Jak si zapamatuju vzorce pro válec, kužel a kouli?

Objem válce je obsah podstavy krát výška, kužel je třetina válce se stejnou podstavou a výškou a koule má objem čtyři třetiny $\pi r^3$. Pro povrch si představ síť: u válce dva kruhy a obdélník, u kužele kruh a výseč.

Jak vypočítám tvořicí přímku kužele?

V osovém řezu kužele je rovnoramenný trojúhelník. Jeho výškou je výška kužele a polovina základny je poloměr podstavy. Z pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami $r$ a $v$ vyjde přepona $s = \sqrt{r^2 + v^2}$.

Mám výsledek nechat v násobcích π?

Řiď se zadáním. Úloha žádá buď přesný výsledek, třeba $24\pi$ cm³, nebo zaokrouhlený. Přesný zápis je kratší a nezkresluje se, proto nejdřív uprav výraz a teprve nakonec dosaď za $\pi$.

Jaký je rozdíl mezi povrchem a pláštěm?

Plášť je jen boční část tělesa, povrch zahrnuje i podstavy. U válce je povrch dvě podstavy plus plášť, u kužele jedna podstava plus plášť, koule má pouze povrch bez rozlišení pláště.

Jak se změní objem, když zdvojnásobím rozměry?

Všechny délky dvakrát větší dají objem osmkrát větší, povrch čtyřikrát větší. U válce, kužele i koule je objem úměrný třetí mocnině délek, povrch druhé mocnině.

Jaká tělesa jmenuje katalog u objemu a povrchu?

Katalog v okruhu Stereometrie, subokruh Tělesa, jmenuje krychli, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel a kouli a její části. Pro každé z nich žák vypočítá objem a povrch.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Objem a povrch válce, kužele a koule: vzorce, síť tělesa a slovní úlohy

Válec, kužel a koule jsou tělesa, jejichž objem a povrch závisí na čísle π. K maturitě z matematiky tu najdeš vzorce, tvořicí přímku kužele, sítě rotačních těles a slovní úlohy o nádobách a kulových tělesech. K tomu řešené příklady a úlohy, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 7 „Stereometrie“ (orientačně 4–12 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 16–24. Přijímačky: specifikace, oblast 3 „Geometrie v rovině a prostoru“; v našich cvičných testech na toto téma samostatná úloha není.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 7 „Stereometrie“, 7.1 Tělesa

Žák dovede charakterizovat jednotlivá tělesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části), vypočítat jejich objem a povrch.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Test z matematiky u jednotné přijímací zkoušky má 16 úloh (11 otevřených a 5 uzavřených), trvá 70 minut a dá se v něm získat 50 bodů. Kalkulačka ani tabulky povolené nejsou, jen psací a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a specifikace přijímaček a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 7 „Stereometrie“, 7.1 Tělesa
- Žák dovede charakterizovat jednotlivá tělesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části), vypočítat jejich objem a povrch.
Formy úloh v našich testech
výběr z pěti možností
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 7 „Stereometrie“ orientačně 4–12 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úlohy 16–24.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma
Přijímačky
Specifikace, část C1, oblast 3 „Geometrie v rovině a prostoru“
- Rozpozná rotační válec ve volném rovnoběžném promítání, načrtne síť válce.
- Řeší aplikační slovní úlohy s využitím znalostí o válci.
Ve specifikaci pro školní rok 2026/2027 už není
- „odhad a výpočet objemu a povrchu válce“
- „řešení aplikačních slovních úloh s využitím znalostí o kouli (poloměr a průměr)“
V našich cvičných testech: na toto téma samostatná úloha není.
Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

Co je vytištěné v testovém sešitu přijímaček

$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
$15^2 = 225$
$16^2 = 256$
$17^2 = 289$
$18^2 = 324$
$19^2 = 361$
$20^2 = 400$

$\pi \doteq 3{,}14$
$\pi \approx \dfrac{22}{7}$

Obvod a obsah kruhu o poloměru

r

$o = 2\pi r$
$S = \pi r^2$

Specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku pro školní rok 2026/2027, část C2: „Součástí testového sešitu bude následující text“.

To hlavní

co musíš znát

Válec o poloměru podstavy $r$ a výšce $v$ : $V = \pi r^2 v$ a $S ={}$ $2\pi r^2 + 2\pi r v$ . Plášť je po rozvinutí obdélník o stranách $2\pi r$ a $v$ .
Kužel s poloměrem podstavy $r$ a výškou $v$ : $V ={}$ $\frac{1}{3}\pi r^2 v$ a $S = \pi r^2 + \pi r s$ , kde $s = \sqrt{r^2 + v^2}$ je tvořicí přímka (délka strany osového řezu).
Koule o poloměru $r$ : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ a $S = 4\pi r^2$ . V zadání může být místo poloměru průměr: $r = \frac{d}{2}$ .
Sítě: síť válce tvoří obdélník a dva kruhy, síť kužele kruhová výseč a kruh. Oblouk výseče má stejnou délku jako obvod podstavy kužele, $2\pi r$ .
Výsledek lze nechat v násobcích $\pi$ (třeba $24\pi$ cm³), nebo zaokrouhlit podle pokynu v zadání. Zaokrouhluj až na konci.
Katalog uvádí i komolý jehlan a kužel a části koule; na této stránce jsou jen základní tělesa.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Načrtni těleso a síť
Označ poloměr, výšku, případně tvořicí přímku. Zkontroluj, jestli je zadaný údaj poloměr, nebo průměr.
2.Vyber vzorec
Objem počítej z obsahu podstavy a výšky (u kužele s třetinou), povrch jako obsah sítě.
3.Chybí tvořicí přímka? Použij Pythagorovu větu
V osovém řezu kužele je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami $r$ a $v$ a přeponou $s$ .
4.Sjednoť jednotky
Převeď všechny délky na stejnou jednotku a pamatuj, že 1 litr je 1 000 cm³.
5.Zaokrouhli a zkontroluj řád
Dosazuj $\pi$ z kalkulačky nebo ho nech ve výsledku, jak požaduje zadání. Odhadni výsledek: válec zabere zhruba čtyři pětiny kvádru o čtvercové podstavě se stranou $2r$ a stejné výšce $v$ .

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Objem a povrch válce
Válec má poloměr podstavy 4 cm a výšku 10 cm. Vypočítej jeho objem a povrch a výsledky zaokrouhli na desetiny.
2.Kužel a tvořicí přímka
Kužel má poloměr podstavy 15 cm a výšku 8 cm. Vypočítej jeho objem a povrch.
3.Koule z průměru
Koule má průměr 12 cm. Vypočítej její objem a povrch.
4.Voda ve válcové nádobě
Válcová nádoba má vnitřní průměr 20 cm. Voda v ní sahá do výšky 15 cm. Kolik litrů vody v nádobě je? Zaokrouhli na desetiny litru.

Toto téma u přijímaček

co se mění

U přijímaček jmenuje specifikace v oblasti 3 „Geometrie v rovině a prostoru“ u válce jen to, že žák rozpozná rotační válec ve volném rovnoběžném promítání, načrtne síť válce a řeší aplikační slovní úlohy s využitím znalostí o válci. Ve specifikaci pro školní rok 2026/2027 už není odhad a výpočet objemu a povrchu válce ani řešení aplikačních slovních úloh s využitím znalostí o kouli (poloměr a průměr). Kužel specifikace pro čtyřleté obory nejmenuje.

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 1.

Válec má poloměr podstavy 3 cm a výšku 5 cm. Jaký je jeho objem?

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 2.

Kužel má poloměr podstavy 6 cm a výšku 8 cm. Vypočtěte délku jeho tvořicí přímky.

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 3.

Povrch koule je

64\pi

cm². Vypočtěte poloměr koule.

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Dosadíš průměr místo poloměru. U koule se objem pak zvětší osmkrát, u válce čtyřikrát.
U kužele zapomeneš na třetinu, nebo ve vzorci pro povrch použiješ výšku místo tvořicí přímky.
Plášť válce počítáš jako $\pi r v$ . Správně je $2\pi r v$ : obdélník s obvodem podstavy.
Převádíš litry a cm³ špatně. Jeden litr je 1 000 cm³, ne 100 cm³.
Zaokrouhlíš $\pi$ na 3 už na začátku a výsledek se liší o několik procent. Zaokrouhluj až na konci.

Zapamatuj si

Válec: $V = \pi r^2 v$ , $S = 2\pi r(r + v)$ .
Kužel: $V ={}$ $\frac{1}{3}\pi r^2 v$ , $S = \pi r(r + s)$ , $s = \sqrt{r^2 + v^2}$ .
Koule: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , $S = 4\pi r^2$ .
Pozor na průměr: $r = \frac{d}{2}$ .
1 litr = 1 000 cm³.

Otázky a odpovědi

1.Jak si zapamatuju vzorce pro válec, kužel a kouli?+
Odpověď:Objem válce je obsah podstavy krát výška, kužel je třetina válce se stejnou podstavou a výškou a koule má objem čtyři třetiny $\pi r^3$ . Pro povrch si představ síť: u válce dva kruhy a obdélník, u kužele kruh a výseč.
2.Jak vypočítám tvořicí přímku kužele?+
Odpověď:V osovém řezu kužele je rovnoramenný trojúhelník. Jeho výškou je výška kužele a polovina základny je poloměr podstavy. Z pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami $r$ a $v$ vyjde přepona $s = \sqrt{r^2 + v^2}$ .
3.Mám výsledek nechat v násobcích π?+
Odpověď:Řiď se zadáním. Úloha žádá buď přesný výsledek, třeba $24\pi$ cm³, nebo zaokrouhlený. Přesný zápis je kratší a nezkresluje se, proto nejdřív uprav výraz a teprve nakonec dosaď za $\pi$ .
4.Jaký je rozdíl mezi povrchem a pláštěm?+
Odpověď:Plášť je jen boční část tělesa, povrch zahrnuje i podstavy. U válce je povrch dvě podstavy plus plášť, u kužele jedna podstava plus plášť, koule má pouze povrch bez rozlišení pláště.
5.Jak se změní objem, když zdvojnásobím rozměry?+
Odpověď:Všechny délky dvakrát větší dají objem osmkrát větší, povrch čtyřikrát větší. U válce, kužele i koule je objem úměrný třetí mocnině délek, povrch druhé mocnině.
6.Jaká tělesa jmenuje katalog u objemu a povrchu?+
Odpověď:Katalog v okruhu Stereometrie, subokruh Tělesa, jmenuje krychli, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel a kouli a její části. Pro každé z nich žák vypočítá objem a povrch.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky a ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Objem a povrch válce, kužele a koule: vzorce, síť tělesa a slovní úlohy

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Načrtni těleso a síť

2.Vyber vzorec

3.Chybí tvořicí přímka? Použij Pythagorovu větu

4.Sjednoť jednotky

5.Zaokrouhli a zkontroluj řád

Řešené příklady

1.Objem a povrch válce

2.Kužel a tvořicí přímka

3.Koule z průměru

4.Voda ve válcové nádobě

Toto téma u přijímaček

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje