Що таке первісна функції?

Це функція, похідна якої дорівнює даній. Наприклад, $x^3$ — первісна для $3x^2$, бо $(x^3)' = 3x^2$. Первісних нескінченно багато: до будь-якої можна додати сталу, і вона залишиться первісною. Тому в загальному вигляді завжди пишуть $F(x) + C$.

Як обчислити визначений інтеграл?

Знайди будь-яку первісну $F$ підінтегральної функції, підстав у неї верхню межу і відніми значення в нижній: $F(b) - F(a)$. Це формула Ньютона–Лейбніца, вона є в довідкових матеріалах. Сталу $C$ додавати не треба.

Як знайти площу фігури за допомогою інтеграла?

Для фігури між графіком і віссю $x$ на відрізку $[a; b]$, де функція невід’ємна, площа дорівнює $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. Для фігури між двома графіками інтегруй різницю «верхня мінус нижня» між точками їх перетину. Наприклад, фігура між $y = x^2$ і $y = 2x$: межі $0$ і $2$, $S = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$.

Які первісні є в довідкових матеріалах НМТ?

На сторінці 23 є таблиця для $0$, $1$, $x^\alpha$, $\dfrac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ і $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ та формула Ньютона–Лейбніца. Правила для $f(kx + b)$, площі фігур і первісна $a^x$ в довідкових матеріалах відсутні.

У яких завданнях НМТ потрібен інтеграл?

У тестах 2023, 2024 і 2026 років він був у завданні 11 або 12 з вибором відповіді (знайти $f$ за первісною, загальний вигляд первісних, площа фігури за рисунком) та в завданні 19 з короткою відповіддю (обчислити інтеграл). У 2025 році таких завдань не було.

Чи входять до програми НМТ складніші методи інтегрування?

Ні. Інтегрування частинами та заміною змінної не входить до програми НМТ: потрібні лише таблиця первісних, правила суми, сталого множника та лінійної заміни $kx + b$, а також формула Ньютона–Лейбніца.

НМТ 2027 · математика

Первісна та інтеграл: таблиця первісних і площа фігури

Первісна та визначений інтеграл — «зворотна» частина математичного аналізу на НМТ: знайти функцію за її похідною, обчислити інтеграл за формулою Ньютона–Лейбніца або знайти площу фігури під графіком. У тестах 2023–2026 років завдання з первісної чи інтеграла були три роки з чотирьох. Нижче — таблиця первісних, правила, метод крок за кроком, чотири приклади, справжні завдання УЦОЯО з ключами і чотири завдання для самоперевірки.

На НМТ: у 3 з 4 років (2023, 2024 і 2026) — у завданні 11 або 12 з вибором відповіді та в завданні 19 з короткою відповіддю.

Головне

це треба вміти

Функція $F$ — первісна функції $f$ на проміжку, якщо $F'(x) = f(x)$ для всіх $x$ з цього проміжку. Усі первісні функції $f$ мають вигляд $F(x) + C$ , де $C$ — довільна стала.
Таблиця первісних: для $0$ — $C$ ; для $1$ — $x + C$ ; для $x^\alpha$ ( $\alpha \ne -1$ ) — $\dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} +{}$ $C$ ; для $\dfrac{1}{x}$ — $\ln |x| + C$ ; для $e^x$ — $e^x + C$ ; для $\sin x$ — $-\cos x + C$ ; для $\cos x$ — $\sin x + C$ ; для $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ — $\operatorname{tg} x + C$ .
Правила: первісна суми дорівнює сумі первісних, сталий множник виноситься. Якщо $F$ — первісна $f$ , то для $f(kx + b)$ первісною є $\dfrac{1}{k} F(kx + b)$ . Наприклад, первісна $\cos 3x$ дорівнює $\dfrac{1}{3}\sin 3x$ .
Формула Ньютона–Лейбніца: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$ , де $F$ — будь-яка первісна $f$ . Стала $C$ при цьому скорочується, тому її не пишуть.
Криволінійна трапеція — фігура, обмежена графіком функції $y = f(x)$ , де $f(x) \geqslant 0$ на $[a; b]$ , віссю $x$ і прямими $x = a$ , $x = b$ . Її площа $S = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .
Площа фігури між двома графіками, де $f(x) \geqslant g(x)$ на $[a; b]$ : $S = \displaystyle\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx$ . Межі інтегрування — абсциси точок перетину графіків, їх знаходять з рівняння $f(x) = g(x)$ .
Якщо на $[a; b]$ графік лежить під віссю $x$ , інтеграл від’ємний, а площа дорівнює його модулю. Сталий множник виноситься за знак інтеграла: $\displaystyle\int_a^b kf(x)\,dx = k\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Прочитай, що шукають
Первісну (з умовою чи без), значення інтеграла або площу. Якщо в умові є рисунок, визнач, що є верхньою, а що нижньою межею фігури, і які прямі її обмежують зліва та справа.
2.Знайди первісну за таблицею
Роби це доданок за доданком: підніми степінь на одиницю й поділи на новий степінь, для $\sin x$ напиши $-\cos x$ . Для виразів на кшталт $\cos 2x$ поділи на коефіцієнт при $x$ .
3.Перевір диференціюванням
Знайди похідну отриманої функції: вона має збігтися з початковою. Це найшвидший спосіб відсіяти помилку в множнику чи знаку.
4.Застосуй формулу Ньютона–Лейбніца
Підстав верхню межу в $F$ , потім нижню, і відніми: $F(b) - F(a)$ . Стеж за знаками, особливо коли межа від’ємна.
5.Для площі знайди межі й порядок функцій
Знайди точки перетину графіків, визнач, яка з функцій на відрізку більша, і інтегруй різницю «верхня мінус нижня». Для фігури з віссю $x$ нижньою функцією є $0$ .
6.Запиши відповідь у потрібній формі
Якщо результат містить $e$ , $\pi$ чи $\ln$ , залиш його так, як у варіантах відповіді. У завданні з короткою відповіддю виходить число, його записують цифрами, десятковий дріб — із комою.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Первісні за таблицею
Знайди загальний вигляд первісних функцій: а) $f(x) ={}$ $8x^3 - \dfrac{1}{x} + 3e^x$ ; б) $f(x) = \cos 2x$ ; в) $f(x) = \dfrac{4}{x^2}$ .
2.Первісна, що проходить через точку
Графік первісної $F$ функції $f(x) = 6x + 1$ проходить через точку $(1; 5)$ . Запиши $F(x)$ .
3.Визначений інтеграл
Обчисли: а) $\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 + \dfrac{1}{x}\right) dx$ ; б) $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ .
4.Площа фігури
Знайди площу фігури, обмеженої параболою $y = 6x - x^2$ і віссю $x$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 11

Завдання 11. (0–1)

Якщо функція

F(x) = x^3 + 4

є однією з первісних функції

f(x)

, тоді

f(x) =

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 11. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 19

Завдання 19. (0–2)

Обчисліть інтеграл

\displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\,dx

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 19. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Обчисліть площу

S

зафарбованої фігури, обмеженої графіком функції

y = e^x

, осями координат і прямою

x = 1

(див. рисунок).

Завдання 12 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–1)

Визначте загальний вигляд первісних функції

f(x) = 6x^2 - 4x + 5

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–2)

Обчисліть інтеграл

\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2 - 2x)\,dx

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–1)

Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою

y = 4 - x^2

і віссю

x

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Забути $C$ у відповіді на запитання про «загальний вигляд первісних» або, навпаки, писати $C$ у формулі Ньютона–Лейбніца. У загальному вигляді $C$ обов’язкова, а в $F(b) - F(a)$ вона скорочується.
Забути поділити на коефіцієнт при $x$ . Первісна $\sin 5x$ дорівнює $-\dfrac{1}{5}\cos 5x$ , а не $-\cos 5x$ . Перевір диференціюванням: похідна має дати $\sin 5x$ .
Відняти межі в зворотному порядку. Спершу підставляй верхню межу: $F(b) - F(a)$ . Якщо переплутати, відповідь матиме протилежний знак.
Вважати інтеграл площею, коли графік лежить під віссю $x$ . Тоді інтеграл від’ємний, а площа — його модуль. Якщо фігура частково над віссю, частково під нею, інтегруй окремо.
У площі між графіками відняти «нижню» функцію від «верхньої» навпаки. Перед інтегруванням підстав одне число з відрізка в обидві функції й переконайся, яка більша.

Запам’ятай

$F'(x) = f(x)$ ; усі первісні — $F(x) + C$ .
$\displaystyle\int x^\alpha\,dx = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$ при $\alpha \ne -1$ ; $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C$ .
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
Для $f(kx + b)$ первісна $\dfrac{1}{k}F(kx + b)$ .
Площа між графіками: $\displaystyle\int_a^b (\text{верхня} - \text{нижня})\,dx$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Первісна функції та визначений інтегралс. 23

На сторінці 23 довідкових матеріалів, у блоці «Первісна функції та визначений інтеграл», є таблиця загальних виглядів первісних для

0

1

x^\alpha

(

\alpha \ne -1

\dfrac{1}{x}

e^x

\sin x

\cos x

\dfrac{1}{\cos^2 x}

, а також формула Ньютона–Лейбніца.

Чого там немає: правила для

f(kx + b)

(ділення на

k

), властивостей інтеграла (сталий множник, сума), формул площі криволінійної трапеції та фігури між двома графіками, первісних показникової функції

a^x

. Їх треба вивчити окремо. Корисно знати: первісна

a^x

дорівнює

\dfrac{a^x}{\ln a} + C

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Що таке первісна функції?+
Відп.:Це функція, похідна якої дорівнює даній. Наприклад, $x^3$ — первісна для $3x^2$ , бо $(x^3)' = 3x^2$ . Первісних нескінченно багато: до будь-якої можна додати сталу, і вона залишиться первісною. Тому в загальному вигляді завжди пишуть $F(x) + C$ .
2.Як обчислити визначений інтеграл?+
Відп.:Знайди будь-яку первісну $F$ підінтегральної функції, підстав у неї верхню межу і відніми значення в нижній: $F(b) - F(a)$ . Це формула Ньютона–Лейбніца, вона є в довідкових матеріалах. Сталу $C$ додавати не треба.
3.Як знайти площу фігури за допомогою інтеграла?+
Відп.:Для фігури між графіком і віссю $x$ на відрізку $[a; b]$ , де функція невід’ємна, площа дорівнює $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ . Для фігури між двома графіками інтегруй різницю «верхня мінус нижня» між точками їх перетину. Наприклад, фігура між $y = x^2$ і $y = 2x$ : межі $0$ і $2$ , $S = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$ .
4.Які первісні є в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:На сторінці 23 є таблиця для $0$ , $1$ , $x^\alpha$ , $\dfrac{1}{x}$ , $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ і $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ та формула Ньютона–Лейбніца. Правила для $f(kx + b)$ , площі фігур і первісна $a^x$ в довідкових матеріалах відсутні.
5.У яких завданнях НМТ потрібен інтеграл?+
Відп.:У тестах 2023, 2024 і 2026 років він був у завданні 11 або 12 з вибором відповіді (знайти $f$ за первісною, загальний вигляд первісних, площа фігури за рисунком) та в завданні 19 з короткою відповіддю (обчислити інтеграл). У 2025 році таких завдань не було.
6.Чи входять до програми НМТ складніші методи інтегрування?+
Відп.:Ні. Інтегрування частинами та заміною змінної не входить до програми НМТ: потрібні лише таблиця первісних, правила суми, сталого множника та лінійної заміни $kx + b$ , а також формула Ньютона–Лейбніца.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Первісна та інтеграл: таблиця первісних і площа фігури

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Прочитай, що шукають

2.Знайди первісну за таблицею

3.Перевір диференціюванням

4.Застосуй формулу Ньютона–Лейбніца

5.Для площі знайди межі й порядок функцій

6.Запиши відповідь у потрібній формі

Приклади

1.Первісні за таблицею

2.Первісна, що проходить через точку

3.Визначений інтеграл

4.Площа фігури

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела