Як знайти довжину кола і площу круга?

Довжина кола $L = 2\pi R$, площа круга $S = \pi R^2$, де $R$ — радіус. Обидві формули є на сторінці 24 довідкових матеріалів. Наприклад, для радіуса $7$ довжина кола $14\pi$, а площа круга $49\pi$. Діаметр дорівнює $2R$, тому $L = \pi d$.

Чому дорівнює вписаний кут?

Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається, тобто половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Звідси: вписані кути на одну дугу рівні, а кут, вписаний у півколо (на діаметр), прямий. У задачах на НМТ це найчастіша властивість кола.

Як знайти довжину дуги і площу сектора?

Дуга з градусною мірою $n^\circ$ становить $\dfrac{n}{360}$ усього кола. Тому довжина дуги $l = 2\pi R \cdot \dfrac{n}{360}$, площа сектора $S = \pi R^2 \cdot \dfrac{n}{360}$. Для радіуса $4$ і дуги $90^\circ$ маємо $l = 2\pi$ та $S = 4\pi$. У довідкових матеріалах цих формул немає.

Що таке дотична до кола і яка її головна властивість?

Дотична — пряма, яка має з колом одну спільну точку. Вона перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. З цього виходить прямокутний трикутник із катетами «радіус» і «дотична» та гіпотенузою — відрізком від центра до точки поза колом. Дві дотичні з однієї точки мають рівні довжини.

Чим відрізняється коло від круга?

Коло — це лінія, яка складається з усіх точок площини, що лежать на однаковій відстані від центра. Круг — частина площини, обмежена колом, разом із самим колом. Тому в коло вписують кут і проводять хорду, а площу має круг. «Площа кола» — розмовний вислів, у задачах НМТ кажуть «площа круга».

У яких завданнях НМТ є коло і круг?

У тестах 2023–2026 років коло трапляється щороку: твердження про хорди й діаметри (завдання 10), найбільша хорда й кут між радіусами (завдання 3 і 2), коло, вписане в трапецію чи прямокутник (завдання 13 і 18). Довжини, площі й кути потрібні також усередині задач про трикутники й чотирикутники.

НМТ 2027 · математика

Коло і круг: довжина кола, площа круга, вписані кути

Коло і круг трапляються в завданнях НМТ щороку: то треба знайти кут чи довжину хорди, то обрати правильні твердження про хорди й діаметри, то використати коло, вписане в чотирикутник. У довідкових матеріалах є довжина кола, площа круга й рівняння кола, решту треба знати. Нижче зібрано властивості кола, вписаних і центральних кутів, дотичних та хорд, формули для дуги й сектора, метод, приклади й два справжні завдання УЦОЯО з ключами.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 2, 3, 10, 13 і 18 та всередині багатьох інших задач.

Головне

це треба вміти

Коло — лінія, усі точки якої рівновіддалені від центра; круг — частина площини, обмежена колом. Радіус $R$ сполучає центр із точкою кола, хорда — відрізок, що сполучає дві точки кола, діаметр — хорда через центр: $d = 2R$ . Діаметр — найбільша хорда кола.
Довжина кола $L = 2\pi R = \pi d$ , площа круга $S = \pi R^2$ . Для дуги з градусною мірою $n^\circ$ : довжина $l ={}$ $\dfrac{\pi R n}{180}$ , площа сектора $S ={}$ $\dfrac{\pi R^2 n}{360}$ . Площу сегмента (він менший за півкруг) знаходять як різницю площ сектора й трикутника.
Центральний кут має вершину в центрі й дорівнює дузі, на яку спирається. Вписаний кут має вершину на колі й дорівнює половині дуги, на яку спирається, тобто половині центрального кута на ту саму дугу. Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні.
Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий: $90^\circ$ . Тому центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпотенузи, а радіус дорівнює її половині.
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Відрізки двох дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні.
Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл. Рівні хорди стягують рівні дуги й однаково віддалені від центра. Якщо дві хорди перетинаються, добуток відрізків однієї дорівнює добутку відрізків другої.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Познач центр і радіуси
Знайди центр кола й проведи радіуси до потрібних точок. Радіуси рівні, тому з них виходять рівнобедрені трикутники, у яких кути при основі рівні.
2.Визнач вид кутів
Центральний кут дорівнює дузі, вписаний — половині дуги. Якщо кут спирається на діаметр, він прямий. Знайди дугу, на яку спираються потрібні кути, і порівняй їх.
3.Використай дотичну чи хорду
Дотична перпендикулярна до радіуса: утворюється прямокутний трикутник для теореми Піфагора. Радіус, проведений до середини хорди, перпендикулярний до неї: відстань від центра до хорди знаходять так само.
4.Підстав у формулу
Довжина кола $L = 2\pi R$ , площа круга $S = \pi R^2$ . Для дуги чи сектора візьми частку $\dfrac{n}{360}$ від довжини кола чи площі круга. Залиши $\pi$ у відповіді, якщо задача цього вимагає.
5.Перевір відповідь
Довжина вимірюється в сантиметрах, площа — у квадратних сантиметрах. Вписаний кут менший за центральний, що спирається на ту саму дугу. Хорда не довша за діаметр.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Площа круга і радіус
Площа круга дорівнює $144\pi$ см². Знайди радіус, діаметр і довжину кола, що обмежує цей круг.
2.Кут, що спирається на діаметр
Відрізок $AB$ — діаметр кола, точка $C$ лежить на колі, $\angle CAB ={}$ $28^\circ$ . Знайди кут $ABC$ .
3.Довжина дуги і площа сектора
Радіус кола дорівнює $9$ см. Знайди довжину дуги з градусною мірою $80^\circ$ та площу відповідного сектора.
4.Відстань від центра до хорди
У колі радіуса $17$ проведено хорду $AB = 30$ . Знайди відстань від центра $O$ до цієї хорди.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 1, завдання 10

Завдання 10. (0–1)

У коло із центром

O

вписано трикутник

ABC

(див. рисунок).

AC

– діаметр кола. Які з наведених тверджень є правильними? I. Градусна міра кута

ABC

дорівнює

90^\circ

. II. Градусна міра кута

BOC

вдвічі більша за градусну міру кута

BAC

. III. Довжина відрізка

AC

вдвічі більша за довжину відрізка

OB

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 10. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО · Розв’язати весь тест безкоштовно

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 10

Завдання 10. (0–1)

Які з наведених тверджень є правильними? I. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки. II. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди. III. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 10. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Точки

A

B

C

лежать на колі із центром

O

(див. рисунок). Визначте градусну міру кута, позначеного знаком питання.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Точки

A

B

C

лежать на колі із центром

O

(див. рисунок). Визначте градусну міру кута, позначеного знаком питання.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–2)

Довжина дуги кола дорівнює

5\pi

см, а її градусна міра становить

150^\circ

. Визначте радіус кола (у см).

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–1)

Радіус круга дорівнює

12

см. Визначте площу сектора цього круга, градусна міра дуги якого становить

150^\circ

(у см²).

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 5. (0–3)

Коло з центром

O

має радіус

5

см. Точка

M

лежить на відстані

13

см від центра,

MA

MB

— дотичні до кола (

A

B

— точки дотику). Увідповідніть величину (1–3) та її значення (А–Д).

Величина

Значення

1довжина відрізка

MA

(см)

2периметр чотирикутника

OAMB

(см)

3площа чотирикутника

OAMB

(см²)

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Плутати вписаний і центральний кути. Вписаний кут дорівнює половині дуги, центральний — цілій дузі. Якщо взяти вписаний кут рівним дузі, відповідь буде вдвічі більшою за правильну.
Вважати кожен кут, вписаний у коло, прямим. Прямий лише той вписаний кут, що спирається на діаметр; кут, що спирається на іншу дугу, дорівнює половині її градусної міри.
Плутати $2\pi R$ і $\pi R^2$ . Довжина кола — довжина, вона вимірюється в см; площа круга — у см². Якщо у відповіді площі «см» без квадрата, у розрахунку, найімовірніше, помилка.
Брати $180$ замість $360$ у формулі сектора. Довжина дуги $l ={}$ $\dfrac{\pi R n}{180}$ (бо $2\pi R \cdot \dfrac{n}{360}$ ), а площа сектора $S ={}$ $\dfrac{\pi R^2 n}{360}$ .
Вважати довжину дотичної рівною радіусу або вважати, що дотична проходить через центр. Дотична лише дотикається до кола в одній точці й перпендикулярна до радіуса в ній; її довжину знаходять за теоремою Піфагора.

Запам’ятай

$L = 2\pi R$ і $S = \pi R^2$ — ці дві формули є в довідкових матеріалах.
Довжина дуги $l ={}$ $\dfrac{\pi R n}{180}$ , площа сектора $S ={}$ $\dfrac{\pi R^2 n}{360}$ — цих формул там немає.
Вписаний кут дорівнює половині дуги й половині центрального кута на ту саму дугу.
Кут, що спирається на діаметр, прямий.
Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику.
Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Коло, кругс. 24

На сторінці 24 довідкових матеріалів є два блоки: «Коло» і «Круг». У блоці «Коло» записано довжину кола

L = 2\pi R

і рівняння кола з центром

M(x_0; y_0)

та радіусом

R

(x - x_0)^2 +{}

(y - y_0)^2 ={}

R^2

. У блоці «Круг» — площа

S = \pi R^2

Чого немає: довжини дуги, площі сектора й сегмента, властивостей вписаних і центральних кутів, властивостей дотичних і хорд, формули радіуса кола, вписаного в трикутник. Радіус описаного кола дає хіба теорема синусів у блоці «Трикутники»:

\dfrac{a}{\sin\alpha} ={}

2R

. Їх треба знати напам’ять або виводити з формул довжини кола й площі круга, беручи частку

\dfrac{n}{360}

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як знайти довжину кола і площу круга?+
Відп.:Довжина кола $L = 2\pi R$ , площа круга $S = \pi R^2$ , де $R$ — радіус. Обидві формули є на сторінці 24 довідкових матеріалів. Наприклад, для радіуса $7$ довжина кола $14\pi$ , а площа круга $49\pi$ . Діаметр дорівнює $2R$ , тому $L = \pi d$ .
2.Чому дорівнює вписаний кут?+
Відп.:Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається, тобто половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Звідси: вписані кути на одну дугу рівні, а кут, вписаний у півколо (на діаметр), прямий. У задачах на НМТ це найчастіша властивість кола.
3.Як знайти довжину дуги і площу сектора?+
Відп.:Дуга з градусною мірою $n^\circ$ становить $\dfrac{n}{360}$ усього кола. Тому довжина дуги $l ={}$ $2\pi R \cdot \dfrac{n}{360}$ , площа сектора $S ={}$ $\pi R^2 \cdot \dfrac{n}{360}$ . Для радіуса $4$ і дуги $90^\circ$ маємо $l = 2\pi$ та $S = 4\pi$ . У довідкових матеріалах цих формул немає.
4.Що таке дотична до кола і яка її головна властивість?+
Відп.:Дотична — пряма, яка має з колом одну спільну точку. Вона перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. З цього виходить прямокутний трикутник із катетами «радіус» і «дотична» та гіпотенузою — відрізком від центра до точки поза колом. Дві дотичні з однієї точки мають рівні довжини.
5.Чим відрізняється коло від круга?+
Відп.:Коло — це лінія, яка складається з усіх точок площини, що лежать на однаковій відстані від центра. Круг — частина площини, обмежена колом, разом із самим колом. Тому в коло вписують кут і проводять хорду, а площу має круг. «Площа кола» — розмовний вислів, у задачах НМТ кажуть «площа круга».
6.У яких завданнях НМТ є коло і круг?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років коло трапляється щороку: твердження про хорди й діаметри (завдання 10), найбільша хорда й кут між радіусами (завдання 3 і 2), коло, вписане в трапецію чи прямокутник (завдання 13 і 18). Довжини, площі й кути потрібні також усередині задач про трикутники й чотирикутники.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Коло і круг: довжина кола, площа круга, вписані кути

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Познач центр і радіуси

2.Визнач вид кутів

3.Використай дотичну чи хорду

4.Підстав у формулу

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Площа круга і радіус

2.Кут, що спирається на діаметр

3.Довжина дуги і площа сектора

4.Відстань від центра до хорди

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела