Як знайти площу паралелограма?

Добуток сторони на висоту, проведену до неї, $S = a h_a$, або добуток двох сусідніх сторін на синус кута між ними, $S = ab\sin\gamma$. Обидві формули є на сторінці 24 довідкових матеріалів. Для паралелограма зі сторонами $9$ і $20$ та висотою $4$ до більшої сторони площа $20 \cdot 4 = 80$.

Як знайти площу ромба?

Найчастіше — половина добутку діагоналей, $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$ (є в довідкових матеріалах). Ромб — паралелограм, тому підходять і формули $S = a h$ та $S = a^2\sin\gamma$, де $a$ — сторона. Якщо відомі сторона й одна діагональ, другу діагональ знаходять із прямокутного трикутника, утвореного половинами діагоналей і стороною.

Як знайти площу трапеції?

Півсума основ, помножена на висоту, $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$. Півсума основ — це середня лінія, тому $S = mh$. Якщо висота невідома, її знаходять із прямокутного трикутника: гіпотенуза — бічна сторона, катет — піврізниця основ (для рівнобічної трапеції) або різниця основ (для прямокутної).

Чим середня лінія трапеції відрізняється від середньої лінії трикутника?

Середня лінія трикутника сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині. Середня лінія трапеції сполучає середини бічних сторін, паралельна основам і дорівнює їхній півсумі. Середню лінію трапеції не слід плутати з висотою: вона не перпендикулярна до основ.

Коли в чотирикутник можна вписати коло, а коли описати?

Вписати коло можна, якщо суми протилежних сторін рівні, $a + c = b + d$. Описати коло можна, якщо суми протилежних кутів дорівнюють $180^\circ$. Навколо паралелограма можна описати коло лише тоді, коли він є прямокутником, а вписати в нього коло — лише тоді, коли він є ромбом. Навколо трапеції коло можна описати, лише якщо вона рівнобічна.

Чи є формули площ чотирикутників у довідкових матеріалах НМТ?

Так, на сторінці 24: для паралелограма, прямокутника, ромба й трапеції. Для квадрата окремої формули немає, але квадрат — це прямокутник із рівними сторонами, тому $S = a \cdot a$. Властивостей діагоналей, середньої лінії та умов вписаного й описаного чотирикутника там немає.

Які завдання НМТ присвячені чотирикутникам?

У тестах 2023–2026 років чотирикутники є щороку: у завданні 10 трапляються твердження про властивості фігур, у завданнях 2, 3, 13 і 15 потрібно знайти кут, площу чи довжину, а в завданні 18 — розв’язати задачу на відповідність із квадратом, прямокутником чи трапецією.

НМТ 2027 · математика

Чотирикутники: паралелограм, ромб, трапеція — властивості й площі

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат і трапеція — це майже щорічні завдання планіметрії НМТ: то твердження про властивості фігури, то обчислення кута чи площі, то завдання на відповідність. Тут зібрано властивості кожного чотирикутника, формули площ, умови вписаного й описаного чотирикутника, метод крок за кроком, приклади та два справжні завдання з тестів НМТ з ключами УЦОЯО.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 2, 3, 10, 13, 15 і 18 та всередині багатьох інших задач.

Головне

це треба вміти

Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює $360^\circ$ . Діагональ ділить опуклий чотирикутник на два трикутники, кожен із сумою кутів $180^\circ$ .
Паралелограм: протилежні сторони паралельні й рівні, протилежні кути рівні, сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^\circ$ , діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Площа $S ={}$ $a h_a ={}$ $ab \sin\gamma$ , де $a$ і $b$ — сусідні сторони, $\gamma$ — кут між ними.
Прямокутник — паралелограм із прямими кутами; його діагоналі рівні, а площа $S = ab$ . Ромб — паралелограм з усіма рівними сторонами; діагоналі ромба перпендикулярні й є бісектрисами його кутів, а площа $S ={}$ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$ . Квадрат — і прямокутник, і ромб: $S = a^2$ , діагональ $d = a\sqrt{2}$ .
Трапеція — чотирикутник, у якого дві сторони (основи) паралельні. Середня лінія сполучає середини бічних сторін, паралельна основам і дорівнює їхній півсумі: $m = \dfrac{a + b}{2}$ . Площа $S ={}$ $\dfrac{a + b}{2} \cdot h ={}$ $m h$ .
У рівнобічної трапеції бічні сторони рівні, кути при кожній основі рівні, діагоналі рівні. Висота, опущена з вершини меншої основи, відтинає від більшої основи відрізок, що дорівнює піврізниці основ: $\dfrac{a - b}{2}$ .
Чотирикутник можна вписати в коло, якщо суми його протилежних кутів дорівнюють $180^\circ$ . У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні: $a + c = b + d$ . Навколо трапеції можна описати коло лише тоді, коли вона рівнобічна.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Назви фігуру точно
Визнач, який саме це чотирикутник: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція (рівнобічна чи прямокутна). Від назви залежать властивості діагоналей і формула площі.
2.Запиши властивості, які дає умова
Рівні сторони, рівні кути, паралельність, діагоналі. У паралелограмі протилежні кути рівні, а сусідні дають $180^\circ$ ; у ромбі діагоналі перпендикулярні; у рівнобічній трапеції кути при основі рівні.
3.Зведи задачу до трикутників
Проведи висоту або діагональ. Висота трапеції відтинає прямокутний трикутник, у якому діє теорема Піфагора; діагональ паралелограма дає два трикутники, до яких застосовують суму кутів.
4.Вибери формулу площі
Паралелограм — сторона на висоту або $ab\sin\gamma$ ; ромб — половина добутку діагоналей; трапеція — півсума основ на висоту; прямокутник — добуток сторін.
5.Перевір відповідь
Кути чотирикутника дають $360^\circ$ , висота трапеції менша за бічну сторону, а площа не залежить від способу, яким ти її знайшов. Якщо задача про вписане коло, перевір $a + c = b + d$ .

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Площа паралелограма і висота
Сусідні сторони паралелограма дорівнюють $12$ см і $15$ см, а кут між ними — $30^\circ$ . Знайди площу паралелограма і висоту, проведену до більшої сторони.
2.Ромб за діагоналями
Діагоналі ромба $ABCD$ дорівнюють $AC = 30$ і $BD = 16$ . Знайди сторону, площу й периметр ромба.
3.Прямокутна трапеція
У прямокутній трапеції основи дорівнюють $5$ і $14$ , а більша бічна сторона — $15$ . Знайди площу трапеції.
4.Чотирикутник, описаний навколо кола
Чотирикутник $ABCD$ описано навколо кола, $AB = 7$ , $BC = 6$ , $CD = 11$ . Знайди сторону $AD$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 18

Завдання 18. (0–3)

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Закінчення речення

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина більшої основи трапеції дорівнює

3Довжина висоти трапеції дорівнює

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 18. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 13

Завдання 13. (0–1)

Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями –

60^\circ

(див. рисунок). Визначте площу (см²) прямокутника.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 13. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

На рисунку 1 схематично зображено будівельну драбину (рис. 2), що має форму рівнобічної трапеції

ABCD

без більшої основи

AD

. Драбина стоїть на горизонтальній поверхні (пряма

AD

). Визначте градусну міру кута

BAD

, якщо

\angle BCD ={}

110^\circ

Фотографія розкладної будівельної драбини-трансформера: дві похилі секції зі щаблями стоять на підлозі й з’єднані згори горизонтальною секцією. — рис. 2 · УЦОЯО, Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році

Завдання 3 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

На рисунку зображено прямокутну трапецію та вказано довжини трьох її сторін. Визначте площу цієї трапеції (у см²).

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–2)

На рисунку зображено рівнобічну трапецію та вказано довжини її основ і бічної сторони. Обчисліть площу цієї трапеції.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Брати площу паралелограма як добуток двох сусідніх сторін. Без кута це не площа: потрібна висота, $S = a h_a$ , або синус кута між сторонами, $S = ab \sin\gamma$ .
Плутати діагоналі прямокутника і ромба. У прямокутника діагоналі рівні, але не перпендикулярні (крім квадрата); у ромба діагоналі перпендикулярні, але не рівні.
Брати за висоту трапеції бічну сторону. Висота — перпендикуляр між основами. Бічна сторона дорівнює їй лише в прямокутній трапеції.
Вважати, що діагональ ділить трапецію на два рівні трикутники. На два рівні трикутники ділить діагональ лише паралелограма; у трапеції з різними основами ці два трикутники мають різні площі.
Плутати умову вписаного й описаного чотирикутника. Коло описують навколо чотирикутника, якщо $\angle A + \angle C ={}$ $180^\circ$ , а коло вписують у чотирикутник, якщо $a + c = b + d$ .

Запам’ятай

Сума кутів чотирикутника $360^\circ$ .
Паралелограм: $S ={}$ $a h_a ={}$ $ab \sin\gamma$ ; діагоналі діляться навпіл.
Прямокутник: $S = ab$ , діагоналі рівні. Ромб: $S ={}$ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$ , діагоналі перпендикулярні.
Квадрат: $S = a^2$ , діагональ $a\sqrt{2}$ .
Трапеція: $S ={}$ $\dfrac{a + b}{2} \cdot h$ ; середня лінія $m = \dfrac{a + b}{2}$ .
Описаний навколо кола чотирикутник: $a + c = b + d$ ; вписаний у коло: $\angle A + \angle C ={}$ $180^\circ$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Чотирикутникис. 24

На сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Чотирикутники», є чотири малюнки з формулами площ: паралелограм —

S = ab\sin\gamma

S = a h_a

, прямокутник —

S = ab

, ромб —

S ={}

\dfrac{1}{2} d_1 d_2

(

d_1

d_2

— діагоналі), трапеція —

S ={}

\dfrac{a + b}{2} \cdot h

(

a

b

— основи).

Чого немає: властивостей і ознак паралелограма, прямокутника й ромба, формули для квадрата (

S = a^2

d = a\sqrt{2}

), середньої лінії трапеції та її властивостей, властивостей рівнобічної трапеції, умов вписаного й описаного чотирикутника. Їх треба пам’ятати. Корисно знати й те, що для ромба працює також формула паралелограма

S = a^2 \sin\gamma

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як знайти площу паралелограма?+
Відп.:Добуток сторони на висоту, проведену до неї, $S = a h_a$ , або добуток двох сусідніх сторін на синус кута між ними, $S = ab\sin\gamma$ . Обидві формули є на сторінці 24 довідкових матеріалів. Для паралелограма зі сторонами $9$ і $20$ та висотою $4$ до більшої сторони площа $20 \cdot 4 = 80$ .
2.Як знайти площу ромба?+
Відп.:Найчастіше — половина добутку діагоналей, $S ={}$ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$ (є в довідкових матеріалах). Ромб — паралелограм, тому підходять і формули $S = a h$ та $S = a^2\sin\gamma$ , де $a$ — сторона. Якщо відомі сторона й одна діагональ, другу діагональ знаходять із прямокутного трикутника, утвореного половинами діагоналей і стороною.
3.Як знайти площу трапеції?+
Відп.:Півсума основ, помножена на висоту, $S ={}$ $\dfrac{a + b}{2} \cdot h$ . Півсума основ — це середня лінія, тому $S = mh$ . Якщо висота невідома, її знаходять із прямокутного трикутника: гіпотенуза — бічна сторона, катет — піврізниця основ (для рівнобічної трапеції) або різниця основ (для прямокутної).
4.Чим середня лінія трапеції відрізняється від середньої лінії трикутника?+
Відп.:Середня лінія трикутника сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині. Середня лінія трапеції сполучає середини бічних сторін, паралельна основам і дорівнює їхній півсумі. Середню лінію трапеції не слід плутати з висотою: вона не перпендикулярна до основ.
5.Коли в чотирикутник можна вписати коло, а коли описати?+
Відп.:Вписати коло можна, якщо суми протилежних сторін рівні, $a + c = b + d$ . Описати коло можна, якщо суми протилежних кутів дорівнюють $180^\circ$ . Навколо паралелограма можна описати коло лише тоді, коли він є прямокутником, а вписати в нього коло — лише тоді, коли він є ромбом. Навколо трапеції коло можна описати, лише якщо вона рівнобічна.
6.Чи є формули площ чотирикутників у довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Так, на сторінці 24: для паралелограма, прямокутника, ромба й трапеції. Для квадрата окремої формули немає, але квадрат — це прямокутник із рівними сторонами, тому $S = a \cdot a$ . Властивостей діагоналей, середньої лінії та умов вписаного й описаного чотирикутника там немає.
7.Які завдання НМТ присвячені чотирикутникам?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років чотирикутники є щороку: у завданні 10 трапляються твердження про властивості фігур, у завданнях 2, 3, 13 і 15 потрібно знайти кут, площу чи довжину, а в завданні 18 — розв’язати задачу на відповідність із квадратом, прямокутником чи трапецією.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Чотирикутники: паралелограм, ромб, трапеція — властивості й площі

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Назви фігуру точно

2.Запиши властивості, які дає умова

3.Зведи задачу до трикутників

4.Вибери формулу площі

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Площа паралелограма і висота

2.Ромб за діагоналями

3.Прямокутна трапеція

4.Чотирикутник, описаний навколо кола