Co přesně je logaritmus?

Logaritmus čísla $b$ o základu $a$ je exponent, na který musíš umocnit $a$, abys dostal $b$. Proto je $\log_2 8 = 3$, protože $2^3 = 8$. Logaritmus je tedy inverzní operace k umocňování.

Proč nejde logaritmovat nulu ani záporné číslo?

Mocnina kladného základu je vždy kladná, takže $a^c$ nikdy nevyjde nula ani záporné. Rovnice $a^c = b$ proto nemá řešení pro $b \le 0$ a logaritmus takového čísla není definován.

Jak řeším logaritmickou rovnici?

Nejdřív zapiš podmínky, že argumenty jsou kladné. Pak podle vět o logaritmech sluč výrazy do jednoho logaritmu a použij definici, nebo srovnej argumenty. Nakonec každý kořen porovnej s podmínkami.

Co znamená zápis log bez základu?

Je to logaritmus o základu $10$, takzvaný dekadický logaritmus. V našich cvičných testech se zapisuje právě tak, takže například $\log 1\,000 = 3$, protože $10^3 = 1\,000$.

Jak spolu souvisí exponenciální a logaritmická funkce?

Jsou k sobě inverzní: $y = a^x$ a $y = \log_a x$ mají grafy souměrné podle přímky $y = x$. Co jedna udělá, druhá vrátí, a proto $a^{\log_a x} = x$.

Jak určím definiční obor logaritmické funkce s posunem?

Zapiš podmínku, že argument je kladný, a vyřeš nerovnici. U funkce $y = \log_2 (x - 1)$ je to $x - 1 > 0$, tedy $x > 1$, a definiční obor je $(1; \infty)$. Obor hodnot zůstává $\mathbb{R}$.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Logaritmus: věty o logaritmech, logaritmická funkce a logaritmické rovnice

Logaritmus odpovídá na otázku, na jakou mocninu je třeba základ umocnit, abychom dostali dané číslo. K maturitě z matematiky tu najdeš definici, věty o logaritmu součinu, podílu a mocniny, graf logaritmické funkce a řešení logaritmických rovnic s podmínkami, řešené příklady a úlohy v našem formátu, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 4 „Funkce“ (orientačně 10–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 1–5 a 16–21.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice

Žák dovede určit logaritmickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce.
Žák dovede užít logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování při řešení exponenciální rovnice.
Žák dovede upravovat výrazy obsahující exponenciální a logaritmické funkce a stanovit jejich definiční obor.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice
- Žák dovede určit logaritmickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce.
- Žák dovede užít logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování při řešení exponenciální rovnice.
- Žák dovede upravovat výrazy obsahující exponenciální a logaritmické funkce a stanovit jejich definiční obor.
Formy úloh v našich testech
výsledek, výběr z pěti možností
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 4 „Funkce“ orientačně 10–20 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úlohy 1–5 a 16–21.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Definice: $\log_a b = c$ znamená $a^c = b$ , kde $a > 0$ , $a \ne 1$ a $b > 0$ . Logaritmus je tedy exponent. Zápis $\log b$ bez základu je logaritmus o základu $10$ .
Logaritmovat lze jen kladná čísla. Z definice plyne $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ a $a^{\log_a b} = b$ .
Věty o logaritmech (pro kladná $x$ , $y$ a libovolné $r$ ): $\log_a (xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} ={}$ $\log_a x - \log_a y$ a $\log_a x^r ={}$ $r \cdot \log_a x$ . Na logaritmus součtu žádné pravidlo neexistuje.
Přechod k jinému základu: $\log_a b ={}$ $\frac{\log b}{\log a}$ . Tím spočítáš logaritmus o libovolném základu na kalkulačce.
Logaritmická funkce $y = \log_a x$ je inverzní k $y = a^x$ . Definiční obor je $(0; \infty)$ , obor hodnot $\mathbb{R}$ , graf prochází bodem $[1; 0]$ . Pro $a > 1$ roste, pro $0 < a < 1$ klesá.
Logaritmická rovnice: nejdřív podmínky (každý argument logaritmu je kladný), potom úprava podle vět na tvar $\log_a u = \log_a v$ nebo $\log_a u = c$ a řešení. Kořeny, které podmínky nesplňují, vyřaď.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Napiš podmínky
U každého logaritmu zapiš, že jeho argument je kladný, a najdi společnou množinu těchto čísel. Bez toho nepoznáš falešný kořen.
2.Sjednoť logaritmy
Součty a rozdíly logaritmů o témže základu spoj do jednoho: $\log_a x + \log_a y ={}$ $\log_a (xy)$ . Koeficient před logaritmem přesuň do exponentu.
3.Odstraň logaritmus
Rovnice $\log_a u = c$ znamená $u = a^c$ , rovnice $\log_a u = \log_a v$ znamená $u = v$ .
4.Vyřeš a porovnej s podmínkami
Vyřeš získanou rovnici (třeba lineární nebo kvadratickou) a každý kořen porovnej s podmínkami z prvního kroku.
5.Udělej zkoušku
Dosaď zbylé kořeny do původní rovnice. Argumenty musí vyjít kladné a obě strany stejné.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Hodnota logaritmu z definice
Urči hodnoty $\log_2 32$ , $\log_3 \frac{1}{27}$ , $\log 0{,}001$ a $\log_7 1$ .
2.Věty o logaritmech
Vypočítej $\log_6 4 + \log_6 9$ a $2 \log_5 10 - \log_5 4$ .
3.Logaritmická rovnice s podmínkami
Řeš v oboru $\mathbb{R}$ rovnici $\log_2 (x - 1) +{}$ $\log_2 (x + 5) ={}$ $4$ .
4.Definiční obor logaritmické funkce
Urči definiční obor funkce $f\colon y ={}$ $\log_3 (5 - x)$ a průsečík jejího grafu s osou $x$ .

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Výběr z pěti možností

Úloha 1.

Řešením rovnice

\log_{3} (x + 1) = 3

v oboru

\mathbb{R}

je číslo

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

Vypočtěte

\log_{2} 192 - \log_{2} 3

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 3.

Vypočtěte

\log 50 + \log 2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

Hodnota výrazu

\log_2 40 -{}

\log_2 5 +{}

\log_2 \frac{1}{2}

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 5.

Vypočtěte

3^{\log_3 7} + \log 0{,}1

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Napíšeš $\log (x + y) ={}$ $\log x + \log y$ . Věta o součtu logaritmů se týká logaritmu součinu, na logaritmus součtu žádné pravidlo neexistuje.
Nezapíšeš podmínky nebo nezkontroluješ kořeny. Kořen, při kterém by byl argument logaritmu záporný nebo nulový, není řešení rovnice, i když algebra vyšla správně.
Podíl logaritmů zaměníš za logaritmus podílu: $\frac{\log x}{\log y}$ se nerovná $\log \frac{x}{y}$ . Věta o rozdílu platí pro rozdíl logaritmů, ne pro jejich podíl.
Zapíšeš logaritmus nuly nebo záporného čísla a pokračuješ ve výpočtu. Takový logaritmus neexistuje a výraz nemá smysl.
Při přechodu z logaritmu na mocninu prohodíš základ a hodnotu: z $\log_a b = c$ je $a^c = b$ , ne $c^a = b$ .

Zapamatuj si

$\log_a b ={}$ $c \iff a^c ={}$ $b$ , přičemž $b > 0$ .
$\log_a (xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} ={}$ $\log_a x - \log_a y$ .
$\log_a x^r ={}$ $r \cdot \log_a x$ .
$y = \log_a x$ : definiční obor $(0; \infty)$ , obor hodnot $\mathbb{R}$ , graf přes $[1; 0]$ .
Logaritmická rovnice: podmínky, úprava, řešení, porovnání s podmínkami.

Otázky a odpovědi

1.Co přesně je logaritmus?+
Odpověď:Logaritmus čísla $b$ o základu $a$ je exponent, na který musíš umocnit $a$ , abys dostal $b$ . Proto je $\log_2 8 = 3$ , protože $2^3 = 8$ . Logaritmus je tedy inverzní operace k umocňování.
2.Proč nejde logaritmovat nulu ani záporné číslo?+
Odpověď:Mocnina kladného základu je vždy kladná, takže $a^c$ nikdy nevyjde nula ani záporné. Rovnice $a^c = b$ proto nemá řešení pro $b \le 0$ a logaritmus takového čísla není definován.
3.Jak řeším logaritmickou rovnici?+
Odpověď:Nejdřív zapiš podmínky, že argumenty jsou kladné. Pak podle vět o logaritmech sluč výrazy do jednoho logaritmu a použij definici, nebo srovnej argumenty. Nakonec každý kořen porovnej s podmínkami.
4.Co znamená zápis log bez základu?+
Odpověď:Je to logaritmus o základu $10$ , takzvaný dekadický logaritmus. V našich cvičných testech se zapisuje právě tak, takže například $\log 1\,000 = 3$ , protože $10^3 = 1\,000$ .
5.Jak spolu souvisí exponenciální a logaritmická funkce?+
Odpověď:Jsou k sobě inverzní: $y = a^x$ a $y = \log_a x$ mají grafy souměrné podle přímky $y = x$ . Co jedna udělá, druhá vrátí, a proto $a^{\log_a x} = x$ .
6.Jak určím definiční obor logaritmické funkce s posunem?+
Odpověď:Zapiš podmínku, že argument je kladný, a vyřeš nerovnici. U funkce $y = \log_2 (x - 1)$ je to $x - 1 > 0$ , tedy $x > 1$ , a definiční obor je $(1; \infty)$ . Obor hodnot zůstává $\mathbb{R}$ .

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Logaritmus: věty o logaritmech, logaritmická funkce a logaritmické rovnice

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Napiš podmínky

2.Sjednoť logaritmy

3.Odstraň logaritmus

4.Vyřeš a porovnej s podmínkami

5.Udělej zkoušku

Řešené příklady

1.Hodnota logaritmu z definice

2.Věty o logaritmech

3.Logaritmická rovnice s podmínkami

4.Definiční obor logaritmické funkce

Úloha ve formátu maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje