Kleksa

НМТ 2027 · математика

Трикутники: види, медіана, бісектриса, висота і площа

Трикутник — найчастіша фігура в геометричних завданнях НМТ: його кути, сторони, медіани, висоти й площа потрібні в планіметрії щороку, а ще всередині задач про чотирикутники, коло й просторові тіла. Тут зібрано те, що в програмі називається «Трикутники»: види і властивості, сума кутів, нерівність трикутника, особливі відрізки, середня лінія, площа. Далі йдуть метод крок за кроком, приклади та два справжні завдання з тестів НМТ.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 2, 3, 10, 13 і 18 та всередині багатьох інших задач з планіметрії.

Головне

це треба вміти
  • Види за кутами: гострокутний (усі кути гострі), прямокутний (один кут прямий), тупокутний (один кут тупий). Види за сторонами: різносторонній, рівнобедрений (дві бічні сторони рівні, кути при основі рівні) і рівносторонній (усі сторони рівні, кожен кут дорівнює 60∘60^\circ).
  • Сума кутів трикутника дорівнює 180∘180^\circ: α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
  • Нерівність трикутника: кожна сторона менша за суму двох інших сторін і більша за їхню різницю, ∣b−c∣<a<b+c|b - c| < a < b + c. Навпроти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.
  • Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони, бісектриса ділить кут навпіл, висота — перпендикуляр з вершини до прямої, що містить протилежну сторону. Три медіани перетинаються в одній точці, і кожна ділиться нею, рахуючи від вершини, у відношенні 2:12 : 1. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також медіаною і бісектрисою.
  • Середня лінія трикутника сполучає середини двох сторін; вона паралельна третій стороні й дорівнює її половині.
  • Площа: S=12ahaS = \dfrac{1}{2} a h_a (сторона на висоту, проведену до неї), S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha (дві сторони й кут між ними). Для прямокутного трикутника площа дорівнює половині добутку катетів.
  • Центр кола, описаного навколо трикутника, лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до сторін. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис. У прямокутному трикутнику центр описаного кола — середина гіпотенузи.
ABCHLM

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

  1. 1.Визнач вид трикутника

    Подивись, чи є в умові рівні сторони або рівні кути, прямий кут, середини сторін. Від цього залежить, яку властивість брати: для рівнобедреного — рівність кутів при основі й збіг висоти з медіаною, для прямокутного — теорему Піфагора й співвідношення в прямокутному трикутнику.

  2. 2.Познач на рисунку все відоме

    Надпиши відомі кути й довжини. Якщо відомо два кути, третій знайдеш із суми 180∘180^\circ; зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним.

  3. 3.Вибери властивість відрізка

    Медіана ділить сторону навпіл, середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, бісектриса ділить кут навпіл, висота дає прямий кут. Висота розбиває трикутник на прямокутні трикутники, у яких працює теорема Піфагора.

  4. 4.Знайди площу, якщо вона потрібна

    Добери формулу до даних: сторона й висота до неї — S=12ahaS = \dfrac{1}{2} a h_a; дві сторони й кут між ними — S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha; три сторони — формула Герона з довідкових матеріалів.

  5. 5.Перевір відповідь

    Сума кутів має бути 180∘180^\circ. Найбільший кут лежить проти найбільшої сторони. Кожна сторона менша за суму двох інших. Довжина й площа — додатні числа в тих одиницях, яких вимагає задача.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

  1. 1.Кути й зовнішній кут

    У трикутнику ABCABC кут AA дорівнює 47∘47^\circ, а зовнішній кут при вершині BB дорівнює 112∘112^\circ. Знайди кут CC і кут BB.

  2. 2.Висота рівнобедреного трикутника і площа

    У рівнобедреному трикутнику PQRPQR основа PQ=30PQ = 30, а бічні сторони PR=QR=25PR = QR = 25. Знайди висоту RFRF, проведену до основи, і площу трикутника.
    PQRF252530

  3. 3.Середня лінія і периметр

    Сторони трикутника дорівнюють 1414 см, 1818 см і 2222 см. Середні лінії трикутника утворюють новий трикутник. Знайди його периметр.

  4. 4.Площа за двома сторонами й кутом

    Дві сторони трикутника дорівнюють 99 і 88, а кут між ними — 150∘150^\circ. Знайди площу трикутника.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО
Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.
Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 1, завдання 10

Завдання 10. (0–1)

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника? I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону. II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за 90∘90^\circ. III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 10. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 1, завдання 18

Завдання 18. (0–3)

У прямокутному трикутнику ACBACB ∠C=\angle C ={}90∘ 90^\circ, ∠B=\angle B ={}24∘ 24^\circ. На продовженні катета ACAC вибрано точку KK так, що AK=KBAK = KB (див. рисунок). Точка OO – центр кола, описаного навколо трикутника ACBACB. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).
24°ABKC

Кут

Градусна міра кута

1. ∠BAC\angle BAC
2. ∠KBC\angle KBC
3. ∠OKB\angle OKB

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 18. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу
Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.
НМТ

Завдання 1. (0–1)

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому ∠ABC=\angle ABC ={}120∘ 120^\circ. Точки KK і MM є серединами сторін ABAB та ACAC відповідно. Визначте площу (см²) чотирикутника KBCMKBCM, якщо AC=24AC = 24 см.
120°ABCKM

Завдання 13 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

На рисунку зображено трикутник ABCABC та вказано градусні міри двох його кутів. Визначте градусну міру кута CC.
ABC49°56°?

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–1)

На рисунку зображено трикутник ABCABC та вказано градусні міри двох його кутів. Визначте градусну міру кута CC.
ABC69°41°?

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал
  • Плутати медіану, бісектрису й висоту. Медіана йде до середини сторони, бісектриса ділить кут, висота — це перпендикуляр. Усі три збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, проведені до основи.
  • Вважати, що висота завжди лежить усередині трикутника. У тупокутному трикутнику висота з вершини гострого кута падає на продовження протилежної сторони, поза трикутником, але формула площі S=12ahaS = \dfrac{1}{2} a h_a від цього не змінюється.
  • Додавати до зовнішнього кута всі три внутрішні або брати суміжний кут. Зовнішній кут дорівнює сумі лише двох внутрішніх, не суміжних з ним, або 180∘180^\circ мінус суміжний внутрішній.
  • Не перевірити, чи існує трикутник із такими сторонами. Відрізки 33, 44 і 88 трикутника не утворюють, бо 3+4<83 + 4 < 8: сума двох сторін мусить бути більшою за третю.
  • Брати площу як добуток двох сторін, поділений навпіл: S=12abS = \dfrac{1}{2} ab правильне лише для катетів прямокутного трикутника. Для довільного трикутника потрібна висота до сторони або синус кута між сторонами.

Запам’ятай

  • α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ; зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним.
  • Нерівність трикутника: ∣b−c∣<a<b+c|b - c| < a < b + c.
  • У рівнобедреному трикутнику висота до основи — також медіана й бісектриса.
  • Середня лінія паралельна стороні й дорівнює її половині.
  • Медіани перетинаються в одній точці й діляться нею як 2:12 : 1 від вершини.
  • S=S ={}12aha= \dfrac{1}{2} a h_a ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.
  • Трикутникис. 24
На сторінці 24 довідкових матеріалів, у блоці «Трикутники», на малюнку довільного трикутника є: півпериметр p=a+b+c2p = \dfrac{a + b + c}{2}, сума кутів α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ, теорема косинусів, теорема синусів і три формули площі: S=12ahaS = \dfrac{1}{2} a h_a, S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha та формула Герона S=S ={}p(p−a)(p−b)(p−c) \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.
Чого в довідкових матеріалах немає: нерівності трикутника, властивостей медіани, бісектриси й середньої лінії (відношення 2:12 : 1, половина паралельної сторони), ознак рівності та подібності трикутників, формул для рівнобедреного й рівностороннього трикутників, зв’язку між зовнішнім і внутрішніми кутами. Їх треба пам’ятати.
Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

  1. 1.Чому дорівнює сума кутів трикутника?+
    Відп.:Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180∘180^\circ. Звідси: у прямокутному трикутнику два гострі кути дають 90∘90^\circ, у рівносторонньому кожен кут дорівнює 60∘60^\circ, а в рівнобедреному, якщо кут при вершині дорівнює γ\gamma, кожен кут при основі дорівнює 180∘−γ2\dfrac{180^\circ - \gamma}{2}.
  2. 2.Чим відрізняються медіана, бісектриса і висота трикутника?+
    Відп.:Медіана проходить з вершини до середини протилежної сторони й ділить її на два рівні відрізки. Бісектриса ділить кут при вершині на два рівні кути. Висота — перпендикуляр з вершини до прямої, що містить протилежну сторону. У різносторонньому трикутнику це три різні відрізки, а в рівнобедреному, проведені до основи, вони збігаються.
  3. 3.Як перевірити, чи існує трикутник із заданими сторонами?+
    Відп.:Найбільша сторона має бути меншою за суму двох інших. Для сторін 55, 99 і 1515 перевіряємо 5+9=14<155 + 9 = 14 < 15 — сума менша, тому такого трикутника не існує. Для сторін 55, 99 і 1313 виходить 14>1314 > 13, і трикутник існує.
  4. 4.Як знайти площу трикутника?+
    Відп.:Залежно від даних: сторона на висоту, поділена навпіл, S=12ahaS = \dfrac{1}{2} a h_a; дві сторони й кут між ними, S=S ={}12bcsin⁡α \dfrac{1}{2} bc \sin\alpha; три сторони — формула Герона. Усі три формули є на сторінці 24 довідкових матеріалів. Для прямокутного трикутника площа — половина добутку катетів.
  5. 5.Що таке середня лінія трикутника і чому вона важлива?+
    Відп.:Це відрізок, що сполучає середини двох сторін. Він паралельний третій стороні й удвічі коротший за неї. Задачі на НМТ часто дають середні лінії або середини сторін, і тоді довжини знаходять поділом навпіл, а площі й периметри — з побудованих трикутників.
  6. 6.Де на НМТ потрібні трикутники?+
    Відп.:У тестах 2023–2026 років трикутники трапляються щороку: у завданнях з кутами (завдання 2 і 3), з твердженнями про властивості фігур (завдання 10), з обчисленням площі (завдання 13) і на відповідність (завдання 18). Окрім цього, їх розглядають усередині задач про чотирикутники, коло й просторові фігури.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.