Jak poznám, kterou větu mám použít?

Podívej se, co v zadání máš. Pokud je mezi údaji pár strana a protilehlý úhel, použij sinovou větu. Pokud znáš dvě strany a úhel mezi nimi, nebo všechny tři strany, pomůže jen kosinová věta, protože žádný takový pár nemáš.

Proč se kosinová věta nazývá zobecněním Pythagorovy věty?

Pro pravý úhel je $\cos 90^\circ = 0$, takže člen $-2ab\cos\gamma$ zmizí a zbyde $c^2 = a^2 + b^2$. Kosinová věta tak opravuje Pythagorovu větu o člen, který zachytí odchylku od pravého úhlu.

Může sinová věta dát dvě řešení?

Ano. Když znáš dvě strany a úhel proti jedné z nich, může zadání vyhovovat jeden trojúhelník, dva trojúhelníky, nebo žádný. K jedné hodnotě sinu totiž patří dva úhly menší než $180^\circ$: $\alpha$ a $180^\circ - \alpha$. Vždy ověř, jestli součet úhlů nepřesáhne $180^\circ$.

Kdy je lepší použít kosinovou větu a kdy Pythagorovu?

Pythagorovu větu smíš použít jen v pravoúhlém trojúhelníku. Kosinová věta platí v každém trojúhelníku, takže po ní sáhneš vždy, když pravý úhel zaručený nemáš. V pravoúhlém trojúhelníku vedou obě na stejný výsledek.

Jak vypočítám obsah, když znám jen strany?

Katalog u trojúhelníků jmenuje obsah určený dvěma stranami a úhlem mezi nimi. Znáš-li všechny tři strany, spočítej nejdřív kosinovou větou jeden úhel a pak dosaď do vzorce $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Jiné vzorce katalog u této položky nejmenuje.

Jak zaokrouhlovat mezivýsledky?

Nezaokrouhluj je. Hodnoty sinů a kosinů nech v kalkulačce a zaokrouhli až konečný výsledek. V didaktickém testu je povolená kalkulačka bez grafického režimu, takže vyšší přesnost mezivýpočtů nic nestojí.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Sinová a kosinová věta: výpočet stran a úhlů obecného trojúhelníku a jeho obsah

Pythagorova věta a poměry v pravoúhlém trojúhelníku nestačí, když trojúhelník pravý úhel nemá. K maturitě z matematiky tu najdeš, jak podle zadaných údajů poznat, jestli sáhnout po sinové, nebo kosinové větě, jak z nich dopočítat strany a úhly a jak určit obsah trojúhelníku ze dvou stran a úhlu mezi nimi. K tomu řešené příklady a úlohy, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 6 „Planimetrie“ (orientačně 8–18 % testu); v našich cvičných testech podle losu úloha 9.

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 6 „Planimetrie“, 6.2 Trojúhelníky
- Žák dovede řešit úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová věta, kosinová věta, obsah trojúhelníku určeného sus).
Formy úloh v našich testech
více výsledků
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 6 „Planimetrie“ orientačně 8–18 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úloha 9.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

V trojúhelníku $ABC$ se stranami $a$ , $b$ , $c$ proti úhlům $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ říká sinová věta: $\frac{a}{\sin\alpha} ={}$ $\frac{b}{\sin\beta} ={}$ $\frac{c}{\sin\gamma}$ . Strana a úhel proti ní tvoří vždy dvojici.
Kosinová věta pro stranu $c$ : $c^2 ={}$ $a^2 +{}$ $b^2 -{}$ $2ab\cos\gamma$ . Obdobně pro $a$ a $b$ — vždy je v rovnici úhel proti počítané straně.
Sinovou větu použiješ, když znáš dvojici strana a protilehlý úhel a jeden další údaj. Kosinovou větu, když znáš dvě strany a úhel mezi nimi (sus), nebo všechny tři strany (sss).
Úhel z kosinové věty: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ . Záporný kosinus znamená tupý úhel.
Obsah trojúhelníku určeného dvěma stranami a úhlem mezi nimi: $S ={}$ $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .
Pro $\gamma = 90^\circ$ je $\cos\gamma = 0$ a kosinová věta se změní na Pythagorovu. Součet úhlů v trojúhelníku je vždy $180^\circ$ .

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Načrtni trojúhelník
Označ strany a úhly tak, aby strana $a$ ležela proti úhlu $\alpha$ a stejně u dalších. Vyznač zadané údaje a hledanou veličinu.
2.Rozhodni, kterou větu použít
Máš-li pár strana — protilehlý úhel, použij sinovou větu. Znáš-li dvě strany a úhel mezi nimi, nebo tři strany, použij kosinovou větu.
3.Dosaď a vyjádři neznámou
Do vztahu dosaď známé hodnoty a vyjádři neznámou. U kosinové věty nejdřív spočítej $c^2$ a teprve potom odmocni.
4.Dopočítej zbytek
Třetí úhel dostaneš z $180^\circ$ , další stranu ze sinové věty. Úhel proti nejdelší straně hledej zvlášť opatrně — může být tupý.
5.Zkontroluj rozumnost
Nejdelší strana leží proti největšímu úhlu a součet dvou stran je větší než třetí strana. Výsledek zaokrouhli až na konci.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Sinová věta: strana ze dvou úhlů
V trojúhelníku $ABC$ je $a = 10$ cm, $\alpha = 48^\circ$ a $\beta = 65^\circ$ . Vypočítej délku strany $b$ na desetiny centimetru.
2.Kosinová věta: třetí strana
Dvě strany trojúhelníku mají délky 8 cm a 11 cm a svírají úhel $50^\circ$ . Vypočítej třetí stranu na desetiny centimetru.
3.Úhel ze tří stran
Trojúhelník má strany $a = 7$ cm, $b = 9$ cm a $c = 12$ cm. Vypočítej největší úhel na desetiny stupně.
4.Obsah ze dvou stran a úhlu
Dvě strany trojúhelníku měří 10 cm a 14 cm a svírají úhel $120^\circ$ . Urči jeho obsah.

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 1.

Dvě strany trojúhelníku měří 5 cm a 8 cm a svírají úhel

60^\circ

. Jakou délku má třetí strana?

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 2.

V trojúhelníku

ABC

a = 6

cm,

\sin\alpha = \frac{3}{5}

\sin\beta = \frac{4}{5}

. Vypočtěte délku strany

b

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 3.

Trojúhelník má strany 8 cm a 5 cm, které svírají úhel

30^\circ

. Vypočtěte jeho obsah.

cm²

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Použiješ úhel, který není proti hledané straně. V sinové větě patří ke straně vždy protilehlý úhel, v kosinové větě je v rovnici úhel proti počítané straně.
V kosinové větě zapomeneš na člen $-2ab\cos\gamma$ nebo ho přičteš místo odečtení. Pro tupý úhel je kosinus záporný, takže se opravdu přičítá.
Odmocníš po částech: $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma}$ není součet odmocnin. Nejdřív spočítej celý výraz pod odmocninou.
Z kosinové věty ti vyjde záporný kosinus a pokládáš to za chybu. Záporné číslo je v pořádku, úhel je prostě tupý.
Mezi dvěma stranami použiješ špatný úhel pro obsah. Ve vzorci $S ={}$ $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ musí být $\gamma$ úhel mezi stranami $a$ a $b$ .

Zapamatuj si

$\frac{a}{\sin\alpha} ={}$ $\frac{b}{\sin\beta} ={}$ $\frac{c}{\sin\gamma}$ .
$c^2 ={}$ $a^2 +{}$ $b^2 -{}$ $2ab\cos\gamma$ .
$S ={}$ $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ — úhel leží mezi stranami.
Znáš dvojici strana a protilehlý úhel? Použij sinovou větu. Znáš dvě strany a úhel mezi nimi nebo všechny tři strany? Použij kosinovou větu.
Součet úhlů je $180^\circ$ , záporný kosinus znamená tupý úhel.

Otázky a odpovědi

1.Jak poznám, kterou větu mám použít?+
Odpověď:Podívej se, co v zadání máš. Pokud je mezi údaji pár strana a protilehlý úhel, použij sinovou větu. Pokud znáš dvě strany a úhel mezi nimi, nebo všechny tři strany, pomůže jen kosinová věta, protože žádný takový pár nemáš.
2.Proč se kosinová věta nazývá zobecněním Pythagorovy věty?+
Odpověď:Pro pravý úhel je $\cos 90^\circ = 0$ , takže člen $-2ab\cos\gamma$ zmizí a zbyde $c^2 = a^2 + b^2$ . Kosinová věta tak opravuje Pythagorovu větu o člen, který zachytí odchylku od pravého úhlu.
3.Může sinová věta dát dvě řešení?+
Odpověď:Ano. Když znáš dvě strany a úhel proti jedné z nich, může zadání vyhovovat jeden trojúhelník, dva trojúhelníky, nebo žádný. K jedné hodnotě sinu totiž patří dva úhly menší než $180^\circ$ : $\alpha$ a $180^\circ - \alpha$ . Vždy ověř, jestli součet úhlů nepřesáhne $180^\circ$ .
4.Kdy je lepší použít kosinovou větu a kdy Pythagorovu?+
Odpověď:Pythagorovu větu smíš použít jen v pravoúhlém trojúhelníku. Kosinová věta platí v každém trojúhelníku, takže po ní sáhneš vždy, když pravý úhel zaručený nemáš. V pravoúhlém trojúhelníku vedou obě na stejný výsledek.
5.Jak vypočítám obsah, když znám jen strany?+
Odpověď:Katalog u trojúhelníků jmenuje obsah určený dvěma stranami a úhlem mezi nimi. Znáš-li všechny tři strany, spočítej nejdřív kosinovou větou jeden úhel a pak dosaď do vzorce $S ={}$ $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ . Jiné vzorce katalog u této položky nejmenuje.
6.Jak zaokrouhlovat mezivýsledky?+
Odpověď:Nezaokrouhluj je. Hodnoty sinů a kosinů nech v kalkulačce a zaokrouhli až konečný výsledek. V didaktickém testu je povolená kalkulačka bez grafického režimu, takže vyšší přesnost mezivýpočtů nic nestojí.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Sinová a kosinová věta: výpočet stran a úhlů obecného trojúhelníku a jeho obsah

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Načrtni trojúhelník

2.Rozhodni, kterou větu použít

3.Dosaď a vyjádři neznámou

4.Dopočítej zbytek

5.Zkontroluj rozumnost

Řešené příklady

1.Sinová věta: strana ze dvou úhlů

2.Kosinová věta: třetí strana

3.Úhel ze tří stran

4.Obsah ze dvou stran a úhlu

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje