Kdy má kvadratická rovnice dva kořeny, kdy jeden a kdy žádný?

Rozhoduje znaménko diskriminantu $D = b^2 - 4ac$. Kladný diskriminant dává dva různé reálné kořeny, nulový jeden dvojnásobný a záporný žádný reálný, protože ze záporného čísla se v oboru reálných čísel odmocnina nedá vzít.

Jak se řeší neúplná kvadratická rovnice rychleji než diskriminantem?

Chybí-li absolutní člen, vytkni $x$ a použij, že součin je nula, když je nulový některý činitel. Chybí-li lineární člen, vyjádři $x^2$ a odmocni, přičemž dostaneš dva kořeny s opačným znaménkem, pokud je pravá strana kladná. Diskriminant pak nepotřebuješ.

K čemu jsou Vietovy vzorce?

Katalog je jmenuje jako vztahy mezi kořeny a koeficienty. Hodí se ke zkoušce, kdy součet a součin kořenů porovnáš s koeficienty, i k úlohám, kde z jednoho kořene dopočítáš druhý nebo neznámý koeficient, aniž bys rovnici řešil.

Jak z kořenů poznám rozklad kvadratického trojčlenu?

Má-li rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ kořeny $x_1$ a $x_2$, platí $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Rovnice $x^2 - 7x + 12 = 0$ s kořeny $3$ a $4$ se tedy rozloží na $(x - 3)(x - 4)$.

Musím vždy počítat diskriminant?

Ne. Nejdřív zkus, zda je rovnice neúplná nebo zda najdeš dvě čísla, jejichž součet je $-\frac{b}{a}$ a součin $\frac{c}{a}$. Diskriminant je jistá cesta pro každou kvadratickou rovnici, ale zdlouhavější.

Jak se použije kvadratická rovnice ve slovní úloze?

Katalog počítá s tím, že kvadratickou rovnici použiješ k řešení slovní úlohy. Označ neznámou, sestav rovnici z obsahu, obvodu nebo součinu, vyřeš ji a každý kořen porovnej se zadáním. Záporný nebo nesmyslný kořen odmítni a napiš proč.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Kvadratické rovnice: diskriminant, vzorec pro kořeny a Vietovy vzorce

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které je neznámá nejvýš ve druhé mocnině. K maturitě z matematiky tu najdeš neúplné i úplné rovnice, diskriminant, vzorec pro kořeny, vztahy mezi kořeny a koeficienty a použití ve slovní úloze. Čeká tě postup krok za krokem, řešené příklady a úlohy ve formátu maturity, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“ (orientačně 12–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úloha 7.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.4 Kvadratické rovnice

Žák dovede řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice a nerovnice.
Žák dovede užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice.
Žák dovede užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.4 Kvadratické rovnice
- Žák dovede řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice a nerovnice.
- Žák dovede užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice.
- Žák dovede užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy.
Formy úloh v našich testech
postup řešení
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 3 „Rovnice a nerovnice“ orientačně 12–20 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úloha 7.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Základní tvar je $ax^2 + bx + c = 0$ s $a \neq 0$ . Než určíš $a$ , $b$ a $c$ , převeď všechny členy na levou stranu a pravou nech nulovou.
Neúplná rovnice nemá jeden člen. Bez absolutního členu: $ax^2 + bx = 0$ rozlož vytýkáním na $x(ax + b) = 0$ , kořeny jsou $0$ a $-\frac{b}{a}$ . Bez lineárního členu: $ax^2 + c = 0$ vede na $x^2 = -\frac{c}{a}$ .
Diskriminant je $D = b^2 - 4ac$ . Pro $D > 0$ má rovnice dva různé reálné kořeny, pro $D = 0$ jeden dvojnásobný, pro $D < 0$ žádný reálný.
Kořeny spočítáš ze vzorce $x_{1,2} ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Dělí se celý čitatel a jmenovatel je $2a$ , ne jen $2$ .
Vietovy vzorce dávají vztah mezi kořeny a koeficienty: $x_1 + x_2 ={}$ $-\frac{b}{a}$ a $x_1 \cdot x_2 ={}$ $\frac{c}{a}$ . Rovnice se dá rozložit na $a(x - x_1)(x - x_2) ={}$ $0$ .
Ve slovní úloze není každý kořen řešením: délka, počet osob nebo cena nejsou záporné. Kořen, který zadání odporuje, odmítni a napiš proč.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Převeď na tvar s nulou
Roznásob závorky, převeď všechny členy na jednu stranu a seřaď je podle mocnin: $ax^2 + bx + c = 0$ . Pak si vypiš $a$ , $b$ a $c$ i s jejich znaménky.
2.Zkus, zda je rovnice neúplná
Chybí-li $c$ , vytkni $x$ . Chybí-li $b$ , vyjádři $x^2$ a odmocni — nezapomeň na obě znaménka. Je to rychlejší než diskriminant.
3.Spočítej diskriminant
Dosaď do $D = b^2 - 4ac$ po částech a dej pozor na záporné $c$ : $-4ac$ je pak kladné. Podle znaménka $D$ víš, kolik kořenů čekat.
4.Dosaď do vzorce pro kořeny
Spočítej $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Je-li $D$ čtverec celého čísla, vyjdou kořeny racionální a můžeš zkoušet rozklad.
5.Zkontroluj Vietovými vzorci
Součet kořenů musí být $-\frac{b}{a}$ a součin $\frac{c}{a}$ . Je to rychlá zkouška bez dosazování do původní rovnice.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Dvě neúplné rovnice
Řeš v oboru reálných čísel rovnice a) $3x^2 - 12x = 0$ , b) $2x^2 - 50 = 0$ .
2.Úplná rovnice s diskriminantem
Řeš v oboru reálných čísel rovnici $3x^2 + 5x - 2 = 0$ .
3.Vietovy vzorce bez počítání diskriminantu
Rovnice $x^2 + px + 24 = 0$ má jeden kořen $x_1 = 4$ . Urči druhý kořen a číslo $p$ .
4.Slovní úloha
Obdélníkový pozemek má obsah 84 m². Jedna jeho strana je o 5 m delší než druhá. Urči rozměry pozemku.

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 1.

Řešte v oboru

\mathbb{R}

rovnici

(x + 1)^2 = 3x + 13

. Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 2.

Řešte v oboru

\mathbb{R}

rovnici

(x + 5)^2 = 18x + 10

. Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 3.

Určete diskriminant rovnice

x^2 - 3x - 10 = 0

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 4.

Kolik reálných kořenů má rovnice

4x^2 - 12x + 9 = 0

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 5.

Určete součin kořenů rovnice

5x^2 - 3x - 20 = 0

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Určíš $a$ , $b$ a $c$ z rovnice, která ještě není převedená na nulu. Rovnice $x^2 = 3x + 4$ má $b = -3$ a $c = -4$ , ne $b = 3$ a $c = 4$ .
Pomýlíš se ve znaménku diskriminantu u záporného $c$ . Pro $x^2 + x - 6 = 0$ je $D ={}$ $1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)$ , tedy $1 + 24 = 25$ , ne $1 - 24$ .
Neúplnou rovnici $x^2 = 5x$ vydělíš číslem $x$ a ztratíš kořen $0$ . Správně vytkni: $x(x - 5) = 0$ .
Vzorec pro kořeny dělíš jen dvojkou místo $2a$ , nebo odečteš $\sqrt{D}$ jen od jednoho z členů v čitateli. Dělí se celý výraz $-b \pm \sqrt{D}$ číslem $2a$ .
Ve slovní úloze ponecháš oba kořeny. Záporná délka strany nebo záporný počet osob úlohu nesplňuje, kořen se odmítne.

Zapamatuj si

$D = b^2 - 4ac$ ; $D > 0$ dva kořeny, $D = 0$ jeden, $D < 0$ žádný reálný.
$x_{1,2} ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
$x_1 + x_2 ={}$ $-\frac{b}{a}$ a $x_1 \cdot x_2 ={}$ $\frac{c}{a}$ .
Neúplnou rovnici nejdřív rozlož, diskriminant nepotřebuješ.
Ve slovní úloze zkontroluj, zda kořen odpovídá zadání.

Otázky a odpovědi

1.Kdy má kvadratická rovnice dva kořeny, kdy jeden a kdy žádný?+
Odpověď:Rozhoduje znaménko diskriminantu $D = b^2 - 4ac$ . Kladný diskriminant dává dva různé reálné kořeny, nulový jeden dvojnásobný a záporný žádný reálný, protože ze záporného čísla se v oboru reálných čísel odmocnina nedá vzít.
2.Jak se řeší neúplná kvadratická rovnice rychleji než diskriminantem?+
Odpověď:Chybí-li absolutní člen, vytkni $x$ a použij, že součin je nula, když je nulový některý činitel. Chybí-li lineární člen, vyjádři $x^2$ a odmocni, přičemž dostaneš dva kořeny s opačným znaménkem, pokud je pravá strana kladná. Diskriminant pak nepotřebuješ.
3.K čemu jsou Vietovy vzorce?+
Odpověď:Katalog je jmenuje jako vztahy mezi kořeny a koeficienty. Hodí se ke zkoušce, kdy součet a součin kořenů porovnáš s koeficienty, i k úlohám, kde z jednoho kořene dopočítáš druhý nebo neznámý koeficient, aniž bys rovnici řešil.
4.Jak z kořenů poznám rozklad kvadratického trojčlenu?+
Odpověď:Má-li rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ kořeny $x_1$ a $x_2$ , platí $ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Rovnice $x^2 - 7x + 12 = 0$ s kořeny $3$ a $4$ se tedy rozloží na $(x - 3)(x - 4)$ .
5.Musím vždy počítat diskriminant?+
Odpověď:Ne. Nejdřív zkus, zda je rovnice neúplná nebo zda najdeš dvě čísla, jejichž součet je $-\frac{b}{a}$ a součin $\frac{c}{a}$ . Diskriminant je jistá cesta pro každou kvadratickou rovnici, ale zdlouhavější.
6.Jak se použije kvadratická rovnice ve slovní úloze?+
Odpověď:Katalog počítá s tím, že kvadratickou rovnici použiješ k řešení slovní úlohy. Označ neznámou, sestav rovnici z obsahu, obvodu nebo součinu, vyřeš ji a každý kořen porovnej se zadáním. Záporný nebo nesmyslný kořen odmítni a napiš proč.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Kvadratické rovnice: diskriminant, vzorec pro kořeny a Vietovy vzorce

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Převeď na tvar s nulou

2.Zkus, zda je rovnice neúplná

3.Spočítej diskriminant

4.Dosaď do vzorce pro kořeny

5.Zkontroluj Vietovými vzorci

Řešené příklady

1.Dvě neúplné rovnice

2.Úplná rovnice s diskriminantem

3.Vietovy vzorce bez počítání diskriminantu

4.Slovní úloha

Úloha ve formátu maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje