2 - (a - b)^2 ={}4ab 4ab. Cu ele afli a2+b2a^2 + b^2 din suma și produsul numerelor, fără să le cunoști separat.

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Recunoaște forma expresiei

    Numără termenii. Trei termeni, dintre care doi sunt pătrate, sugerează pătratul unei sume sau al unei diferențe. Doi termeni, ambii pătrate, cu minus între ei, sugerează diferența pătratelor. Patru termeni sugerează grupare.

  2. 2.Verifică termenul din mijloc

    La a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2 termenul din mijloc trebuie să fie dublul produsului celor două baze. Dacă nu este, expresia nu este un pătrat perfect și formula nu se aplică.

  3. 3.Scoate întâi factorul comun

    Dacă toți termenii au un factor comun, scoate-l în față înainte de orice altă formulă. De exemplu, 3x2−12=3x^2 - 12 ={}3(x2−4)= 3(x^2 - 4) ={}3(x−2)(x+2) 3(x - 2)(x + 2).

  4. 4.Descompune până nu se mai poate

    Caută pe rând factor comun, formule și grupare, până când niciun factor nu se mai descompune. Pentru fiecare factor întreabă-te dacă este tot o diferență de pătrate.

  5. 5.Verifică prin dezvoltare

    Înmulțește la loc factorii și compară cu expresia de la început. Dacă dezvoltarea nu dă expresia, a apărut o greșeală de semn sau un dublu produs uitat.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Dezvoltarea unui pătrat

    Dezvoltă expresia (2x−3)2(2x - 3)^2 și calculează valoarea ei pentru x=4x = 4.

  2. 2.Descompuneri în factori

    Descompune în factori expresiile x2−12x+36x^2 - 12x + 36 și 4y2−814y^2 - 81.

  3. 3.Calcul rapid, fără calculator

    Calculează 1012−992101^2 - 99^2 fără calculator, folosind o formulă de calcul prescurtat.

  4. 4.Descompunere prin grupare

    Descompune în factori expresia 2x+2y+x2+xy2x + 2y + x^2 + xy.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 2.a)

Problema 2.a) (0–2 p)

Se consideră expresia E(x)=(1x2−3x+2+1x−1)⋅(x2−4)E(x) = \left(\frac{1}{x^2 - 3x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) \cdot \left(x^2 - 4\right), unde xx este număr real, x≠1x \neq 1 și x≠2x \neq 2. a) Arată că x2−3x+2=x^2 - 3x + 2 ={}(x−1)(x−2) (x - 1)(x - 2), pentru orice număr real xx.

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.a) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al III-lea, 2.b)

Problema 2.b) (0–3 p)

Se consideră expresia E(x)=(2x−3−3x+2x+3):1x2−3xE(x) = \left(\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 3}\right) : \frac{1}{x^2 - 3x}, unde xx este număr real, x≠−3x \neq -3, x≠0x \neq 0 și x≠3x \neq 3. b) Demonstrează că E(n)>6E(n) > 6, pentru orice număr natural nn, n≠0n \neq 0, n≠3n \neq 3.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 2.b) (varianta 7). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

Știind că x+y=10x + y = 10 și x−y=8x - y = 8, valoarea expresiei x2−y2x^2 - y^2 este egală cu:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

Știind că x+y=14x + y = 14 și xy=45xy = 45, valoarea expresiei x2+y2x^2 + y^2 este egală cu:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

Pentru orice număr real xx, expresia 4x2−20x+254x^2 - 20x + 25 este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 4. (0–5)

Afirmația: „Pentru orice număr real xx, (x−4)2=x2−16(x - 4)^2 = x^2 - 16.” este:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 5. (0–5)

Calculează valoarea produsului (11−3)(11+3)\left(\sqrt{11} - 3\right)\left(\sqrt{11} + 3\right).

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Scrii (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25 și uiți dublul produs. Corect este (x+5)2=(x + 5)^2 ={}x2+ x^2 +{}2⋅x⋅5+ 2 \cdot x \cdot 5 +{}25= 25 ={}x2+10x+25 x^2 + 10x + 25. Pentru x=1x = 1 vezi diferența: 3636, nu 2626.
  • Încurci pătratul diferenței cu diferența pătratelor: (a−b)2=a2−b2(a - b)^2 = a^2 - b^2. Cele două formule sunt diferite: (a−b)2=(a - b)^2 ={}a2−2ab+b2 a^2 - 2ab + b^2, iar a2−b2=a^2 - b^2 ={}(a−b)(a+b) (a - b)(a + b).
  • Scrii semnul lui b2b^2 greșit: (a−b)2=(a - b)^2 ={}a2−2ab−b2 a^2 - 2ab - b^2. Un pătrat nu este niciodată negativ, deci ultimul termen are mereu plus.
  • Ridici la pătrat doar o parte din termen: (3x)2=3x2(3x)^2 = 3x^2. Toată paranteza se ridică la pătrat, deci (3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2.
  • Crezi că x2+25=x^2 + 25 ={}(x+5)(x−5) (x + 5)(x - 5). Produsul (x+5)(x−5)(x + 5)(x - 5) este x2−25x^2 - 25, o diferență. Formula diferenței pătratelor cere semnul minus între cele două pătrate.

Reține

  • (a+b)2=(a + b)^2 ={}a2+2ab+b2 a^2 + 2ab + b^2
  • (a−b)2=(a - b)^2 ={}a2−2ab+b2 a^2 - 2ab + b^2
  • (a−b)(a+b)=(a - b)(a + b) ={}a2−b2 a^2 - b^2
  • ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c) și ax+ay+bx+by=ax + ay + bx + by ={}(a+b)(x+y) (a + b)(x + y)
  • a2+b2=a^2 + b^2 ={}(a+b)2−2ab (a + b)^2 - 2ab

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Care sunt formulele de calcul prescurtat din programa Evaluării Naționale?+
    Răspuns:Programa cere trei formule: (a+b)2=(a + b)^2 ={}a2+2ab+b2 a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=(a - b)^2 ={}a2−2ab+b2 a^2 - 2ab + b^2 și (a−b)(a+b)=(a - b)(a + b) ={}a2−b2 a^2 - b^2, pentru a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. La examen nu primești formule, deci trebuie să le știi din memorie. Le folosești și în sens invers, ca să descompui expresii în factori.
  2. 2.Cum descompun o expresie în factori?+
    Răspuns:Caută pe rând trei lucruri. Mai întâi un factor comun, pe care îl scoți în față. Apoi o formulă de calcul prescurtat: pătratul unei sume sau al unei diferențe, sau diferența pătratelor. În sfârșit, o grupare a termenilor, atunci când sunt patru. Descompunerea se oprește când niciun factor nu se mai poate scrie ca produs.
  3. 3.Cum recunosc un pătrat perfect?+
    Răspuns:O expresie cu trei termeni, A+B+CA + B + C, este pătratul unei sume sau al unei diferențe dacă AA și CC sunt pătrate ale unor expresii, iar termenul din mijloc este dublul produsului bazelor acestora. De exemplu, 9x2+12x+49x^2 + 12x + 4 are bazele 3x3x și 22, iar 2⋅3x⋅2=2 \cdot 3x \cdot 2 ={}12x 12x, deci este (3x+2)2(3x + 2)^2.
  4. 4.Pot folosi formulele pentru calcule cu numere, fără calculator?+
    Răspuns:Da. La examen nu ai voie cu calculatorul, iar formulele scurtează calculele. De exemplu, 512=51^2 ={}(50+1)2= (50 + 1)^2 ={}2500+100+1= 2500 + 100 + 1 ={}2601 2601, iar 1001⋅999=1001 \cdot 999 ={}(1000+1)(1000−1)= (1000 + 1)(1000 - 1) ={}1000000−1= 1000000 - 1 ={}999999 999999. Caută numere apropiate de un număr rotund: 5151 este lângă 5050, iar 10011001 și 999999 sunt lângă 10001000.
  5. 5.Cum folosesc diferența pătratelor cu radicali?+
    Răspuns:Formula (a−b)(a+b)=(a - b)(a + b) ={}a2−b2 a^2 - b^2 rămâne valabilă pentru aa și bb reale. Cu radicali, (7−2)(7+2)=(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) ={}7−4= 7 - 4 ={}3 3. Produsul face să dispară radicalii, un truc des folosit la calcule cu numere reale.
  6. 6.În ce probleme apar formulele de calcul prescurtat la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:Conform numărării noastre, în iunie 2023–2026 apar în fiecare an, în problema 2 din subiectul al III-lea, unde se cere simplificarea sau calculul unei expresii cu fracții algebrice, de exemplu descompunerea unui trinom în 2024 și compararea cu 66 în 2025.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.