Kleksa

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Úhly v kružnici: obvodový a středový úhel, Thaletova kružnice, tečna a kružnice opsaná

Úhly, které vidíš z kružnice, se řídí několika pravidly: obvodový úhel je poloviční než středový nad stejným obloukem, úhel nad průměrem je pravý a tečna je kolmá na poloměr. K maturitě z matematiky tu najdeš, jak tato pravidla použít, kdy záleží na tom, na kterém oblouku úhel leží, a co z toho plyne pro kružnici opsanou trojúhelníku. K tomu řešené příklady a úlohy, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 6 „Planimetrie“ (orientačně 8–18 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 16–24. Přijímačky: specifikace, oblast 3 „Geometrie v rovině a prostoru“; v našich cvičných testech na toto téma samostatná úloha není.

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT
Co o tématu říká katalog maturity a specifikace přijímaček a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

  • Maturita

    Katalog, okruh 6 „Planimetrie“, 6.1 Planimetrické pojmy a poznatky

    • Žák dovede užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly (vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné), objekty znázornit.

    Katalog, okruh 6 „Planimetrie“, 6.2 Trojúhelníky

    • Žák dovede určit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správně využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, ortocentrum, těžnice, těžiště, střední příčky, kružnice opsaná a vepsaná).

    Katalog, okruh 6 „Planimetrie“, 6.4 Kružnice a kruh

    • Žák dovede pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu (tětiva, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží), popsat a užít jejich vlastnosti.
    • Žák dovede užít s porozuměním polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi.

    Formy úloh v našich testech

    výběr z pěti možností

    Váha v testu

    Podle katalogu (část C) tvoří okruh 6 „Planimetrie“ orientačně 8–18 % testu.

    V našich cvičných testech: podle losu úlohy 16–24.

    Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

  • Přijímačky

    Specifikace, část C1, oblast 3 „Geometrie v rovině a prostoru“

    • Sestrojí osu úhlu, osu úsečky.
    • Definuje a sestrojí kružnici a kruh s daným poloměrem nebo průměrem a středem v daném bodě, určí vzájemnou polohu kružnice a přímky (tečna, sečna, vnější přímka), vzájemnou polohu dvou kružnic, průsečíky a body dotyku.

    Ve specifikaci pro školní rok 2026/2027 už není

    • „konstrukce tečny ke kružnici v jejím bodě“
    • „konstrukce kružnice opsané trojúhelníku“
    • „využití Thaletovy kružnice při konstrukci pravoúhlého trojúhelníku“

    V našich cvičných testech: na toto téma samostatná úloha není.

    Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát
  • Středový úhel má vrchol ve středu kružnice, obvodový úhel na kružnici. Oba přísluší k témuž oblouku, když jejich ramena procházejí krajními body téhož oblouku.
  • Obvodový úhel je poloviční než středový úhel nad stejným obloukem: ω=φ2\omega = \frac{\varphi}{2}. Všechny obvodové úhly nad týmž obloukem jsou shodné.
  • Vrchol obvodového úhlu může ležet i na druhém oblouku. Pak ke středovému úhlu φ\varphi přísluší obvodový úhel 360∘−φ2\frac{360^\circ - \varphi}{2}.
  • Thaletova věta: úhel nad průměrem kružnice je pravý. Naopak vrchol pravého úhlu trojúhelníku leží na kružnici, jejímž průměrem je přepona, takže střed kružnice opsané je střed přepony.
  • Tečna kružnice je kolmá na poloměr v bodě dotyku. Kružnice opsaná trojúhelníku má střed v průsečíku os stran, kružnice vepsaná v průsečíku os úhlů.
  • Poloměry ∣SA∣|SA| a ∣SB∣|SB| jsou stejné, proto je trojúhelník SABSAB rovnoramenný a úhly při základně ABAB jsou shodné.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

  1. 1.Načrtni kružnici a vyznač střed

    Označ všechny body ze zadání a zakresli zadaný úhel. Spoj střed s krajními body oblouku — vznikne rovnoramenný trojúhelník.

  2. 2.Urči oblouk

    Zjisti, k jakému oblouku zadaný úhel přísluší, a na kterém ze dvou oblouků leží jeho vrchol. Na tom závisí, zda obvodový úhel vyjde ostrý, nebo tupý.

  3. 3.Použij vztah obvodový — středový

    Vrchol na oblouku mimo úhel: obvodový je polovina středového. Vrchol na menším oblouku: použij doplněk do 360∘360^\circ a pak polovinu.

  4. 4.Využij speciální případy

    Úhel nad průměrem je pravý, tečna je kolmá na poloměr, rovnoramenný trojúhelník SABSAB má shodné úhly při základně.

  5. 5.Zkontroluj úhly

    Součet úhlů v trojúhelníku je 180∘180^\circ a obvodový úhel s vrcholem na větším z obou oblouků je ostrý. Pokud výsledek těmto pravidlům odporuje, vrať se k náčrtu.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

  1. 1.Thaletova věta

    Úsečka ABAB o délce 26 cm je průměrem kružnice a bod CC leží na kružnici, ∣AC∣=10|AC| = 10 cm. Vypočítej délku strany BCBC a poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABCABC.

  2. 2.Vrchol na menším oblouku

    Body AA, BB, CC leží na kružnici se středem SS. Středový úhel ASBASB má 70∘70^\circ a bod CC leží na menším oblouku ABAB. Jak velký je úhel ACBACB?

  3. 3.Rovnoramenný trojúhelník při středu

    Body AA, BB, CC leží na kružnici se středem SS a obvodový úhel ACBACB měří 35∘35^\circ (bod CC leží na větším oblouku). Jak velký je úhel SABSAB?

  4. 4.Tečna a poloměr

    Kružnice má poloměr 8 cm. Bod MM je od jejího středu SS vzdálen 17 cm. Jak daleko je MM od bodu dotyku TT tečny vedené z MM?

Úloha ve formátu maturity

naše úloha
Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.
Úloha ve formátu maturityMaturita

Výběr z pěti možností

Úloha 1.

Body AA, BB a CC leží na kružnici se středem SS. Úhel ASBASB má velikost 112∘112^\circ (viz obrázek). Jakou velikost má úhel ACBACB?
SABC112°?

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u přijímaček

co se mění
U přijímaček patří kružnice do oblasti 3 „Geometrie v rovině a prostoru“. Specifikace jmenuje sestrojení kružnice a kruhu s daným poloměrem, vzájemnou polohu kružnice a přímky (tečna, sečna, vnější přímka), vzájemnou polohu dvou kružnic, průsečíky a body dotyku a sestrojení osy úhlu a osy úsečky.
Středový a obvodový úhel ani Thaletovu větu specifikace nejmenuje. Ve specifikaci pro školní rok 2026/2027 už není konstrukce tečny ke kružnici v jejím bodě, konstrukce kružnice opsané trojúhelníku ani využití Thaletovy kružnice při konstrukci pravoúhlého trojúhelníku.

Vyzkoušej si to

kontrola hned
Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.
Maturita

Úloha 2.

Body AA, BB a CC leží na kružnici se středem SS. Obvodový úhel ACBACB měří 38∘38^\circ a bod CC leží na větším oblouku ABAB. Jak velký je středový úhel ASBASB?

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 3.

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 15 cm a 20 cm. Vypočtěte poloměr kružnice, která je mu opsaná.
cm

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 4.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N). Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Obvodový úhel nad průměrem kružnice je pravý.
Tečna svírá s poloměrem do bodu dotyku úhel 45∘45^\circ.
Leží-li vrchol obvodového úhlu na větším oblouku, je příslušný středový úhel jeho dvojnásobkem.

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body
  • Vydělíš dvěma, i když vrchol leží na menším oblouku. Pak je obvodový úhel tupý a počítá se z doplňku 360∘−φ360^\circ - \varphi, který se teprve půlí.
  • Za středový úhel vezmeš úhel s vrcholem na kružnici. Středový úhel má vrchol vždy ve středu.
  • Thaletovu větu použiješ, když úsečka ABAB není průměr. Pravý úhel je zaručen jen nad průměrem.
  • Střed kružnice opsané hledáš jako těžiště. Je to průsečík os stran, v pravoúhlém trojúhelníku střed přepony.
  • Nepočítáš s rovnoramenným trojúhelníkem SABSAB. Úhly při základně jsou shodné, součet všech je 180∘180^\circ.

Zapamatuj si

  • ω=φ2\omega = \frac{\varphi}{2} (obvodový = polovina středového).
  • Úhel nad průměrem je pravý.
  • Tečna je kolmá na poloměr v bodě dotyku.
  • Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran.
  • Vrchol na menším oblouku: nejdřív 360∘−φ360^\circ - \varphi, pak polovina.

Otázky a odpovědi

  1. 1.Jak poznám, na kterém oblouku úhel leží?+
    Odpověď:Nakresli kružnici a zadané body. Středový úhel ohraničuje dva oblouky, menší (uvnitř úhlu) a větší. Pokud vrchol obvodového úhlu leží na větším oblouku, je obvodový úhel poloviční než středový. Leží-li na menším oblouku, hledáš polovinu zbylého úhlu do 360∘360^\circ.
  2. 2.Proč jsou všechny obvodové úhly nad stejným obloukem shodné?+
    Odpověď:Každý z nich je poloviční než týž středový úhel. Zvolíš-li vrchol kdekoli na tomtéž oblouku, polovina zůstává stejná. Platí to jen pro vrcholy na jednom oblouku; vrchol na druhém oblouku dává úhel, který se s prvním doplňuje na 180∘180^\circ.
  3. 3.Co přesně říká Thaletova věta?+
    Odpověď:Úhel nad průměrem kružnice je pravý. Platí i obráceně: každý pravoúhlý trojúhelník má střed kružnice opsané ve středu přepony. Proto je poloměr kružnice opsané polovina přepony.
  4. 4.Jak najdu střed kružnice opsané a vepsané trojúhelníku?+
    Odpověď:Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, střed kružnice vepsané v průsečíku os úhlů. U pravoúhlého trojúhelníku je střed opsané ve středu přepony. Katalog u trojúhelníků jmenuje obě kružnice a jejich základní vlastnosti.
  5. 5.Jak souvisí tečna s úhlem?+
    Odpověď:Tečna je kolmá na poloměr vedený do bodu dotyku, takže mezi nimi vzniká pravý úhel. Z toho plyne, že vzdálenost bodu od bodu dotyku vypočítáš Pythagorovou větou v trojúhelníku, jehož přepona je spojnice bodu se středem.
  6. 6.Jmenuje katalog obvodový a středový úhel a Thaletovu větu?+
    Odpověď:Katalog jmenovitě nejmenuje obvodový ani středový úhel, ani Thaletovu větu. U trojúhelníků jmenuje kružnici opsanou a vepsanou, v části 6.4 Kružnice a kruh uvádí tětivu, kružnicový oblouk, výseč a úseč a polohové vztahy bodů, přímek a kružnic. Naše cvičné testy zadávají obvodový úhel jako úlohu z planimetrie.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky a ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut