Jak poznám, jestli je exponenciální funkce rostoucí?

Podívej se na základ $a$ v předpisu $y = a^x$. Pro $a > 1$ funkce roste, pro $0 < a < 1$ klesá. Číslo, které přičteš nebo odečteš, graf jen posouvá a monotonii nemění.

Proč je obor hodnot exponenciální funkce jen kladný?

Mocnina kladného základu je vždy kladná, ať je exponent jakýkoli, i záporný nebo zlomek. Hodnota blízká nule se objeví pro velká záporná $x$ (při $a > 1$), ale nula nikdy.

Jak řeším exponenciální rovnici?

Nejdřív zkus převést obě strany na stejný základ a srovnat exponenty. Pokud to nejde, rovnici zlogaritmuješ a výsledek spočítáš na kalkulačce. U součtu mocnin nejprve vytkni.

Kdy použiju logaritmus?

Když číslo na pravé straně není mocninou základu s pěkným exponentem, třeba $2^x = 7$. Z definice logaritmu pak plyne $x = \log_2 7$, což zapíšeš buď takto, nebo jako podíl dekadických logaritmů $\frac{\log 7}{\log 2}$.

K čemu se exponenciální funkce používají v praxi?

Popisují růst a pokles, při kterém se hodnota po stejných krocích násobí stejným číslem: množení bakterií, rozpad látky nebo složené úročení. Katalog maturity žádá poznatky o těchto funkcích použít v jednoduchých praktických úlohách.

Co znamená, že základ nesmí být roven jedné?

Pro $a = 1$ by bylo $1^x = 1$ pro každé $x$. Taková funkce je konstantní, neroste ani neklesá a není prostá: z rovnosti $1^2 = 1^5$ by plynulo $2 = 5$, takže srovnání exponentů by přestalo platit.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Exponenciální funkce a exponenciální rovnice: graf, vlastnosti a postup řešení

Q: Proč je obor hodnot exponenciální funkce jen kladný?

Mocnina kladného základu je vždy kladná, ať je exponent jakýkoli, i záporný nebo zlomek. Hodnota blízká nule se objeví pro velká záporná $x$ (při $a > 1$), ale nula nikdy.

Exponenciální funkce má proměnnou v exponentu, a proto roste nebo klesá úplně jinak než přímka nebo parabola. K maturitě z matematiky tu najdeš, jak vypadá její graf, kdy roste a kdy klesá, jak řešit exponenciální rovnici převodem na stejný základ nebo logaritmováním, řešené příklady a úlohy v našem formátu, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 4 „Funkce“ (orientačně 10–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úloha 8.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice

Žák dovede určit exponenciální funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf.
Žák dovede vysvětlit význam základu a v předpisech obou funkcí, monotonie.
Žák dovede užít logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování při řešení exponenciální rovnice.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice
- Žák dovede určit exponenciální funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf.
- Žák dovede vysvětlit význam základu a v předpisech obou funkcí, monotonie.
- Žák dovede užít logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování při řešení exponenciální rovnice.
Formy úloh v našich testech
více výsledků
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 4 „Funkce“ orientačně 10–20 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úloha 8.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Exponenciální funkce má předpis $y = a^x$ se základem $a > 0$ , $a \ne 1$ . Definiční obor je $\mathbb{R}$ , obor hodnot $(0; \infty)$ a graf prochází bodem $[0; 1]$ . Osu $x$ nikdy neprotne.
Základ rozhoduje o monotonii: pro $a > 1$ je funkce rostoucí, pro $0 < a < 1$ klesající. Funkce je prostá, dvě různá $x$ nemají stejnou hodnotu.
Posunutý předpis $y = a^{x - p} + q$ má graf posunutý o $p$ vpravo a o $q$ nahoru, obor hodnot je tedy $(q; \infty)$ .
Pravidla pro mocniny: $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m + n}$ , $\frac{a^m}{a^n} ={}$ $a^{m - n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ a $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Na součet mocnin se žádné takové pravidlo nevztahuje.
Exponenciální rovnici řešíš tak, že obě strany převedeš na mocniny téhož základu, $a^{u} = a^{v}$ . Protože je funkce prostá, plyne z toho $u = v$ .
Když se základy převést nedají, rovnici zlogaritmuješ: z $a^x = b$ dostaneš $x \cdot \log a ={}$ $\log b$ , tedy $x = \log_a b$ (pro $b > 0$ ). Pro $b \le 0$ rovnice nemá řešení.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Najdi společný základ
Rozlož čísla na mocniny stejného základu, například $4 = 2^2$ , $27 = 3^3$ , $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ . Součet mocnin se stejným základem nejdřív vytkni.
2.Zjednoduš obě strany
Použij pravidla pro mocniny, až na každé straně zbude jediná mocnina, $a^u = a^v$ .
3.Srovnej exponenty
Z rovnosti mocnin téhož základu plyne rovnost exponentů. Vyřeš výslednou lineární rovnici.
4.Když základy nejdou převést
Zlogaritmuj obě strany: z $a^x = b$ je $x \cdot \log a ={}$ $\log b$ a $x ={}$ $\frac{\log b}{\log a}$ . Výsledek zaokrouhli až na konci.
5.Udělej zkoušku
Dosaď výsledek do původní rovnice. Hodnota $a^x$ je vždy kladná, a proto rovnice $a^x = b$ s $b \le 0$ nemá řešení.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Rostoucí, nebo klesající
Rozhodni, zda jsou funkce $f\colon y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ a $g\colon y = 5^x - 2$ rostoucí, nebo klesající, a urči jejich obory hodnot.
2.Stejný základ
Řeš rovnici $4^{x - 1} = 8$ v oboru $\mathbb{R}$ .
3.Součet mocnin
Řeš rovnici $3^{x + 1} + 3^x = 36$ .
4.Základy se nesjednotí
Řeš rovnici $2^x = 7$ . Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa.

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Více výsledků

Úloha 1.

Je dána funkce

f\colon y ={}

3^{x + 3} - 4

. 8.1 Vypočtěte

f(0)

. 8.2 Určete, pro které

x

platí

f(x) = -1

8.18.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

Řešením rovnice

27^x = 9

v oboru

\mathbb{R}

je číslo

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 3.

Na začátku je 300 bakterií a jejich počet se každou hodinu zdvojnásobí. Za kolik hodin jich bude 4 800?

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 4.

Je dána funkce

f\colon y = \left(\frac{1}{2}\right)^x

. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N). Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Funkce

f

je klesající.

Graf funkce

f

protíná osu

x

Platí

f(-2) = 4

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Sečteš exponenty u součtu: $3^{x + 1} + 3^x$ není $3^{2x + 1}$ . Pravidlo $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m + n}$ platí jen pro součin, u součtu se vytýká.
Srovnáš exponenty dřív, než mají mocniny stejný základ. Rovnost $4^{x} = 2^{3}$ neznamená $x = 3$ , nejdřív je třeba přepsat $4 = 2^2$ .
Prohlásíš funkci se základem menším než $1$ za rostoucí. Pro $0 < a < 1$ s rostoucím $x$ hodnota klesá.
U posunuté funkce $y = a^x + q$ ponecháš obor hodnot $(0; \infty)$ , i když jsi graf posunul. Posun o $q$ nahoru nebo dolů mění i obor hodnot na $(q; \infty)$ .
Hledáš řešení rovnice $2^x = -4$ . Mocnina kladného základu je kladná, rovnice proto nemá žádné řešení.

Zapamatuj si

$y = a^x$ : $a > 0$ , $a \ne 1$ ; obor hodnot $(0; \infty)$ ; graf prochází $[0; 1]$ .
$a > 1$ rostoucí, $0 < a < 1$ klesající.
Stejný základ, pak srovnej exponenty.
Součet mocnin: nejdřív vytkni.
$a^x ={}$ $b \Rightarrow x ={}$ $\log_a b$ .

Otázky a odpovědi

1.Jak poznám, jestli je exponenciální funkce rostoucí?+
Odpověď:Podívej se na základ $a$ v předpisu $y = a^x$ . Pro $a > 1$ funkce roste, pro $0 < a < 1$ klesá. Číslo, které přičteš nebo odečteš, graf jen posouvá a monotonii nemění.
2.Proč je obor hodnot exponenciální funkce jen kladný?+
Odpověď:Mocnina kladného základu je vždy kladná, ať je exponent jakýkoli, i záporný nebo zlomek. Hodnota blízká nule se objeví pro velká záporná $x$ (při $a > 1$ ), ale nula nikdy.
3.Jak řeším exponenciální rovnici?+
Odpověď:Nejdřív zkus převést obě strany na stejný základ a srovnat exponenty. Pokud to nejde, rovnici zlogaritmuješ a výsledek spočítáš na kalkulačce. U součtu mocnin nejprve vytkni.
4.Kdy použiju logaritmus?+
Odpověď:Když číslo na pravé straně není mocninou základu s pěkným exponentem, třeba $2^x = 7$ . Z definice logaritmu pak plyne $x = \log_2 7$ , což zapíšeš buď takto, nebo jako podíl dekadických logaritmů $\frac{\log 7}{\log 2}$ .
5.K čemu se exponenciální funkce používají v praxi?+
Odpověď:Popisují růst a pokles, při kterém se hodnota po stejných krocích násobí stejným číslem: množení bakterií, rozpad látky nebo složené úročení. Katalog maturity žádá poznatky o těchto funkcích použít v jednoduchých praktických úlohách.
6.Co znamená, že základ nesmí být roven jedné?+
Odpověď:Pro $a = 1$ by bylo $1^x = 1$ pro každé $x$ . Taková funkce je konstantní, neroste ani neklesá a není prostá: z rovnosti $1^2 = 1^5$ by plynulo $2 = 5$ , takže srovnání exponentů by přestalo platit.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Exponenciální funkce a exponenciální rovnice: graf, vlastnosti a postup řešení

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Najdi společný základ

2.Zjednoduš obě strany

3.Srovnej exponenty

4.Když základy nejdou převést

5.Udělej zkoušku

Řešené příklady

1.Rostoucí, nebo klesající

2.Stejný základ

3.Součet mocnin

4.Základy se nesjednotí

Úloha ve formátu maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje