Dlaczego prędkość satelity nie zależy od jego masy?

Siła grawitacji i siła dośrodkowa są wprost proporcjonalne do masy satelity, więc masa skraca się w równaniu (mv²)/r = G(Mm)/r². Zostaje v = √((GM)/r), które zależy tylko od masy ciała centralnego i promienia orbity. Dlatego astronauta i stacja kosmiczna krążą po tej samej orbicie z tą samą prędkością.

Jak obliczyć prędkość ucieczki z planety?

Przyrównaj energię całkowitą ciała na powierzchni do zera: (1/2)mvᵤ² − G(Mm)/R = 0. Zero oznacza, że ciało dotrze do nieskończoności ze zmierzającą do zera prędkością. Stąd vᵤ = √((2GM)/R). Wartość nie zależy od masy ciała, ale rośnie z masą planety i maleje z jej promieniem.

Czym różni się masa od ciężaru w stanie nieważkości?

Masa jest właściwością ciała i w nieważkości się nie zmienia. Ciężar, czyli siła grawitacji działająca na ciało, też nie znika: na wysokości stacji kosmicznej ma jeszcze około 89 % wartości, którą ma przy powierzchni Ziemi. W nieważkości znika tylko nacisk ciała na podporę, więc waga postawiona w stacji wskazałaby zero.

Jak z siły ciążenia wynika przyśpieszenie ziemskie?

Dla ciała o masie m przy powierzchni Ziemi mg = G(M_Z m)/R_Z², więc g = (GM_Z)/R_Z². Z danych z tablic wychodzi około 9,80 m/s². W zadaniach podaje się wartość 9,81 m/s²; różnica wynika z rotacji Ziemi i jej kształtu, a nie z samego prawa ciążenia.

Co znaczy, że Wszechświat się rozszerza?

Dalekie galaktyki oddalają się od siebie tym szybciej, im większa jest ich odległość: v = Hd. To ruch przestrzeni między galaktykami, a nie ruch galaktyk „w pustkę” od jednego centrum. Z biegiem czasu zwiększa się każda z odległości, więc dla obserwatora w dowolnej galaktyce wygląda to podobnie.

Ile wynosi jeden rok świetlny w jednostkach astronomicznych?

Rok świetlny to około 9,46 · 10¹⁵ m, a jednostka astronomiczna 1,496 · 10¹¹ m. Iloraz daje około 63 200 au. Rok świetlny jest jednostką odległości, nie czasu, więc nie przypisuj mu jednostek czasu.

Matura 2027 · fizyka, poziom rozszerzony

Grawitacja i elementy astronomii: prawo powszechnego ciążenia, prędkości kosmiczne i prawo Hubble’a

Podstawa programowa wymaga, żebyś posługiwał się prawem powszechnego ciążenia, obliczał przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni planety i prędkość satelity na orbicie kołowej, stosował zasadę zachowania energii do ruchu w polu grawitacyjnym i znał drugą prędkość kosmiczną, opisywał nieważkość i przeciążenie, a także znał skalę odległości w Układzie Słonecznym i Wszechświecie oraz stosował prawo Hubble’a. Tak przygotujesz się do tej części matury z fizyki na poziomie rozszerzonym.

Na maturze 2023–2026: w 2 z 4 sesji – 2023 (zadanie 5.4), 2024 (zadania 5.1 i 5.2).

Podstawa programowa: fizyka

Podstawa programowa (zakres rozszerzony): dział IV „Grawitacja i elementy astronomii”, pkt 1, 2, 4, 6–10

Pokaż wymagania

IV.1posługuje się prawem powszechnego ciążenia do opisu oddziaływania grawitacyjnego; wskazuje siłę grawitacji jako przyczynę spadania ciał;
IV.2stosuje do obliczeń związek między przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni planety a jej masą i promieniem;
IV.4wskazuje siłę grawitacji jako siłę dośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza wartość prędkości na orbicie kołowej o dowolnym promieniu; omawia ruch satelitów wokół Ziemi;
IV.6interpretuje II prawo Keplera jako konsekwencję zasady zachowania momentu pędu;
IV.7oblicza zmiany energii potencjalnej grawitacji i stosuje zasadę zachowania energii do ruchu pod wpływem siły grawitacji; posługuje się pojęciem drugiej prędkości kosmicznej (prędkości ucieczki);
IV.8opisuje stan nieważkości i stan przeciążenia oraz podaje warunki i przykłady jego występowania;
IV.9opisuje budowę Układu Słonecznego; wskazuje Słońce jako jedną z wielu gwiazd w Galaktyce oraz Galaktykę jako jedną z wielu galaktyk we Wszechświecie; posługuje się pojęciami jednostki astronomicznej, roku świetlnego;
IV.10opisuje Wielki Wybuch jako początek znanego nam Wszechświata; zna przybliżony wiek Wszechświata, opisuje rozszerzanie się Wszechświata (ucieczkę galaktyk); stosuje do obliczeń prawo Hubble’a jako proporcjonalność prostą między odległością względną dalekich galaktyk a ich prędkością względną.

Dz.U. 2024 poz. 1019 · w arkuszach 2023–2026: w 2 z 4 sesji

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Dwa ciała przyciągają się siłami o tej samej wartości: $F_g ={}$ $G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ , gdzie $r$ to odległość ich środków.
Przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni planety to $g = \frac{GM}{R^2}$ ; nie zależy od masy spadającego ciała.
Na orbicie kołowej rolę siły dośrodkowej pełni grawitacja: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ . Druga prędkość kosmiczna to $v_u ={}$ $\sqrt{\frac{2GM}{r}}$ .
Nieważkość oznacza swobodny spadek razem z podporą, nie brak grawitacji; przeciążenie to nacisk większy niż ciężar.
Prawo Hubble’a: prędkość oddalania się dalekiej galaktyki jest wprost proporcjonalna do jej odległości, $v = Hd$ .

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Prawo powszechnego ciążenia i przyśpieszenie grawitacyjne

Każde dwa ciała o masach $m_1$ i $m_2$ przyciągają się siłą grawitacji $F_g ={}$ $G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ , gdzie $G ={}$ $6{,}674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ , a $r$ jest odległością środków ciał. Dla kul o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy wystarczy liczyć odległość środków. Obie siły mają równe wartości i przeciwne zwroty (III zasada dynamiki), a ta, którą Ziemia działa na ciało, jest przyczyną jego spadania.

Siła grawitacji przypadająca na jednostkę masy to natężenie pola grawitacyjnego, czyli przyśpieszenie grawitacyjne $\gamma = \frac{F_g}{m} ={}$ $\frac{GM}{r^2}$ . Na powierzchni planety o promieniu $R$ jest to $g = \frac{GM}{R^2}$ . Dla Ziemi, z danych z tablic ( $M_Z ={}$ $5{,}972 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}$ , $R_Z ={}$ $6{,}378 \cdot 10^6\ \mathrm{m}$ ), wychodzi $g \approx 9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$ . W odległości równej dwóm promieniom od środka przyśpieszenie jest cztery razy mniejsze: $2{,}45\ \mathrm{m/s^2}$ .

Zmiana	Siła grawitacji $F_g$	Przyśpieszenie $\gamma$ w danym punkcie
Masa planety $M$ rośnie dwa razy	rośnie dwa razy	rośnie dwa razy
Masa ciała $m$ rośnie dwa razy	rośnie dwa razy	nie zmienia się
Odległość $r$ rośnie dwa razy	maleje cztery razy	maleje cztery razy

Orbita kołowa, energia potencjalna i prędkości kosmiczne

Ruch satelity po okręgu zapewnia grawitacja, która pełni rolę siły dośrodkowej: $\frac{mv^2}{r} ={}$ $G\frac{Mm}{r^2}$ . Stąd $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ i okres $T = \frac{2\pi r}{v}$ . Masa satelity się skraca, więc każdy satelita na tej samej orbicie ma tę samą prędkość, a dalsza orbita oznacza wolniejszy ruch. Satelita na wysokości $400\ \mathrm{km}$ nad Ziemią ( $r ={}$ $6778\ \mathrm{km}$ ) ma $v \approx 7{,}67\ \mathrm{km/s}$ i okrąża Ziemię w czasie $T \approx 92{,}6\ \mathrm{min}$ . Siła grawitacji jest siłą centralną, więc moment pędu satelity względem centrum jest stały.

Energia potencjalna grawitacji układu dwóch ciał to $E_{pot} ={}$ $-G\frac{Mm}{r}$ (zero w nieskończoności). Przy przejściu od $r_1$ do $r_2$ zmienia się o $\Delta E_{pot} = GMm\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$ . Podniesienie ciała o masie $1000\ \mathrm{kg}$ z powierzchni Ziemi na orbitę z wysokości $400\ \mathrm{km}$ wymaga zmiany energii potencjalnej $3{,}7 \cdot 10^9\ \mathrm{J}$ ; wzór $mg\Delta h$ dałby $3{,}9 \cdot 10^9\ \mathrm{J}$ , bo $g$ maleje z wysokością.

Prędkość, z jaką ciało opuszcza pole planety i nigdy do niej nie wraca, wyznaczasz z warunku, że jego energia całkowita jest równa zeru: $\frac{1}{2}mv_u^2 -{}$ $G\frac{Mm}{R} ={}$ $0$ . Wychodzi druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) $v_u ={}$ $\sqrt{\frac{2GM}{R}} ={}$ $\sqrt{2}\,v_{or}$ . Przy powierzchni Ziemi prędkość na orbicie kołowej (pierwsza prędkość kosmiczna) to $7{,}91\ \mathrm{km/s}$ , a prędkość ucieczki $11{,}2\ \mathrm{km/s}$ .

Nieważkość i przeciążenie

Ciało jest w stanie nieważkości, gdy nie naciska na podporę ani nie rozciąga zawieszenia. Dzieje się tak, gdy ciało i podpora swobodnie spadają z tym samym przyśpieszeniem. Astronauta w stacji kosmicznej na wysokości $400\ \mathrm{km}$ nadal jest przyciągany z siłą równą około $0{,}89$ jego ciężaru na Ziemi; jest nieważki, bo razem ze stacją cały czas spada wokół Ziemi. Grawitacja nie znika, znika nacisk na podłogę.

Przeciążenie to stan, w którym nacisk na podporę jest większy od ciężaru. W windzie przyśpieszającej w górę z przyśpieszeniem $a$ osoba o masie $m$ naciska na podłogę siłą $N = m(g + a)$ , a przeciążenie wynosi $n ={}$ $\frac{N}{mg} ={}$ $1 + \frac{a}{g}$ . Dla $m = 70\ \mathrm{kg}$ i $a ={}$ $2{,}0\ \mathrm{m/s^2}$ jest to $N \approx 827\ \mathrm{N}$ i $n \approx 1{,}20$ . Gdyby winda spadała swobodnie z $a = g$ w dół, nacisk zniknąłby: $N = m(g - g) = 0$ .

Układ Słoneczny, odległości i prawo Hubble’a

Układ Słoneczny tworzą Słońce i krążące wokół niego ciała. Słońce jest jedną z bardzo wielu gwiazd Galaktyki, a Galaktyka jedną z wielu galaktyk we Wszechświecie. Do opisu odległości służą jednostka astronomiczna, $1\ \mathrm{au} ={}$ $1{,}496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{m}$ (w przybliżeniu średnia odległość Ziemi od Słońca), oraz rok świetlny, czyli droga światła w próżni w ciągu roku, $1\ \mathrm{ly} \approx 9{,}46 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m}$ , co daje około $63\,200\ \mathrm{au}$ . Światło ze Słońca biegnie do Ziemi około $8{,}3\ \mathrm{min}$ .

Według modelu Wielkiego Wybuchu znany nam Wszechświat miał początek w skończonej przeszłości i od tej pory się rozszerza, więc dalekie galaktyki oddalają się od nas. Prawo Hubble’a mówi, że prędkość względna $v$ galaktyki jest wprost proporcjonalna do jej odległości $d$ : $v = Hd$ , gdzie stała Hubble’a $H_0 \approx 70\ \mathrm{(km/s)/Mpc}$ . Galaktyka w odległości $200\ \mathrm{Mpc}$ oddala się z prędkością $14\,000\ \mathrm{km/s}$ . Odwrotność $\frac{1}{H_0}$ to około $14$ miliardów lat: tyle wynosi oszacowanie wieku Wszechświata, gdyby tempo rozszerzania się było stałe.

Pojęcia

prawo powszechnego ciążenia: Dwa ciała przyciągają się siłami o wartości $F_g ={}$ $G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ , zwróconymi wzdłuż prostej łączącej ich środki.
przyśpieszenie grawitacyjne: Siła grawitacji działająca na jednostkę masy ciała, $\gamma = \frac{GM}{r^2}$ ; na powierzchni planety oznaczane $g$ .
orbita kołowa: Tor ciała krążącego wokół centrum po okręgu; siła grawitacji jest wtedy siłą dośrodkową, a prędkość ciała $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ .
druga prędkość kosmiczna: Najmniejsza prędkość, z jaką ciało opuszczające powierzchnię planety oddala się do nieskończoności; $v_u ={}$ $\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ , czyli prędkość ucieczki.
stan nieważkości: Stan, w którym ciało nie naciska na podporę, bo ciało i podpora swobodnie spadają z tym samym przyśpieszeniem.
przeciążenie: Stan, w którym nacisk ciała na podporę jest większy od jego ciężaru; $n = 1 + \frac{a}{g}$ dla przyśpieszenia $a$ skierowanego w górę.
jednostka astronomiczna: Jednostka długości używana w Układzie Słonecznym, w przybliżeniu równa średniej odległości Ziemi od Słońca: $1\ \mathrm{au} ={}$ $1{,}496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{m}$ .
rok świetlny: Droga, jaką światło przebywa w próżni w ciągu roku, około $9{,}46 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m}$ .
Wielki Wybuch: Początek znanego nam Wszechświata, od którego trwa jego rozszerzanie się, widoczne jako ucieczka galaktyk.
prawo Hubble’a: Prędkość względna dalekiej galaktyki jest wprost proporcjonalna do jej odległości, $v = Hd$ .

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 5.2

Zadanie 5.2. (0–3)

Ziemia i Księżyc poruszają się dookoła punktu

S

– ich wspólnego środka masy – po orbitach eliptycznych, które są zbliżone do orbit kołowych. Przyjmij następujące warunki zadania i oznaczenia: • środek Ziemi oznaczymy jako punkt

Z

, środek Księżyca oznaczymy jako punkt

K

, a odcinek łączący środek Ziemi ze środkiem Księżyca oznaczymy jako

ZK

• odległość

|ZK|

pomiędzy środkiem Ziemi a środkiem Księżyca się zmienia • stosunek masy Ziemi do masy Księżyca wynosi

\frac{M_Z}{M_K} \approx 81{,}28

• Ziemia i Księżyc są kulami, każda ze sferycznie symetrycznym rozkładem masy. Na odcinku

ZK

– łączącym środek Ziemi ze środkiem Księżyca – znajduje się taki punkt

P

, w którym wartość wypadkowej siły grawitacji pochodzącej od Ziemi i od Księżyca, działającej na punkt materialny znajdujący się w punkcie

P

, jest równa zero. Oblicz odległość punktu $P$ od środka Ziemi, gdy odległość między środkiem Ziemi a środkiem Księżyca wynosi $|ZK| ={}$ $384\,400\ \mathrm{km}$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2024, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2405), zadanie 5.2. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Zapisanie warunku równowagi sił grawitacji od Ziemi i od Księżyca (lub równości wartości natężeń pól grawitacyjnych od Ziemi i od Księżyca) oraz zapisanie/wykorzystanie poprawnych wzorów na te siły (lub natężenia pól), z poprawnym uwzględnieniem odległości |PZ| i |PK|, np. zapisy równoważne poniższym: G·M_Z·m/r_PZ² = G·M_K·m/r_PK² albo (zapisanie równości natężeń pól) G·M_Z/r_PZ² = G·M_K/r_PK² albo skorzystanie z odpowiedniej proporcji wynikającej z prawa ciążenia r_PZ²/r_PK² = M_Z/M_K.1 pkt
Zapisanie warunku równowagi sił grawitacji od Ziemi i od Księżyca (lub równości wartości natężeń pól grawitacyjnych od Ziemi i od Księżyca) oraz poprawne zapisanie wzorów (lub skorzystanie z własności prawa powszechnego ciążenia) na te siły grawitacji (lub natężenia pól), oraz poprawne uwzględnienie warunków zadania (dotyczących stosunku mas i faktu, że suma odległości od punktu P do Ziemi i do Księżyca wynosi d), oraz doprowadzenie (lub zapisanie od razu) do równania, z którego można bezpośrednio obliczyć odległości punktu P od środka Ziemi, np. zapisy równoważne poniższym: G·M_Z·m/r_PZ² = G·M_K·m/r_PK² oraz r_PK = d − r_PZ → G·81,28·M_K·m/r_PZ² = G·M_K·m/(d − r_PZ)² albo wszystko uwzględnione w jednym równaniu 81,28/x² = 1/(d − x)².1 pkt
Poprawna metoda obliczenia odległości punktu P od środka Ziemi oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką: |PZ| ≈ 346 000 km.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Oznaczmy

x = |PZ|

d = |ZK|

; wtedy

|PK| = d - x

. W punkcie

P

siły grawitacji od Ziemi i od Księżyca równoważą się:

\frac{GM_Zm}{x^2} ={}

\frac{GM_Km}{(d - x)^2} \;\Rightarrow\; \frac{81{,}28}{x^2} ={}

\frac{1}{(d - x)^2} \;\Rightarrow\; \frac{x}{d - x} ={}

\sqrt{81{,}28} \approx 9{,}0155

(oba odcinki są dodatnie). Stąd

x ={}

\frac{9{,}0155}{10{,}0155} \cdot 384\,400\ \mathrm{km} \approx 346\,000\ \mathrm{km}

Wyjaśnienie od Kleksy

Zadanie dotyczy układu Ziemia – Księżyc. Dane: odległość środków

|ZK| ={}

d ={}

384\,400\ \mathrm{km}

oraz stosunek mas

\frac{M_Z}{M_K} \approx 81{,}28

. Punkt

P

leży na odcinku

ZK

, więc siły grawitacji od obu ciał działają na punkt materialny w

P

w przeciwne strony. Wypadkowa jest równa zeru, gdy ich wartości są równe.

Oznacz

x = |PZ|

, wtedy

|PK| = d - x

. Z równości wartości sił:

G\frac{M_Z m}{x^2} ={}

G\frac{M_K m}{(d - x)^2}

. Masa

m

i stała

G

się skracają. Nie myl tego punktu z połową odległości: Ziemia jest masywniejsza, więc punkt leży znacznie bliżej Księżyca. Nie myl go też ze środkiem masy układu.

Po pierwiastkowaniu obu stron (odległości są dodatnie):

\frac{x}{d - x} ={}

\sqrt{\frac{M_Z}{M_K}} \approx 9{,}02

, czyli

x ={}

\frac{9{,}02}{1 + 9{,}02}\,d \approx 0{,}900\,d

. Stąd odległość punktu

P

od środka Ziemi wynosi około

346\,000\ \mathrm{km}

, a od środka Księżyca około

38\,400\ \mathrm{km}

Według zasad oceniania CKE: 3 punkty – pierwszy za warunek równości wartości sił grawitacji (lub natężeń pól) od Ziemi i od Księżyca z poprawnymi wzorami, drugi za równanie z uwzględnieniem stosunku mas i sumy odległości, które pozwala wyznaczyć

|PZ|

, trzeci za poprawny wynik z jednostką, około

346\,000\ \mathrm{km}

Przykładowe rozwiązanie:

\frac{81{,}28}{x^2} ={}

\frac{1}{(d - x)^2}

, czyli

x ={}

\frac{\sqrt{81{,}28}}{1 + \sqrt{81{,}28}} \cdot 384\,400\ \mathrm{km} \approx 346\,000\ \mathrm{km}

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2023, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 5.4

Zadanie 5.4. (0–3)

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące: • okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi

T_{\mathrm{S2}} = 16

lat ziemskich • najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa

r_P ={}

120\ \mathrm{au}

• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa

r_A ={}

1820\ \mathrm{au}

. Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor

\vec{v}

prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.Informacja do zadań 5.3.–5.4. Załóżmy, że ciało

\mathcal{C}_1

krąży po orbicie

\mathcal{O}_1

wokół centrum grawitacyjnego o masie

M_1

, a ciało

\mathcal{C}_2

krąży po orbicie

\mathcal{O}_2

wokół centrum grawitacyjnego o masie

M_2

. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas

M_1

M_2

można obliczyć ze wzoru:

\frac{M_1}{M_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2

gdzie:

T_1

T_2

są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio –

\mathcal{O}_1

\mathcal{O}_2

, natomiast

a_1

a_2

zależą od rodzaju orbity: • gdy orbity

\mathcal{O}_1

\mathcal{O}_2

są kołowe, to

a_1

a_2

są odpowiednio promieniami tych orbit • gdy orbita

\mathcal{O}_1

jest eliptyczna, a orbita

\mathcal{O}_2

jest kołowa, to

a_1

jest długością półosi wielkiej orbity

\mathcal{O}_1

, natomiast

a_2

jest promieniem orbity

\mathcal{O}_2

. Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.3.–5.4. w przypadku, gdy orbity $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ są kołowe.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2023, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2305), zadanie 5.4. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na ciało 𝒞₁ (lub 𝒞₂) jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia), np. zapisy równoważne poniższym: m₁·v₁²/a₁ = G·m₁·M₁/a₁² albo m₁·ω₁²·a₁ = G·m₁·M₁/a₁² albo ω₁²·a₁ = G·M₁/a₁² LUB skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną ciała 𝒞₁ (lub 𝒞₂) oraz zastosowanie wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity, np. zapisy równoważne poniższym: v₁ = √(G·M/a₁) oraz v₁ = 2π·a₁/T₁ LUB zapisanie lub stwierdzenie, z powołaniem się na III prawo Keplera, że zachodzi proporcja: a³/T² ∝ M.1 pkt
Poprawna metoda wyprowadzenia lub bezpośrednie zapisanie (np. na mocy III prawa Keplera z wyrażeniem zawierającym stałe) jednego poprawnego wyrażenia, z którego można bezpośrednio obliczyć masę centrum grawitacyjnego jedynie na podstawie odpowiednich stałych, promienia a orbity kołowej i okresu T obiegu ciała dookoła tego centrum, np. zapisy równoważne poniższym: (m_i·v_i²/a_i = G·m_i·M_i/a_i² oraz v_i = 2π·a_i/T_i) → [przekształcenia] → M_i = 4π²/G · a_i³/T_i² LUB zapisanie lub stwierdzenie, z powołaniem się na III prawo Keplera, że zachodzą następujące proporcje o tym samym współczynniku proporcjonalności: a₁³/T₁² ∝ const·M₁ oraz a₂³/T₂² ∝ const·M₂.1 pkt
Poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na iloraz mas centrów grawitacyjnych, poprawne przekształcenia oraz poprawna postać ilorazu – zgodna z podaną w treści zadania.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Na ciało

\mathcal{C}_1

działa tylko siła grawitacji centrum o masie

M_1

i ona jest siłą dośrodkową:

m_1\frac{v_1^2}{a_1} ={}

G\frac{m_1M_1}{a_1^2}

W ruchu jednostajnym po okręgu

v_1 ={}

\frac{2\pi a_1}{T_1}

, więc

\frac{4\pi^2a_1}{T_1^2} ={}

\frac{GM_1}{a_1^2}

, czyli

M_1 ={}

\frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_1^3}{T_1^2}

Analogicznie

M_2 ={}

\frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_2^3}{T_2^2}

. Dzieląc:

\frac{M_1}{M_2} = \frac{a_1^3}{T_1^2} \cdot \frac{T_2^2}{a_2^3} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2

Wyjaśnienie od Kleksy

Polecenie wymaga wyprowadzenia wzoru podanego w informacji do zadania:

\frac{M_1}{M_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2

dla dwóch orbit kołowych wokół różnych centrów. Wyprowadzenie zaczynasz od jednego ciała: na ciało

\mathcal{C}_1

działa tylko siła grawitacji centrum o masie

M_1

i jest ona siłą dośrodkową.

Zapisz

m_1\frac{4\pi^2 a_1}{T_1^2} ={}

G\frac{M_1 m_1}{a_1^2}

, gdzie przyśpieszenie dośrodkowe zapisałeś przez okres, bo

v_1 ={}

\frac{2\pi a_1}{T_1}

. Masa

m_1

się skraca, a po przekształceniu otrzymujesz masę centrum wyrażoną tylko przez promień i okres:

M_1 ={}

\frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_1^3}{T_1^2}

. Analogicznie

M_2 ={}

\frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_2^3}{T_2^2}

Gdy podzielisz te dwa wyrażenia, stała

\frac{4\pi^2}{G}

się skraca i zostaje wzór z zadania. Zwróć uwagę, że masy krążących ciał nie muszą być jednakowe, bo każda skraca się w swoim równaniu; ważne jest tylko, by na każde ciało działała wyłącznie siła jego centrum, a centrum spoczywało.

Według zasad oceniania CKE: 3 punkty – pierwszy za uznanie siły grawitacji za siłę dośrodkową ze wzorami na te siły, drugi za poprawne wyprowadzenie wyrażenia na masę centrum z promienia i okresu, trzeci za iloraz mas w postaci zgodnej ze wzorem z zadania.

Przykładowe rozwiązanie:

G\frac{M_i m_i}{a_i^2} ={}

m_i\frac{4\pi^2 a_i}{T_i^2}

, czyli

M_i ={}

\frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a_i^3}{T_i^2}

dla

i = 1, 2

, a stąd

\frac{M_1}{M_2} ={}

\frac{a_1^3}{T_1^2} \cdot \frac{T_2^2}{a_2^3}

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Wokół planety o masie

M ={}

6{,}00 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}

porusza się po okręgu o promieniu

r ={}

8{,}00 \cdot 10^6\ \mathrm{m}

pewien satelita. Przyjmij

G ={}

6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}

. Prędkość satelity, zaokrąglona do trzech cyfr znaczących, jest równa

v = \ldots\ldots

km/s

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Satelita B krąży po orbicie kołowej wokół Ziemi o promieniu cztery razy większym niż orbita satelity A. Prędkość orbitalna satelity B jest

ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Planeta ma masę 8 razy większą od masy Ziemi i promień 2 razy większy od promienia Ziemi. Przyjmij, że przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

. Przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety jest równe

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Rozważ opisy zjawisk związanych z grawitacją i rozszerzaniem się Wszechświata. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Według prawa Hubble’a galaktyka znajdująca się trzy razy dalej od nas niż inna oddala się od nas z prędkością trzy razy większą.

Astronauta na orbicie okołoziemskiej jest w stanie nieważkości, bo na tej wysokości siła grawitacji Ziemi jest równa zeru.

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Mierzenie odległości w prawie ciążenia od powierzchni planety. Do wzoru wstawiasz odległość środków ciał, czyli dla satelity $r = R + h$ .
Używanie wzoru $mg\Delta h$ na duże wysokości. Przyśpieszenie grawitacyjne maleje z kwadratem odległości, więc dla zmian energii potencjalnej między dalekimi orbitami stosujesz $E_{pot} ={}$ $-G\frac{Mm}{r}$ .
Przekonanie, że w stanie nieważkości nie ma grawitacji. Jest, i to ona utrzymuje satelitę na orbicie; znika tylko nacisk na podporę.
Pomylenie prędkości na orbicie kołowej z prędkością ucieczki. Druga prędkość kosmiczna jest $\sqrt{2}$ razy większa od prędkości na orbicie tuż przy powierzchni.
Mieszanie jednostek w prawie Hubble’a. Gdy $H$ jest podane w $\mathrm{(km/s)/Mpc}$ , odległość wpisujesz w megaparsekach, a prędkość otrzymujesz w kilometrach na sekundę.

Zapamiętaj

Prawo ciążenia: $F_g ={}$ $G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ ; przyśpieszenie grawitacyjne: $\gamma = \frac{GM}{r^2}$ .
Orbita kołowa: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ , $T = \frac{2\pi r}{v}$ .
Energia potencjalna grawitacji: $E_{pot} ={}$ $-G\frac{Mm}{r}$ , a prędkość ucieczki $v_u ={}$ $\sqrt{2}\,v_{or}$ .
Nieważkość to swobodny spadek, przeciążenie $n = 1 + \frac{a}{g}$ w windzie rozpędzanej w górę.
Prawo Hubble’a: $v = Hd$ , $H_0 \approx 70\ \mathrm{(km/s)/Mpc}$ .

Pytania i odpowiedzi

1.Dlaczego prędkość satelity nie zależy od jego masy?+
Odp.:Siła grawitacji i siła dośrodkowa są wprost proporcjonalne do masy satelity, więc masa skraca się w równaniu $\frac{mv^2}{r} ={}$ $G\frac{Mm}{r^2}$ . Zostaje $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ , które zależy tylko od masy ciała centralnego i promienia orbity. Dlatego astronauta i stacja kosmiczna krążą po tej samej orbicie z tą samą prędkością.
2.Jak obliczyć prędkość ucieczki z planety?+
Odp.:Przyrównaj energię całkowitą ciała na powierzchni do zera: $\frac{1}{2}mv_u^2 -{}$ $G\frac{Mm}{R} ={}$ $0$ . Zero oznacza, że ciało dotrze do nieskończoności ze zmierzającą do zera prędkością. Stąd $v_u ={}$ $\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ . Wartość nie zależy od masy ciała, ale rośnie z masą planety i maleje z jej promieniem.
3.Czym różni się masa od ciężaru w stanie nieważkości?+
Odp.:Masa jest właściwością ciała i w nieważkości się nie zmienia. Ciężar, czyli siła grawitacji działająca na ciało, też nie znika: na wysokości stacji kosmicznej ma jeszcze około $89\ \%$ wartości, którą ma przy powierzchni Ziemi. W nieważkości znika tylko nacisk ciała na podporę, więc waga postawiona w stacji wskazałaby zero.
4.Jak z siły ciążenia wynika przyśpieszenie ziemskie?+
Odp.:Dla ciała o masie $m$ przy powierzchni Ziemi $mg ={}$ $G\frac{M_Z m}{R_Z^2}$ , więc $g ={}$ $\frac{GM_Z}{R_Z^2}$ . Z danych z tablic wychodzi około $9{,}80\ \mathrm{m/s^2}$ . W zadaniach podaje się wartość $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ; różnica wynika z rotacji Ziemi i jej kształtu, a nie z samego prawa ciążenia.
5.Co znaczy, że Wszechświat się rozszerza?+
Odp.:Dalekie galaktyki oddalają się od siebie tym szybciej, im większa jest ich odległość: $v = Hd$ . To ruch przestrzeni między galaktykami, a nie ruch galaktyk „w pustkę” od jednego centrum. Z biegiem czasu zwiększa się każda z odległości, więc dla obserwatora w dowolnej galaktyce wygląda to podobnie.
6.Ile wynosi jeden rok świetlny w jednostkach astronomicznych?+
Odp.:Rok świetlny to około $9{,}46 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m}$ , a jednostka astronomiczna $1{,}496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{m}$ . Iloraz daje około $63\,200\ \mathrm{au}$ . Rok świetlny jest jednostką odległości, nie czasu, więc nie przypisuj mu jednostek czasu.

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury z fizyki (poziom rozszerzony) z maja 2026 roku – 180 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i to, w którym dziale tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo