Jak najdu vrchol paraboly?

Spočítej první souřadnici $x_V = -\frac{b}{2a}$ a dosaď ji do předpisu. Pokud znáš nulové body, vrchol leží přesně uprostřed mezi nimi, takže $x_V$ je jejich průměr.

Jak z vrcholu poznám obor hodnot?

Podívej se na znaménko čísla $a$. Pro $a > 0$ je vrchol nejníž a obor hodnot je $\langle y_V; \infty)$, pro $a < 0$ je vrchol nejvýš a obor hodnot je $(-\infty; y_V\rangle$. Definiční obor je vždy $\mathbb{R}$.

Kolik průsečíků s osou $x$ může parabola mít?

Žádný, jeden nebo dva. Počet určuje diskriminant rovnice $ax^2 + bx + c = 0$: záporný diskriminant znamená žádný průsečík, nulový právě jeden (parabola se dotýká osy ve vrcholu), kladný dva.

Kdy je kvadratická funkce rostoucí a kdy klesající?

Je to dáno vrcholem. Pro $a > 0$ funkce klesá nalevo od $x_V$ a roste napravo, pro $a < 0$ je to opačně. Na celém $\mathbb{R}$ tedy není kvadratická funkce monotonní.

K čemu se v praxi používá vrchol paraboly?

Všude, kde je potřeba najít největší nebo nejmenší hodnotu: nejvyšší bod hozeného míče, největší obsah obdélníku při daném obvodu nebo nejnižší cenu. Katalog maturity výslovně žádá „řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce“.

Jak se kvadratická funkce liší od kvadratické rovnice?

Funkce přiřazuje každému $x$ hodnotu $y$ a její graf je parabola. Rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ hledá jen ta $x$, pro něž je hodnota nulová, tedy průsečíky grafu s osou $x$.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Parabola a kvadratická funkce: vrchol paraboly, graf a obor hodnot

Q: Kolik průsečíků s osou $x$ může parabola mít?

Žádný, jeden nebo dva. Počet určuje diskriminant rovnice $ax^2 + bx + c = 0$: záporný diskriminant znamená žádný průsečík, nulový právě jeden (parabola se dotýká osy ve vrcholu), kladný dva.

Q: Kdy je kvadratická funkce rostoucí a kdy klesající?

Je to dáno vrcholem. Pro $a > 0$ funkce klesá nalevo od $x_V$ a roste napravo, pro $a < 0$ je to opačně. Na celém $\mathbb{R}$ tedy není kvadratická funkce monotonní.

Q: K čemu se v praxi používá vrchol paraboly?

Všude, kde je potřeba najít největší nebo nejmenší hodnotu: nejvyšší bod hozeného míče, největší obsah obdélníku při daném obvodu nebo nejnižší cenu. Katalog maturity výslovně žádá „řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce“.

Q: Jak se kvadratická funkce liší od kvadratické rovnice?

Funkce přiřazuje každému $x$ hodnotu $y$ a její graf je parabola. Rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ hledá jen ta $x$, pro něž je hodnota nulová, tedy průsečíky grafu s osou $x$.

Graf kvadratické funkce je parabola a mnoho jejích vlastností přečteš z vrcholu. K maturitě z matematiky tu najdeš, jak vrchol spočítat, jak z něj určit obor hodnot, intervaly monotonie a extrém, jak najít průsečíky s osami, řešené příklady a úlohy v našem formátu, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 4 „Funkce“ (orientačně 10–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úloha 15.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.3 Kvadratické funkce

Žák dovede určit kvadratickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce.
Žák dovede vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, určit intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému.
Žák dovede řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.3 Kvadratické funkce
- Žák dovede určit kvadratickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce.
- Žák dovede vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, určit intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému.
- Žák dovede řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce.
Formy úloh v našich testech
ano/ne
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 4 „Funkce“ orientačně 10–20 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úloha 15.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Kvadratická funkce má předpis $y = ax^2 + bx + c$ s $a \ne 0$ . Definiční obor je $\mathbb{R}$ a graf je parabola se svislou osou souměrnosti.
Znaménko $a$ říká, kam se parabola otevírá: pro $a > 0$ nahoru (vrchol je minimum), pro $a < 0$ dolů (vrchol je maximum). Čím větší $|a|$ , tím užší parabola.
Vrchol $V[x_V; y_V]$ má $x_V = -\frac{b}{2a}$ a $y_V = f(x_V)$ . Svislá přímka $x = x_V$ je osa paraboly.
Obor hodnot čteš z vrcholu: pro $a > 0$ je to $\langle y_V; \infty)$ , pro $a < 0$ je to $(-\infty; y_V\rangle$ .
Monotonie. Pro $a > 0$ je funkce klesající na $(-\infty; x_V\rangle$ a rostoucí na $\langle x_V; \infty)$ , pro $a < 0$ naopak. Bod $x_V$ je bod extrému.
Průsečíky s osami: s osou $y$ leží $[0; c]$ , s osou $x$ jsou řešení rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ (žádné, jedno nebo dvě podle diskriminantu). Tvar $y ={}$ $a(x - x_V)^2 + y_V$ ukazuje vrchol přímo.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Přečti, co úloha hledá
Vrchol, obor hodnot, extrém, průsečík, nebo interval, na kterém funkce roste? Skoro každá z těch otázek se vrací k vrcholu.
2.Spočítej vrchol
Nejdřív $x_V = -\frac{b}{2a}$ , potom dosaď do předpisu pro $y_V$ . Vrchol ti dá i osu souměrnosti a směr otevření podle znaménka $a$ .
3.Urči obor hodnot a monotonii
Z $y_V$ a ze znaménka $a$ zapiš obor hodnot, z $x_V$ intervaly, na kterých funkce roste a klesá. Nakresli si náčrt paraboly.
4.Najdi průsečíky
S osou $y$ dosaď $x = 0$ , s osou $x$ vyřeš kvadratickou rovnici. Rozklad na součin často vyjde rychleji než vzorec.
5.Zkontroluj náčrtem
Vrchol musí ležet přesně uprostřed mezi nulovými body (pokud jsou dva) a směr otevření musí odpovídat oběma intervalům monotonie.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Vrchol, obor hodnot a monotonie
Je dána funkce $f\colon y ={}$ $x^2 - 4x + 1$ . Najdi vrchol grafu, obor hodnot a intervaly monotonie.
2.Maximum a průsečíky
Je dána funkce $f\colon y ={}$ $-2x^2 + 8x - 6$ . Najdi průsečíky grafu s osami a největší hodnotu funkce.
3.Hozený míč
Výška míče nad zemí v metrech je $h(t) ={}$ $-5t^2 + 20t + 25$ , kde $t$ je čas v sekundách od hodu. Kdy je míč nejvýš a jak vysoko, a za jak dlouho dopadne na zem?
4.Předpis z vrcholu a bodu
Parabola má vrchol $V[1; -4]$ a prochází bodem $[3; 0]$ . Najdi předpis kvadratické funkce.

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Ano/ne

Úloha 1.

Je dána kvadratická funkce

f\colon y ={}

2x^2 + 8x

. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Funkce

f

je na intervalu

\langle -3; \infty)

rostoucí.

Graf funkce

f

protíná osu

y

v bodě

[0; 0]

Číslo

-4

je nulovým bodem funkce

f

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

Vrchol grafu funkce

y = x^2 + 6x + 4

má souřadnice

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 3.

Jaké největší hodnoty nabývá funkce

y = -x^2 + 4x + 1

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 4.

Je dána funkce

f\colon y ={}

x^2 + 2x - 8

. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N). Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Graf funkce

f

protíná osu

x

v bodech

-4

2

Obor hodnot funkce

f

\langle -8; \infty)

Funkce

f

je rostoucí na intervalu

\langle -1; \infty)

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Zapomeneš znaménko ve vzorci pro vrchol. Je to $x_V = -\frac{b}{2a}$ , takže u funkce s $b = -8$ je $x_V$ kladné.
Za druhou souřadnici vrcholu vezmeš $-\frac{b}{2a}$ místo toho, abys tuto hodnotu dosadil do předpisu. Číslo $-\frac{b}{2a}$ je první souřadnice, $y_V$ dostaneš až dosazením.
U paraboly otevřené dolů zapíšeš obor hodnot jako $\langle y_V; \infty)$ . Pro $a < 0$ je vrchol maximum a obor hodnot je $(-\infty; y_V\rangle$ .
Do intervalu monotonie napíšeš druhou souřadnici vrcholu místo první. Intervaly, na kterých funkce roste a klesá, leží na ose $x$ , a proto je odděluje číslo $x_V$ .
Průsečík s osou $x$ hledáš dosazením $x = 0$ . Tím dostaneš průsečík s osou $y$ ; s osou $x$ položíš $y = 0$ .

Zapamatuj si

$y = ax^2 + bx + c$ : pro $a > 0$ parabola otevřená nahoru, pro $a < 0$ dolů.
$x_V = -\frac{b}{2a}$ , $y_V = f(x_V)$ .
Obor hodnot začíná nebo končí hodnotou $y_V$ .
Monotonie se mění v $x_V$ .
Průsečík s osou $y$ je $[0; c]$ .

Otázky a odpovědi

1.Jak najdu vrchol paraboly?+
Odpověď:Spočítej první souřadnici $x_V = -\frac{b}{2a}$ a dosaď ji do předpisu. Pokud znáš nulové body, vrchol leží přesně uprostřed mezi nimi, takže $x_V$ je jejich průměr.
2.Jak z vrcholu poznám obor hodnot?+
Odpověď:Podívej se na znaménko čísla $a$ . Pro $a > 0$ je vrchol nejníž a obor hodnot je $\langle y_V; \infty)$ , pro $a < 0$ je vrchol nejvýš a obor hodnot je $(-\infty; y_V\rangle$ . Definiční obor je vždy $\mathbb{R}$ .
3.Kolik průsečíků s osou $x$ může parabola mít?+
Odpověď:Žádný, jeden nebo dva. Počet určuje diskriminant rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ : záporný diskriminant znamená žádný průsečík, nulový právě jeden (parabola se dotýká osy ve vrcholu), kladný dva.
4.Kdy je kvadratická funkce rostoucí a kdy klesající?+
Odpověď:Je to dáno vrcholem. Pro $a > 0$ funkce klesá nalevo od $x_V$ a roste napravo, pro $a < 0$ je to opačně. Na celém $\mathbb{R}$ tedy není kvadratická funkce monotonní.
5.K čemu se v praxi používá vrchol paraboly?+
Odpověď:Všude, kde je potřeba najít největší nebo nejmenší hodnotu: nejvyšší bod hozeného míče, největší obsah obdélníku při daném obvodu nebo nejnižší cenu. Katalog maturity výslovně žádá „řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce“.
6.Jak se kvadratická funkce liší od kvadratické rovnice?+
Odpověď:Funkce přiřazuje každému $x$ hodnotu $y$ a její graf je parabola. Rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ hledá jen ta $x$ , pro něž je hodnota nulová, tedy průsečíky grafu s osou $x$ .

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Parabola a kvadratická funkce: vrchol paraboly, graf a obor hodnot

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Přečti, co úloha hledá

2.Spočítej vrchol

3.Urči obor hodnot a monotonii

4.Najdi průsečíky

5.Zkontroluj náčrtem

Řešené příklady

1.Vrchol, obor hodnot a monotonie

2.Maximum a průsečíky

3.Hozený míč

4.Předpis z vrcholu a bodu

Úloha ve formátu maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje