Як звучить теорема Піфагора?

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: $a^2 + b^2 = c^2$. Катети — це сторони, що утворюють прямий кут, а гіпотенуза — найдовша сторона, яка лежить навпроти прямого кута.

Як знайти гіпотенузу?

Піднеси обидва катети до квадрата, додай результати й добудь корінь: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для катетів $9$ і $40$ виходить $\sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$. Наприкінці перевір, чи гіпотенуза довша за кожен з катетів.

Як знайти катет, якщо відомо гіпотенузу?

Від квадрата гіпотенузи відніми квадрат відомого катета й добудь корінь: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Для гіпотенузи $25$ і катета $7$ виходить $\sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. Найчастіша помилка тут — додати квадрати замість того, щоб відняти.

Чи є теорема Піфагора в довідкових матеріалах НМТ?

Так. Вона є на сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Трикутники»: $a^2 + b^2 = c^2$ з підписом «теорема Піфагора». Там же є формула відстані між двома точками. Обернену теорему і формулу діагоналі квадрата доведеться пам’ятати або вивести самому.

У яких завданнях НМТ потрібна теорема Піфагора?

У тестах 2023–2026 років вона потрібна щороку. Найчастіше це завдання 18 на відповідність з планіметрії, де треба знайти сторону, висоту чи радіус, і завдання 21 з короткою відповіддю зі стереометрії, де теорема Піфагора дає висоту, діагональ чи твірну. Окремим завданням вона трапляється рідко.

Що таке піфагорові трійки?

Це трійки натуральних чисел, які задовольняють рівність $a^2 + b^2 = c^2$. Найчастіше трапляються $3, 4, 5$; $7, 24, 25$; $8, 15, 17$ і $20, 21, 29$, а також їхні кратні, наприклад $6, 8, 10$. Якщо бачиш такі числа в умові, відповідь часто ціла, але все одно перевір її обчисленням.

НМТ 2027 · математика

Теорема Піфагора: формула, приклади і завдання НМТ

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: $a^2 + b^2 = c^2$ . З цієї формули ти знайдеш невідому сторону трикутника, діагональ квадрата чи прямокутника, висоту рівнобедреного трикутника і відстань між двома точками. На НМТ теорема Піфагора рідко буває окремим завданням, зате потрібна всередині багатьох задач з геометрії. Тут є формула, метод крок за кроком, приклади і справжнє завдання з тесту НМТ.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 18 і 21 та всередині багатьох інших задач з планіметрії й стереометрії.

Головне

це треба вміти

Теорема Піфагора стосується лише прямокутного трикутника. Сторони, що утворюють прямий кут, — катети ( $a$ і $b$ ), сторона навпроти прямого кута — гіпотенуза ( $c$ ).
Формула: $a^2 + b^2 = c^2$ . Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Шукаєш гіпотенузу — додаєш квадрати: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Шукаєш катет — віднімаєш: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Гіпотенуза завжди найдовша сторона прямокутного трикутника. Якщо вона вийшла коротшою за катет, в обчисленнях є помилка.
Теорема потрібна всередині багатьох задач: діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a\sqrt{2}$ , висота рівнобедреного трикутника ділить його на два прямокутні трикутники, а відстань між точками на координатній площині — це гіпотенуза.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Знайди прямий кут
Познач на рисунку прямий кут. Сторона навпроти нього — гіпотенуза, дві інші — катети. Якщо рисунка немає, накресли його сам: так менше шансів переплутати сторони.
2.Запиши теорему для сторін із задачі
Запиши формулу буквами з умови, наприклад $AC^2 + BC^2 = AB^2$ , якщо прямий кут при вершині $C$ . Праворуч завжди стоїть квадрат гіпотенузи.
3.Підстав числа й обчисли квадрати
Підстав відомі довжини і піднеси їх до квадрата. Шукаєш гіпотенузу — додаєш квадрати катетів; шукаєш катет — від квадрата гіпотенузи віднімаєш квадрат іншого катета.
4.Добудь корінь і спрости його
Довжина сторони — це квадратний корінь з отриманого числа. Спрости корінь, якщо можна: $\sqrt{45} ={}$ $\sqrt{9 \cdot 5} ={}$ $3\sqrt{5}$ . Довжина завжди додатна.
5.Перевір відповідь
Перевір, чи гіпотенуза вийшла найдовшою стороною і чи відповідь у тих одиницях, яких вимагає задача. Підстав числа назад у рівність $a^2 + b^2 = c^2$ .

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Гіпотенуза за двома катетами
Катети прямокутного трикутника дорівнюють $20$ см і $21$ см. Обчисли довжину гіпотенузи.
2.Катет, корінь з якого треба спростити
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $9$ , а один з катетів — $6$ . Обчисли довжину другого катета.
3.Висота рівнобедреного трикутника
У рівнобедреному трикутнику $KLM$ бічні сторони $KL = LM = 17$ , а основа $KM = 16$ . Обчисли висоту $LH$ , проведену до основи, і площу трикутника.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 18

Завдання 18. (0–3)

Периметр рівнобедреного трикутника

ABC

(див. рисунок) дорівнює 32 см.

AB = BC = 10

см. Узгодьте відрізок (1–3) з його довжиною (А – Д).

Відрізок

Довжина відрізка, см

AC

2висота, проведена з вершини

B

3радіус кола, описаного навколо трикутника

ABC

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 18. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–3)

На рисунку зображено квадрат

ABCD

, діагональ якого дорівнює

8\sqrt{2}

см. Увідповідніть величину (1–3) та її значення (А – Д).

Величина

Значення величини

1відстань між серединами сторін

AB

AD

2довжина радіуса кола, уписаного у квадрат

ABCD

3довжина медіани трикутника

ABC

, проведеної з вершини

A

Завдання 18 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

На рисунку зображено прямокутний трикутник і вказано довжини двох його сторін. Визначте довжину сторони, позначеної буквою

x

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–3)

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 10 см і 24 см. Узгодьте величину (1–3) з її числовим значенням (А–Д).

1довжина гіпотенузи (см)

2площа трикутника (см²)

3периметр трикутника (см)

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 4. (0–3)

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 36 см. Узгодьте величину (1–3) з її числовим значенням (А–Д).

1довжина гіпотенузи (см)

2площа трикутника (см²)

3периметр трикутника (см)

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Додати квадрати, коли шукаєш катет. Якщо відомо гіпотенузу, від її квадрата треба відняти квадрат іншого катета, а не додати його.
Записати $c = a + b$ замість $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Для катетів $20$ і $21$ гіпотенуза дорівнює $29$ , а не $41$ : корінь із суми квадратів — це не сума.
Переплутати, яка сторона гіпотенуза. Вона завжди лежить навпроти прямого кута, навіть коли на рисунку вона не горизонтальна і не позначена буквою $c$ .
Застосувати теорему в трикутнику, який не є прямокутним. Спершу знайди прямий кут; якщо його немає, проведи висоту й обчислюй у прямокутних трикутниках, які вона утворила.
Залишити $\sqrt{45}$ , коли варіанти відповіді записано як $3\sqrt{5}$ . Спрости корінь, перш ніж порівнювати його з варіантами.

Запам’ятай

$a^2 + b^2 = c^2$ , де $c$ — гіпотенуза, навпроти прямого кута.
Гіпотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Катет: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Діагональ квадрата зі стороною $a$ : $d = a\sqrt{2}$ .
Трійки, які варто впізнавати: $3, 4, 5$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ і їхні кратні.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Трикутникис. 24
Координати та векторис. 24
Таблиця квадратів від 10 до 49с. 2

Теорема Піфагора є на сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Трикутники», на рисунку прямокутного трикутника:

a^2 + b^2 = c^2

, а поруч — синус, косинус і тангенс гострого кута. У блоці «Координати та вектори» на тій самій сторінці є формула довжини вектора

\overrightarrow{AB}

, тобто відстані між точками

A

B

, а це та сама теорема Піфагора в координатах.

На сторінці 2 є таблиця квадратів чисел від 10 до 49: з неї зручно добувати корені, наприклад

\sqrt{841} = 29

. Чого в довідкових матеріалах немає: оберненої теореми Піфагора, формули діагоналі квадрата і висоти рівностороннього трикутника, піфагорових трійок. Їх виводиш сам з основної формули.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як звучить теорема Піфагора?+
Відп.:У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: $a^2 + b^2 = c^2$ . Катети — це сторони, що утворюють прямий кут, а гіпотенуза — найдовша сторона, яка лежить навпроти прямого кута.
2.Як знайти гіпотенузу?+
Відп.:Піднеси обидва катети до квадрата, додай результати й добудь корінь: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Для катетів $9$ і $40$ виходить $\sqrt{81 + 1600} ={}$ $\sqrt{1681} ={}$ $41$ . Наприкінці перевір, чи гіпотенуза довша за кожен з катетів.
3.Як знайти катет, якщо відомо гіпотенузу?+
Відп.:Від квадрата гіпотенузи відніми квадрат відомого катета й добудь корінь: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Для гіпотенузи $25$ і катета $7$ виходить $\sqrt{625 - 49} ={}$ $\sqrt{576} ={}$ $24$ . Найчастіша помилка тут — додати квадрати замість того, щоб відняти.
4.Чи є теорема Піфагора в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Так. Вона є на сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Трикутники»: $a^2 + b^2 = c^2$ з підписом «теорема Піфагора». Там же є формула відстані між двома точками. Обернену теорему і формулу діагоналі квадрата доведеться пам’ятати або вивести самому.
5.У яких завданнях НМТ потрібна теорема Піфагора?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років вона потрібна щороку. Найчастіше це завдання 18 на відповідність з планіметрії, де треба знайти сторону, висоту чи радіус, і завдання 21 з короткою відповіддю зі стереометрії, де теорема Піфагора дає висоту, діагональ чи твірну. Окремим завданням вона трапляється рідко.
6.Що таке піфагорові трійки?+
Відп.:Це трійки натуральних чисел, які задовольняють рівність $a^2 + b^2 = c^2$ . Найчастіше трапляються $3, 4, 5$ ; $7, 24, 25$ ; $8, 15, 17$ і $20, 21, 29$ , а також їхні кратні, наприклад $6, 8, 10$ . Якщо бачиш такі числа в умові, відповідь часто ціла, але все одно перевір її обчисленням.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Теорема Піфагора: формула, приклади і завдання НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Знайди прямий кут

2.Запиши теорему для сторін із задачі

3.Підстав числа й обчисли квадрати

4.Добудь корінь і спрости його

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Гіпотенуза за двома катетами

2.Катет, корінь з якого треба спростити

3.Висота рівнобедреного трикутника

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела