Kleksa

НМТ 2027 · математика

Розв’язування трикутників: синус, косинус, теореми синусів і косинусів

Розв’язати трикутник означає за кількома відомими елементами знайти решту сторін і кутів. У прямокутному трикутнику для цього досить синуса, косинуса й тангенса гострого кута. У довільному трикутнику працюють теорема синусів і теорема косинусів. У завданнях 13 і 15 НМТ це найчастіше потрібно: на рисунку є кілька прямокутних трикутників, і сторону чи площу треба знайти через них. Нижче є формули, правило вибору теореми, приклади й два справжні завдання УЦОЯО.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 13 і 15 та всередині багатьох інших задач з планіметрії й стереометрії.

Головне

це треба вміти
  • У прямокутному трикутнику з гострим кутом α\alpha позначимо катет навпроти кута через aa, катет, що прилягає до нього, — через bb, гіпотенузу — через cc. Тоді sin⁡α=ac\sin\alpha = \dfrac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}. Букви на рисунку інші: там сторони довільного трикутника лежать навпроти кутів α\alpha, β\beta, γ\gamma.
  • Значення для кутів 30∘30^\circ, 45∘45^\circ і 60∘60^\circ є в таблиці довідкових матеріалів: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • Основні співвідношення: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. Для тупих кутів: sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha і cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha.
  • Теорема синусів: asin⁡α=\dfrac{a}{\sin\alpha} ={}bsin⁡β= \dfrac{b}{\sin\beta} ={}csin⁡γ= \dfrac{c}{\sin\gamma} ={}2R 2R, де RR — радіус кола, описаного навколо трикутника. Кожна сторона ділиться на синус кута, що лежить навпроти неї.
  • Теорема косинусів: a2=a^2 ={}b2+ b^2 +{}c2− c^2 -{}2bccos⁡α 2bc\cos\alpha. Кут α\alpha лежить між сторонами bb і cc навпроти сторони aa. Для α=90∘\alpha = 90^\circ вона перетворюється на теорему Піфагора.
  • Сума кутів трикутника дорівнює 180∘180^\circ. Площа через дві сторони й кут між ними: S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha.
  • Як вибрати теорему. Відомі три сторони або дві сторони й кут між ними — теорема косинусів. Відомі сторона й два кути або дві сторони й кут навпроти однієї з них — теорема синусів. У прямокутному трикутнику вистачає синуса, косинуса, тангенса і теореми Піфагора.
ABCabcαβγ

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

  1. 1.Розстав позначення

    Познач на рисунку відомі кути й сторони. Запиши, що саме шукаєш. Сторону називай буквою кута, що лежить навпроти неї: так легше не переплутати теорему синусів.

  2. 2.Знайди прямокутні трикутники

    Якщо на рисунку є прямий кут, спершу працюй із ним: запиши sin⁡\sin, cos⁡\cos або tg⁡\operatorname{tg} потрібного кута й вирази невідому сторону. Якщо його немає, проведи висоту й отримаєш два прямокутні трикутники.

  3. 3.Вибери теорему для довільного трикутника

    Дві сторони й кут між ними або три сторони — теорема косинусів. Сторона й два кути або кут навпроти відомої сторони — теорема синусів. Відомі два кути — третій знайди з суми 180∘180^\circ.

  4. 4.Підстав значення з таблиці

    Для 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ візьми значення з довідкових матеріалів. Для тупого кута скористайся формулою зведення: sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha.

  5. 5.Перевір відповідь

    Найбільша сторона лежить проти найбільшого кута, а сума кутів дорівнює 180∘180^\circ. Довжина сторони додатна й менша за суму двох інших сторін. Відповідь має відповідати тому, що просить задача: довжину, кут, площу чи вираз із буквами.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

  1. 1.Прямокутний трикутник: синус і косинус

    У прямокутному трикутнику ABCABC з прямим кутом CC катет BC=10BC = 10, а sin⁡A=513\sin A = \dfrac{5}{13}. Знайди гіпотенузу ABAB, катет ACAC і cos⁡A\cos A.

  2. 2.Теорема косинусів: невідома сторона

    У трикутнику ABCABC сторони AB=15AB = 15 і AC=8AC = 8, а кут між ними A=60∘A = 60^\circ. Знайди сторону BCBC.

  3. 3.Теорема синусів: невідома сторона

    У трикутнику ABCABC кут AA дорівнює 30∘30^\circ, кут BB дорівнює 45∘45^\circ, а сторона BC=6BC = 6. Знайди сторону ACAC.

  4. 4.Теорема косинусів: невідомий кут

    Сторони трикутника дорівнюють 33, 55 і 77. Знайди кут, що лежить навпроти більшої сторони.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО
Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.
Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 15

Завдання 15. (0–1)

На стороні ADAD прямокутника ABCDABCD вибрано точку KK так, що трикутник BKCBKC є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника ABCDABCD, якщо ∠ABK=\angle ABK ={}30∘ 30^\circ, KC=63KC = 6\sqrt{3}.
30°6√3ABCDK

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 15. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 15

Завдання 15. (0–1)

На рисунку зображено прямокутник ABCDABCD. Точка KK лежить на стороні ADAD. Визначте довжину сторони ADAD, якщо BK=dBK = d, ∠AKB=\angle AKB ={}α \alpha, ∠KCD=β\angle KCD = \beta.
αβABCDKd

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 15. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу
Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.
НМТ

Завдання 1. (0–3)

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Узгодьте величину (1–3) з її числовим значенням (А–Д).
1. довжина гіпотенузи (см)
2. площа трикутника (см²)
3. периметр трикутника (см)

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

У трикутнику ABCABC сторони AB=6AB = 6 і AC=10AC = 10, а кут AA дорівнює 120∘120^\circ. Визначте довжину сторони BCBC.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

У трикутнику ABCABC кут AA дорівнює 60∘60^\circ, а сторона BC=63BC = 6\sqrt{3} см. Визначте радіус кола, описаного навколо трикутника (у см).

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–3)

У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 4040 см, а один із гострих кутів — 30∘30^\circ. Увідповідніть величину (1–3) та її значення (А–Д).

Величина

Значення

1. катет, протилежний куту 30∘30^\circ (см)
2. катет, прилеглий до кута 30∘30^\circ (см)
3. площа трикутника (см²)

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал
  • Плутати протилежний і прилеглий катети. Синус кута — це відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус — прилеглого. Якщо поміняти їх місцями, відповідь буде синусом іншого кута.
  • Забути знак косинуса тупого кута. cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, тому в теоремі косинусів доданок −2bccos⁡α-2bc\cos\alpha стає додатним, і сторона виходить більшою, ніж для прямого кута.
  • Поділити сторону на синус не того кута. У теоремі синусів кожна сторона ділиться на синус кута, що лежить навпроти неї, а не прилягає до неї.
  • Вважати, що asin⁡α\dfrac{a}{\sin\alpha} дорівнює радіусу описаного кола. Це діаметр: asin⁡α=\dfrac{a}{\sin\alpha} ={}2R 2R. Забутий множник 22 дає відповідь, удвічі більшу за правильну.
  • Знайти кут за значенням синуса й не подумати про другий варіант. Рівності sin⁡α=12\sin\alpha = \dfrac{1}{2} відповідають кути 30∘30^\circ і 150∘150^\circ; обери той, який не суперечить сумі кутів і тому, що проти більшої сторони лежить більший кут.

Запам’ятай

  • Синус — відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус — прилеглого катета до гіпотенузи.
  • tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} ={}ab \dfrac{a}{b} — відношення протилежного катета до прилеглого.
  • Теорема синусів: asin⁡α=\dfrac{a}{\sin\alpha} ={}bsin⁡β= \dfrac{b}{\sin\beta} ={}csin⁡γ= \dfrac{c}{\sin\gamma} ={}2R 2R.
  • Теорема косинусів: a2=a^2 ={}b2+ b^2 +{}c2− c^2 -{}2bccos⁡α 2bc\cos\alpha.
  • Дві сторони й кут між ними або три сторони — косинусів; сторона й два кути — синусів.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.
  • Трикутникис. 24
  • Тригонометріяс. 23
  • Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутівс. 23
На сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Трикутники», є теорема косинусів a2=a^2 ={}b2+ b^2 +{}c2− c^2 -{}2bccos⁡α 2bc\cos\alpha, теорема синусів із 2R2R, сума кутів 180∘180^\circ, формула площі S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha, а для прямокутного трикутника — cos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}, sin⁡α=ac\sin\alpha = \dfrac{a}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b} і теорема Піфагора.
На сторінці 23 є основна тригонометрична тотожність, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, формули зведення sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha та таблиця значень синуса, косинуса й тангенса для кутів 0∘0^\circ, 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ, 180∘180^\circ, 270∘270^\circ і 360∘360^\circ.
Чого немає: формули для косинуса кута через сторони, cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} (її виводять із теореми косинусів), котангенса, формул sin⁡(α±β)\sin(\alpha \pm \beta) і cos⁡(α±β)\cos(\alpha \pm \beta) (є лише подвійний кут) та значень для кутів поза таблицею, наприклад 15∘15^\circ чи 75∘75^\circ.
Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

  1. 1.Що означає «розв’язати трикутник»?+
    Відп.:Це означає за трьома відомими елементами (серед яких є хоча б одна сторона) знайти решту сторін і кутів. У прямокутному трикутнику для цього вистачає синуса, косинуса, тангенса й теореми Піфагора. У довільному трикутнику застосовують теорему синусів, теорему косинусів і суму кутів 180∘180^\circ.
  2. 2.Коли брати теорему синусів, а коли теорему косинусів?+
    Відп.:Теорему косинусів — коли відомі три сторони або дві сторони й кут між ними. Теорему синусів — коли відомі сторона й два кути або сторона і кут навпроти неї та ще одна сторона. Якщо в трикутнику є прямий кут, зазвичай досить прямокутного трикутника без цих теорем.
  3. 3.Чому косинус тупого кута від’ємний?+
    Відп.:На одиничному колі косинус — це абсциса точки. Для тупого кута точка лежить у другій чверті, де абсциса від’ємна. Тому cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha. У теоремі косинусів доданок −2bccos⁡α-2bc\cos\alpha для тупого кута стає додатним, і сторона навпроти нього виходить довшою, ніж за теоремою Піфагора.
  4. 4.Чи є теореми синусів і косинусів у довідкових матеріалах НМТ?+
    Відп.:Так, на сторінці 24, у блоці «Трикутники»: теорема косинусів, теорема синусів із 2R2R та формула площі S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha. На сторінці 23 є таблиця значень синуса, косинуса й тангенса та формули зведення. Те, що там написано, вчити напам’ять не обов’язково, але користуватися цим слід уміти швидко.
  5. 5.Як знайти кут трикутника за трьома сторонами?+
    Відп.:Запиши теорему косинусів для кута, що лежить навпроти однієї зі сторін, і вирази косинус: cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. Додатне значення дає гострий кут, від’ємне — тупий, нуль — прямий. Наприклад, для сторін 66, 88 і 1010 кут навпроти 1010 має косинус 36+64−10096=\dfrac{36 + 64 - 100}{96} ={}0 0, тобто прямий.
  6. 6.Які завдання НМТ розв’язуються цими теоремами?+
    Відп.:У тестах 2023–2026 років такі співвідношення потрібні щороку. У завданні 15 тестів 2024 і 2025 років треба обчислити периметр чи площу або виразити сторону через літери й кути, а в завданні 13 — знайти площу за рисунком з кількома трикутниками. Зазвичай там достатньо прямокутних трикутників і значень для 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.