Як знайти координати вектора за двома точками?

Відніми від координат кінця координати початку: для $A(1; 2; 3)$ і $B(4; 0; 9)$ вектор $\overrightarrow{AB} = (4 - 1; \, 0 - 2; \, 9 - 3) = (3; -2; 6)$. Порядок точок важливий, бо вектор $\overrightarrow{BA}$ має протилежні знаки.

Як знайти модуль вектора?

Піднеси кожну координату до квадрата, додай результати й добудь квадратний корінь. Для вектора $(1; 4; 8)$ маємо $\sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$. Модуль — це довжина вектора, тож він невід’ємний.

Як знайти середину відрізка за координатами кінців?

Додай відповідні координати кінців і поділи на два. Для кінців $(2; 8; -4)$ і $(10; -2; 6)$ середина дорівнює $(6; 3; 1)$. Ту саму формулу можна читати навпаки: коли відома середина й один кінець, другий кінець дорівнює подвоєній середині мінус перший кінець.

Як знайти кут між векторами?

Знайди скалярний добуток за координатами, поділи його на добуток модулів — це косинус кута: $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Готової формули кута в довідкових матеріалах немає, але обидва записи скалярного добутку там є, і формула з них випливає. Кут лежить від $0°$ до $180°$.

Як перевірити, що вектори перпендикулярні або колінеарні?

Перпендикулярні вектори мають нульовий скалярний добуток: для $(1; 2; 3)$ і $(3; 0; -1)$ маємо $3 + 0 - 3 = 0$. Колінеарні вектори пропорційні: $(1; -2; 4)$ і $(3; -6; 12)$, бо другий утричі більший за перший. Нуль у координаті відповідає нулю в тій самій координаті пропорційного вектора.

Які формули з векторів є в довідкових матеріалах НМТ?

У блоці «Координати та вектори» на сторінці 24: середина відрізка, координати й модуль вектора, скалярний добуток в обох формах. Немає правил додавання векторів, умов колінеарності та перпендикулярності, рівняння сфери. Рівняння кола є в сусідньому блоці «Коло».

Як вектори трапляються в завданнях НМТ?

У 2023–2026 роках у кожному році є вектори чи точки в просторі: суму або різницю векторів просили в 2023 році, симетричну точку — у 2025, модуль суми й координати вектора в паралелепіпеді — у 2026. У 2024 році в завданні 21 координати точок у просторі треба було поєднати з об’ємом призми (варіант 1) і площею поверхні конуса (варіант 2).

НМТ 2027 · математика

Вектори і координати на площині та в просторі: формули і завдання НМТ

Вектор задають його координатами, а всі дії з ним зводяться до арифметики з числами: додавання, віднімання, множення на число, модуль і скалярний добуток. На НМТ вектори з’являються щороку, найчастіше в просторі: треба знайти координати суми чи різниці, довжину вектора, середину відрізка або точку, симетричну даній. Тут зібрано формули, метод крок за кроком, приклади та два справжні завдання УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 5 і 8 та в задачах із координатами в просторі в завданні 21.

Головне

це треба вміти

Координати вектора $\overrightarrow{AB}$ — це координати кінця мінус координати початку: $\overrightarrow{AB}(x_2 - x_1; \, y_2 - y_1; \, z_2 - z_1)$ . На площині третьої координати немає.
Дії з векторами виконують покоординатно: $\vec{a} + \vec{b} ={}$ $(a_1 + b_1; \, a_2 + b_2; \, a_3 + b_3)$ , а множення на число $k$ множить кожну координату: $k\vec{a} ={}$ $(ka_1; \, ka_2; \, ka_3)$ .
Модуль (довжина) вектора: $|\vec{a}| ={}$ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ . Відстань між двома точками дорівнює модулю вектора, який їх сполучає.
Середина відрізка $AB$ має координати $x_0 ={}$ $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$ , $y_0 ={}$ $\dfrac{y_1 + y_2}{2}$ , $z_0 ={}$ $\dfrac{z_1 + z_2}{2}$ .
Скалярний добуток — це число: $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $a_1 b_1 +{}$ $a_2 b_2 +{}$ $a_3 b_3 ={}$ $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\varphi$ , де $\varphi$ — кут між векторами. Звідси $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ .
Вектори перпендикулярні, коли $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $0$ . Вектори колінеарні, коли $\vec{b} = k\vec{a}$ , тобто їхні координати пропорційні.
Рівняння кола з центром $(x_0; y_0)$ і радіусом $R$ : $(x - x_0)^2 +{}$ $(y - y_0)^2 ={}$ $R^2$ . У просторі рівняння сфери записують так само, з третім доданком $(z - z_0)^2$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Запиши координати кожної точки й вектора
Випиши координати точок з умови у вигляді $A(x_1; y_1; z_1)$ . Якщо вектор заданий двома точками, відніми від координат кінця координати початку. Порядок важливий: $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ відрізняються знаками.
2.Виконай дії покоординатно
Додавай, віднімай і множ на число кожну координату окремо. Записуй результат у дужках через крапку з комою, наприклад $(2; -1; 5)$ , і не переплутай знак при відніманні від’ємного числа.
3.Вибери формулу під запитання
Довжину шукай через модуль, середину відрізка — через півсуму координат, кут чи перпендикулярність — через скалярний добуток, колінеарність — через пропорційність координат.
4.Підстав числа й порахуй
Підстав числа у формулу, піднось до квадрата кожну координату окремо ( $(-3)^2 = 9$ ) і лише тоді складай. Корінь із суми спрости або знайди в таблиці квадратів.
5.Перевір відповідь
Модуль не може бути від’ємним. Кут між векторами лежить від $0°$ до $180°$ . Симетричну точку перевір так: середина відрізка від заданої точки до знайденої має збігатися з центром симетрії.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Сума векторів і її модуль
Задано вектори $\vec{a}(5; -1; 2)$ і $\vec{b}(-3; 4; 4)$ . Знайди координати вектора $\vec{c} ={}$ $\vec{a} + \vec{b}$ і його модуль.
2.Середина відрізка та його довжина
Задано точки $A(-3; 2; 5)$ і $B(5; 6; -3)$ . Знайди координати середини $M$ відрізка $AB$ і довжину відрізка $AB$ .
3.Кут між векторами на площині
Знайди кут між векторами $\vec{p}(2; 0)$ і $\vec{q}(3; 3)$ .
4.Колінеарні вектори з невідомою координатою
Вектори $\vec{a}(2; -4; m)$ і $\vec{b}(-3; 6; 9)$ колінеарні. Знайди $m$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 1, завдання 8

Завдання 8. (0–1)

У прямокутній системі координат у просторі задано точки

A(5; -4; 0)

B(7; 2; -2)

. Визначте точку

C

, симетричну точці

A

відносно точки

B

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 8. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 2, завдання 8

Завдання 8. (0–1)

У прямокутній системі координат у просторі задано вектори

\vec{a}(-2; 2; 1)

\vec{b}(4; -3; 0)

. Визначте модуль вектора

\vec{c} ={}

\vec{a} + \vec{b}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 8. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед

ABCDA_1B_1C_1D_1

і зазначено його виміри (див. рисунок). Визначте координати вектора

\overrightarrow{DB_1}

Завдання 8 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

У прямокутній системі координат у просторі задано вектори

\vec{a}(2; -3; 1)

\vec{b}(k; 4; -2)

. Визначте значення

k

, при якому вектори

\vec{a}

\vec{b}

перпендикулярні.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

У прямокутній системі координат у просторі задано вектори

\vec{a}(1; 1; 0)

\vec{b}(0; 1; 1)

. Визначте кут між векторами

\vec{a}

\vec{b}

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–3)

У прямокутній системі координат у просторі задано точки

A(-1; 2; 3)

B(3; -2; 1)

. Початок координат — точка

O

. Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А–Д).

Величина

Значення

1довжина відрізка

AB

2сума координат середини відрізка

AB

3скалярний добуток векторів

\overrightarrow{OA}

\overrightarrow{OB}

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Відняти координати у зворотному порядку. Координати вектора $\overrightarrow{AB}$ — це кінець мінус початок, тобто $B - A$ . Якщо знак вийшов протилежним, ти знайшов вектор $\overrightarrow{BA}$ .
Неправильно піднести до квадрата від’ємну координату. У модулі $(-3)^2 = 9$ , а не $-9$ , і підкореневий вираз ніколи не буває від’ємним.
Знаходити середину відрізка без ділення на два або як різницю координат. Середина — це півсума координат кінців, а різниця дає вектор.
Вважати скалярний добуток вектором. Це число, і перпендикулярні вектори мають нульовий скалярний добуток, а зовсім не нульові координати.
Шукаючи точку, симетричну точці $A$ відносно точки $B$ , обчислити середину відрізка $AB$ . Точка $B$ — середина відрізка від $A$ до шуканої точки, тому шукана точка дорівнює $2B - A$ .

Запам’ятай

Координати вектора $\overrightarrow{AB}$ : кінець мінус початок.
$|\vec{a}| ={}$ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ ; довжина відрізка — модуль вектора.
Середина відрізка — півсума координат; точка, симетрична $A$ відносно $B$ , дорівнює $2B - A$ .
$\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $a_1 b_1 +{}$ $a_2 b_2 +{}$ $a_3 b_3$ ; перпендикулярні, коли добуток дорівнює $0$ .
Колінеарні: $\vec{b} = k\vec{a}$ , координати пропорційні.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Координати та векторис. 24
Коло, кругс. 24

На сторінці 24 довідкових матеріалів у блоці «Координати та вектори» є формули середини відрізка, координат вектора

\overrightarrow{AB}

, його модуля в просторі та скалярного добутку в обох формах: через координати і як

|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\varphi

. У блоці «Коло» на тій самій сторінці є рівняння кола

(x - x_0)^2 +{}

(y - y_0)^2 ={}

R^2

Чого немає: правил додавання векторів і множення на число, готової формули кута між векторами (її виводиш із двох записів скалярного добутку), умов колінеарності та перпендикулярності, рівняння сфери, формули відстані на площині (бери формулу для простору без третьої координати) і правила симетричної точки. Усе це треба знати напам’ять або вивести.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як знайти координати вектора за двома точками?+
Відп.:Відніми від координат кінця координати початку: для $A(1; 2; 3)$ і $B(4; 0; 9)$ вектор $\overrightarrow{AB} ={}$ $(4 - 1; \, 0 - 2; \, 9 - 3) ={}$ $(3; -2; 6)$ . Порядок точок важливий, бо вектор $\overrightarrow{BA}$ має протилежні знаки.
2.Як знайти модуль вектора?+
Відп.:Піднеси кожну координату до квадрата, додай результати й добудь квадратний корінь. Для вектора $(1; 4; 8)$ маємо $\sqrt{1 + 16 + 64} ={}$ $\sqrt{81} ={}$ $9$ . Модуль — це довжина вектора, тож він невід’ємний.
3.Як знайти середину відрізка за координатами кінців?+
Відп.:Додай відповідні координати кінців і поділи на два. Для кінців $(2; 8; -4)$ і $(10; -2; 6)$ середина дорівнює $(6; 3; 1)$ . Ту саму формулу можна читати навпаки: коли відома середина й один кінець, другий кінець дорівнює подвоєній середині мінус перший кінець.
4.Як знайти кут між векторами?+
Відп.:Знайди скалярний добуток за координатами, поділи його на добуток модулів — це косинус кута: $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Готової формули кута в довідкових матеріалах немає, але обидва записи скалярного добутку там є, і формула з них випливає. Кут лежить від $0°$ до $180°$ .
5.Як перевірити, що вектори перпендикулярні або колінеарні?+
Відп.:Перпендикулярні вектори мають нульовий скалярний добуток: для $(1; 2; 3)$ і $(3; 0; -1)$ маємо $3 + 0 - 3 = 0$ . Колінеарні вектори пропорційні: $(1; -2; 4)$ і $(3; -6; 12)$ , бо другий утричі більший за перший. Нуль у координаті відповідає нулю в тій самій координаті пропорційного вектора.
6.Які формули з векторів є в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:У блоці «Координати та вектори» на сторінці 24: середина відрізка, координати й модуль вектора, скалярний добуток в обох формах. Немає правил додавання векторів, умов колінеарності та перпендикулярності, рівняння сфери. Рівняння кола є в сусідньому блоці «Коло».
7.Як вектори трапляються в завданнях НМТ?+
Відп.:У 2023–2026 роках у кожному році є вектори чи точки в просторі: суму або різницю векторів просили в 2023 році, симетричну точку — у 2025, модуль суми й координати вектора в паралелепіпеді — у 2026. У 2024 році в завданні 21 координати точок у просторі треба було поєднати з об’ємом призми (варіант 1) і площею поверхні конуса (варіант 2).

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Вектори і координати на площині та в просторі: формули і завдання НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Запиши координати кожної точки й вектора

2.Виконай дії покоординатно

3.Вибери формулу під запитання

4.Підстав числа й порахуй

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Сума векторів і її модуль

2.Середина відрізка та його довжина

3.Кут між векторами на площині

4.Колінеарні вектори з невідомою координатою

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела