Kleksa

Přijímačky 2027 · Česko · Matematika

Trojúhelníky: obsah a obvod, výška, rovnoramenný trojúhelník a podobnost

Trojúhelník je základní útvar rovinné geometrie a ostatní mnohoúhelníky se na trojúhelníky rozkládají. K přijímačkám z matematiky tu najdeš, jak spočítat obvod a obsah z libovolné strany a výšky k ní, co víš o úhlech a o rovnoramenném trojúhelníku, kdy tři délky netvoří trojúhelník a jak funguje podobnost. Řešené příklady a úlohy ve formátu přijímaček si hned zkontroluješ.

Přijímačky: specifikace, oblast 3 „Geometrie v rovině a prostoru“ a učivo nižších ročníků (část B1); v našich cvičných testech podle losu úlohy 8 a 15. Maturita: katalog, okruh 6 „Planimetrie“ (orientačně 8–18 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 16–24.

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT
Co o tématu říká specifikace přijímaček a katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

  • Přijímačky

    Specifikace, část C1, oblast 3 „Geometrie v rovině a prostoru“

    • Rozlišuje shodné a podobné trojúhelníky, pomocí poměru podobnosti určí rozměry trojúhelníků, využívá věty o podobnosti trojúhelníků (věta sss, uu, sus).

    Učivo nižších ročníků (část B1), oblast 3 „Geometrie v rovině a v prostoru“

    • Třídí a charakterizuje trojúhelníky (rozdělení podle délky stran a velikosti vnitřních úhlů), při řešení úloh používá trojúhelníkovou nerovnost, charakterizuje a používá vlastnosti úhlů v trojúhelníku, vlastnosti výšky trojúhelníku.
    • Používá a převádí jednotky délky a obsahu, odhaduje a vypočítá obvod a obsah čtverce, obdélníku a trojúhelníku, využívá čtvercovou síť pro výpočet obvodu a obsahu mnohoúhelníků, odhaduje a vypočítá obvod a obsah rovnoběžníku, lichoběžníku a dalších rovinných útvarů složených z trojúhelníků, resp. čtyřúhelníků.

    Formy úloh v našich testech

    více výsledků, přiřazování

    V našich cvičných testech: podle losu úlohy 8 a 15.

    Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

  • Maturita

    Katalog, okruh 6 „Planimetrie“, 6.2 Trojúhelníky

    • Žák dovede určit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správně využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, ortocentrum, těžnice, těžiště, střední příčky, kružnice opsaná a vepsaná).
    • Žák dovede při řešení početních i konstrukčních úloh využívat věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků.
    • Žák dovede užít s porozuměním poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, velikost výšky, Pythagorova věta, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie.

    Formy úloh v našich testech

    výběr z pěti možností

    Váha v testu

    Podle katalogu (část C) tvoří okruh 6 „Planimetrie“ orientačně 8–18 % testu.

    V našich cvičných testech: podle losu úlohy 16–24.

    Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

Co je vytištěné v testovém sešitu přijímaček

  • 112=12111^2 = 121
  • 122=14412^2 = 144
  • 132=16913^2 = 169
  • 142=19614^2 = 196
  • 152=22515^2 = 225
  • 162=25616^2 = 256
  • 172=28917^2 = 289
  • 182=32418^2 = 324
  • 192=36119^2 = 361
  • 202=40020^2 = 400
  • π≐3,14\pi \doteq 3{,}14
  • π≈227\pi \approx \dfrac{22}{7}
Obvod a obsah kruhu o poloměru rr:
  • o=2πro = 2\pi r
  • S=πr2S = \pi r^2

Specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku pro školní rok 2026/2027, část C2: „Součástí testového sešitu bude následující text“.

To hlavní

co musíš znát
  • Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180∘180^\circ. Podle úhlů je trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý, nebo tupoúhlý, podle stran různostranný, rovnoramenný, nebo rovnostranný.
  • Trojúhelníková nerovnost: součet délek každých dvou stran je větší než délka třetí. Délky 3 cm, 4 cm a 8 cm trojúhelník netvoří, protože 3+4<83 + 4 < 8.
  • V rovnoramenném trojúhelníku jsou shodné úhly při základně. Výška na základnu půlí základnu i úhel proti ní.
  • Obvod je součet všech tří stran. Obsah je S=S ={}a⋅va2 \frac{a \cdot v_a}{2}, kde vav_a je výška na stranu aa. Zvolíš-li jinou stranu a její výšku, obsah vyjde stejně.
  • Podobné trojúhelníky mají stejné úhly a délky stran ve stejném poměru. Platí věty sss, uu a sus. Je-li poměr podobnosti kk, všechny délky se násobí číslem kk a obsah číslem k2k^2.
  • Výška na stranu je kolmice z protějšího vrcholu. U tupoúhlého trojúhelníku leží paty dvou výšek mimo trojúhelník, na prodloužení stran.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

  1. 1.Načrtni trojúhelník

    Pojmenuj vrcholy, zapiš do obrázku všechny známé délky a úhly a označ hledanou veličinu.

  2. 2.Rozhodni, co potřebuješ

    Obvod chce všechny tři strany. Obsah chce stranu a výšku, která na ni kolmo dosedá — nikoli druhou stranu trojúhelníku.

  3. 3.Hledáš úhly? Použij součet 180°

    Dopočítej třetí úhel. U rovnoramenného trojúhelníku využij shodné úhly při základně, u vnějšího úhlu doplňuj do 180∘180^\circ.

  4. 4.Hledáš podobnost? Najdi poměr

    Najdi dvě odpovídající si strany a vyděl je: kk je nová délka děleno původní. Pak ostatní strany násobíš stejným číslem.

  5. 5.Zkontroluj rozumnost

    Nejdelší strana je proti největšímu úhlu a je kratší než součet dvou zbývajících. Obsah vyjde v cm², délka v cm.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

  1. 1.Obsah a výška na jinou stranu

    Trojúhelník má stranu délky 15 cm a výšku na ni 8 cm. Vypočítej jeho obsah. Jak dlouhá je výška na stranu délky 10 cm?

  2. 2.Úhly v poměru

    Úhly trojúhelníku jsou v poměru 2:3:42 : 3 : 4. Vypočítej jejich velikosti. Je trojúhelník ostroúhlý?

  3. 3.Podobné trojúhelníky

    Trojúhelník ABCABC má strany 6 cm, 9 cm a 12 cm. Trojúhelník DEFDEF mu je podobný a jeho nejkratší strana měří 8 cm. Urči zbývající strany trojúhelníku DEFDEF, jeho obvod a poměr obsahů obou trojúhelníků.

  4. 4.Kdy vznikne trojúhelník

    Dvě strany trojúhelníku měří 4 cm a 9 cm. Kolik celočíselných délek v centimetrech může mít třetí strana?

Úloha ve formátu přijímaček

naše úloha
Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.
Úloha ve formátu přijímačekPřijímačky

Přiřazování

Úloha 1.

Přiřaďte ke každé úloze správný výsledek (A–F).
1. Obsah lichoběžníku se základnami 13 cm a 5 cm a výškou 5 cm (v cm²)
2. Obsah kosočtverce s úhlopříčkami 5 cm a 6 cm (v cm²)
3. Obsah trojúhelníku se stranou 14 cm a výškou 8 cm k této straně (v cm²)

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u maturity

co se mění
Katalog maturity vyjmenovává u trojúhelníků víc pojmů než specifikace přijímaček: strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, ortocentrum, těžnice, těžiště, střední příčky a kružnici opsanou a vepsanou. Věty o shodnosti a podobnosti se mají využívat v početních i konstrukčních úlohách. Výpočty obvodu, obsahu, výšky a podobnosti jsou stejné jako u přijímaček.
Katalog dále uvádí obsah trojúhelníku určeného dvěma stranami a úhlem mezi nimi — ten patří k sinové a kosinové větě a má vlastní stránku. V didaktickém testu smíš použít kalkulačku bez grafického režimu, takže délky nemusí vycházet celé.

Vyzkoušej si to

kontrola hned
Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.
Přijímačky

Úloha 2.

Trojúhelník ABC je rovnoramenný se základnou AB a úhel ACB má velikost 68°. Úsečka CD je výška trojúhelníku, bod E leží na polopřímce AB za bodem B. Velikosti neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní). 8.1 Vypočtěte velikost úhlu α. 8.2 Vypočtěte velikost úhlu φ. 8.3 Vypočtěte velikost úhlu ε.
ABCDE68°αφε

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Přijímačky

Úloha 3.

Trojúhelník ABC je rovnoramenný se základnou AB a úhel ACB má velikost 40°. Úsečka CD je výška trojúhelníku, bod E leží na polopřímce AB za bodem B. Velikosti neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní). 8.1 Vypočtěte velikost úhlu α. 8.2 Vypočtěte velikost úhlu φ. 8.3 Vypočtěte velikost úhlu ε.
ABCDE40°αφε

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

V trojúhelníku ABCABC leží bod DD na straně ACAC a bod EE na straně BCBC tak, že úsečka DEDE je rovnoběžná se stranou ABAB. Platí ∣CD∣=7|CD| = 7 cm, ∣DA∣=8|DA| = 8 cm a ∣DE∣=14|DE| = 14 cm (viz obrázek). Jaká je délka strany ABAB?
ABCDE7 cm8 cm14 cm

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 5.

V trojúhelníku ABCABC leží bod DD na straně ACAC a bod EE na straně BCBC tak, že úsečka DEDE je rovnoběžná se stranou ABAB. Platí ∣CD∣=3|CD| = 3 cm, ∣DA∣=2|DA| = 2 cm a ∣DE∣=9|DE| = 9 cm (viz obrázek). Jaká je délka strany ABAB?
ABCDE3 cm2 cm9 cm

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body
  • Počítáš obsah z druhé strany místo z výšky. Výška musí být kolmá ke straně, na kterou ji dosazuješ, jinak vyjde jiné číslo.
  • Zapomeneš vydělit součin strany a výšky dvěma. Obsah trojúhelníku je polovinou obsahu obdélníku a⋅vaa \cdot v_a.
  • U podobnosti násobíš poměrem kk také obsah. Délky se násobí číslem kk, obsah číslem k2k^2.
  • Poměr podobnosti obrátíš: dělíš původní délku novou, i když přecházíš z menšího trojúhelníku na větší. Napiš si předem, která strana je nová a která původní.
  • Pro tři délky zapomeneš ověřit trojúhelníkovou nerovnost. Že lze tři čísla sečíst na obvod, neznamená, že trojúhelník existuje.

Zapamatuj si

  • Součet úhlů trojúhelníku je 180∘180^\circ.
  • S=S ={}a⋅va2 \frac{a \cdot v_a}{2}, výška je kolmá ke straně.
  • V rovnoramenném trojúhelníku jsou shodné úhly při základně.
  • Trojúhelníková nerovnost: dvě strany dohromady jsou delší než třetí.
  • Podobnost s poměrem kk: délky ⋅ k\cdot\, k, obsah ⋅ k2\cdot\, k^2.

Otázky a odpovědi

  1. 1.Jak spočítám obsah trojúhelníku?+
    Odpověď:Vynásob libovolnou stranu výškou, která na ni dosedá kolmo, a výsledek vyděl dvěma: S=S ={}a⋅va2 \frac{a \cdot v_a}{2}. Trojúhelník o straně 15 cm a výšce 8 cm má obsah 60 cm². Která strana je základna, je jedno, jen výška musí být ke stejné straně.
  2. 2.Kolik stupňů mají úhly v trojúhelníku?+
    Odpověď:Vnitřní úhly dávají dohromady 180∘180^\circ. Znáš-li dva, třetí dopočítáš odečtením od 180∘180^\circ. U rovnoramenného trojúhelníku stačí znát jediný úhel, protože úhly při základně jsou shodné.
  3. 3.Jak poznám, že tři délky tvoří trojúhelník?+
    Odpověď:Musí platit trojúhelníková nerovnost: součet dvou kratších stran je větší než nejdelší strana. Pro 6, 8 a 9 cm to platí, protože 6+8>96 + 8 > 9. Pro 3, 4 a 8 cm ne, protože 3+4=7<83 + 4 = 7 < 8.
  4. 4.Kdy jsou dva trojúhelníky podobné?+
    Odpověď:Když se shodují ve dvou úhlech (věta uu), když mají všechny tři dvojice stran ve stejném poměru (věta sss), nebo když se shodují v poměru dvou stran a v úhlu mezi nimi (věta sus). Specifikace přijímaček tyto tři věty jmenuje.
  5. 5.Jak se změní obsah, když trojúhelník zvětším?+
    Odpověď:Zvětšíš-li všechny délky kkkrát, obsah se zvětší k2k^2krát. Trojúhelník se stranami dvakrát delšími má čtyřnásobný obsah, třikrát delšími devítinásobný. Obvod se mění stejně jako délky, tedy kkkrát.
  6. 6.Co přibývá u trojúhelníků v maturitě?+
    Odpověď:Katalog jmenuje i těžnice, těžiště, ortocentrum, střední příčky a kružnici opsanou a vepsanou a navíc obsah trojúhelníku určeného dvěma stranami a úhlem. U přijímaček tyto pojmy specifikace nejmenuje. Obsah a obvod počítáš stejně, v didaktickém testu ale můžeš použít kalkulačku.

Souvisí s tématem

Všechna témata přijímaček z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027 a z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 16 úloh ve formátu přijímaček, 70 minut