Kleksa

НМТ 2027 · математика

Тригонометрія для НМТ: формули, таблиця значень, одиничне коло

На НМТ синус, косинус і тангенс треба обчислити для кута на кшталт 7π6\dfrac{7\pi}{6}, спростити вираз або знайти одну функцію за іншою. Для цього досить одиничного кола, таблиці значень, двох основних тотожностей і кількох формул. Тут усе це зібрано в одному місці, з методом крок за кроком, прикладами й двома справжніми завданнями з тестів УЦОЯО. Окремо сказано, чого в довідкових матеріалах немає.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданні 14 (обчислити чи спростити вираз) і в завданні 17 на відповідність, де тригонометричний вираз стоїть поруч зі степенями й логарифмами.

Головне

це треба вміти
  • Кут α\alpha відкладають від додатної півосі OxOx проти годинникової стрілки. Якщо йому відповідає точка M(xα;yα)M(x_\alpha; y_\alpha) одиничного кола, то cos⁡α=xα\cos\alpha = x_\alpha і sin⁡α=yα\sin\alpha = y_\alpha, а тангенс — це відношення: tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, де cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0.
  • Котангенс: ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, де sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0, і tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1. Означення котангенса програма відносить до профільного рівня, а в довідкових матеріалах його немає, тож це співвідношення треба пам’ятати.
  • Значення для 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ запам’ятай так: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, а косинуси ті самі у зворотному порядку. Тангенс — частка: tg⁡30∘=13\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, tg⁡45∘=1\operatorname{tg}45^\circ = 1, tg⁡60∘=3\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}. Зв’язок градусів і радіанів: 180∘=π180^\circ = \pi, тому 30∘=π630^\circ = \dfrac{\pi}{6}, 45∘=π445^\circ = \dfrac{\pi}{4}, 60∘=π360^\circ = \dfrac{\pi}{3}, 90∘=π290^\circ = \dfrac{\pi}{2}.
  • Основні тотожності: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 і 1+1 +{}tg⁡2α=1cos⁡2α \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}. З першої: cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}, а знак обираєш за чвертю, у якій лежить кут.
  • Знаки за чвертями: у I чверті додатні всі три функції; у II — лише синус; у III — лише тангенс; у IV — лише косинус. Парність: cos⁡(−α)=\cos(-\alpha) ={}cos⁡α \cos\alpha, sin⁡(−α)=\sin(-\alpha) ={}−sin⁡α -\sin\alpha, tg⁡(−α)=\operatorname{tg}(-\alpha) ={}−tg⁡α -\operatorname{tg}\alpha. Синус і косинус повторюються через 2π2\pi, тангенс — через π\pi.
  • Формули зведення зводять кут π±α\pi \pm \alpha, π2±α\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha, 2π−α2\pi - \alpha до гострого кута α\alpha. Правило: знак беруть за чвертю вихідного кута (кут α\alpha вважай гострим); назва функції змінюється (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), якщо в записі є π2\dfrac{\pi}{2} або 3π2\dfrac{3\pi}{2}, і лишається, якщо є π\pi або 2π2\pi.
  • Подвійний кут: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha. Формули додавання: cos⁡(α±β)=\cos(\alpha \pm \beta) ={}cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta і sin⁡(α±β)=\sin(\alpha \pm \beta) ={}sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta. Формул додавання в довідкових матеріалах немає.
αxyMxαyα11

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

  1. 1.Зведи кут до першої чверті

    Відніми від кута цілі періоди (2π2\pi, або 360∘360^\circ для синуса й косинуса), за потреби скористайся парністю. Далі запиши кут у вигляді π±α\pi \pm \alpha, π2±α\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha чи 2π−α2\pi - \alpha, де α\alpha — гострий кут із таблиці.

  2. 2.Визнач знак наперед

    Подивись, у якій чверті лежить вихідний кут, і одразу запиши знак результату. Так ти не загубиш мінус у кінці обчислення.

  3. 3.Визнач, чи змінюється назва функції

    Якщо в записі є π2\dfrac{\pi}{2} або 3π2\dfrac{3\pi}{2}, синус стає косинусом, а косинус — синусом. Якщо є π\pi або 2π2\pi, функція та сама. Саме тут найчастіше помиляються, тому не поспішай.

  4. 4.Підстав табличне значення

    Знайди значення функції для гострого кута в таблиці (або відтвори його за схемою 02\dfrac{\sqrt{0}}{2}, 12\dfrac{\sqrt{1}}{2}, 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 42\dfrac{\sqrt{4}}{2}) і підстав його разом зі знаком із кроку 2.

  5. 5.Для виразів із літерами застосуй тотожності

    Розкрий дужки, збери sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x у одиницю, а добуток 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x — у sin⁡2x\sin 2x. Для знаходження однієї функції за іншою скористайся основною тотожністю і знаком за чвертю.

  6. 6.Перевір відповідь

    Синус і косинус завжди лежать у проміжку [−1;1][-1; 1]. Якщо знайшов обидві функції одного кута, перевір, що сума їхніх квадратів дорівнює 11.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

  1. 1.Значення за формулою зведення

    Знайди точне значення виразу sin⁡7π6\sin\dfrac{7\pi}{6}.

  2. 2.Одна функція за іншою

    Відомо, що cos⁡α=−1213\cos\alpha = -\dfrac{12}{13} і π2<α<π\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Знайди sin⁡α\sin\alpha і tg⁡α\operatorname{tg}\alpha.

  3. 3.Формула додавання

    Знайди точне значення косинуса кута 15∘15^\circ.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО
Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.
Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 2, завдання 14

Завдання 14. (0–1)

Обчисліть значення виразу 2sin⁡(−π2)+cos⁡3π2\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos 3\pi.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 14. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 14

Завдання 14. (0–1)

Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (cos⁡x−sin⁡x)2(\cos x - \sin x)^2.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 14. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу
Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.
НМТ

Завдання 1. (0–3)

Увідповідніть числовий вираз (1–3) і проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Числовий вираз

Проміжок

1. 2008\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}
2. log⁡8200\log_8 200
3. 8cos⁡120∘8\cos 120^\circ

Завдання 17 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

Обчисліть значення виразу 12sin⁡5π6−12\sin\dfrac{5\pi}{6} -{}6cos⁡4π3 6\cos\dfrac{4\pi}{3}.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

Відомо, що sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5} і π2<α<π\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Обчисліть cos⁡2α\cos 2\alpha.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал
  • Переплутати значення синуса і косинуса для 30∘30^\circ і 60∘60^\circ. Перевір себе так: у першій чверті синус зростає, косинус спадає, тож sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} — найменше з трьох, а cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} — найбільше.
  • Загубити знак. Наприклад, косинус кута 5π6\dfrac{5\pi}{6} — від’ємний, бо кут у II чверті: cos⁡5π6=\cos\dfrac{5\pi}{6} ={}−32 -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, а не 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Знак записуй до обчислення значення.
  • Записати sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha або cos⁡2α=2cos⁡α\cos 2\alpha = 2\cos\alpha. Правильно: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, а cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.
  • Вважати, що sin⁡(α+β)=\sin(\alpha + \beta) ={}sin⁡α+sin⁡β \sin\alpha + \sin\beta. Перевір на значеннях: sin⁡(60∘+30∘)=\sin(60^\circ + 30^\circ) ={}1 1, а sin⁡60∘+sin⁡30∘=32+\sin 60^\circ + \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} +{}12 \dfrac{1}{2} — це більше за 11, тож рівність хибна. Правильна формула: sin⁡(α+β)=\sin(\alpha + \beta) ={}sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta.
  • Змінити функцію у формулі зведення з π\pi або забути змінити її у формулі з π2\dfrac{\pi}{2}. Правильно: sin⁡(π+α)=\sin(\pi + \alpha) ={}−sin⁡α -\sin\alpha, але sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha.

Запам’ятай

  • cos⁡α=xα\cos\alpha = x_\alpha, sin⁡α=yα\sin\alpha = y_\alpha, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 і 1+1 +{}tg⁡2α=1cos⁡2α \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}.
  • Формули зведення: знак — за чвертю, назва змінюється біля π2\dfrac{\pi}{2} і 3π2\dfrac{3\pi}{2}, а біля π\pi і 2π2\pi лишається.
  • sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.
  • Формул додавання, котангенса й парності в довідкових матеріалах немає.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.
  • Тригонометріяс. 23
  • Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутівс. 23
На сторінці 23 довідкових матеріалів є блок «Тригонометрія»: одиничне коло з точкою M(xα;yα)M(x_\alpha; y_\alpha), означення sin⁡α=yα\sin\alpha = y_\alpha, cos⁡α=xα\cos\alpha = x_\alpha, тангенс як відношення синуса до косинуса, дві основні тотожності, формули sin⁡2α\sin 2\alpha і cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha та шість формул зведення для 90∘+α90^\circ + \alpha і 180∘−α180^\circ - \alpha. Нижче — таблиця значень синуса, косинуса й тангенса для кутів 00, π6\dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4}, π3\dfrac{\pi}{3}, π2\dfrac{\pi}{2}, π\pi, 3π2\dfrac{3\pi}{2}, 2π2\pi (у градусах — від 0∘0^\circ до 360∘360^\circ), де для тангенса π2\dfrac{\pi}{2} і 3π2\dfrac{3\pi}{2} написано «не існує».
Чого немає в довідкових матеріалах: котангенса, формул додавання sin⁡(α±β)\sin(\alpha \pm \beta) і cos⁡(α±β)\cos(\alpha \pm \beta), інших записів косинуса подвійного кута, парності й періодичності, формул зведення для π+α\pi + \alpha чи 2π−α2\pi - \alpha, а також значень для кутів 120∘120^\circ і 150∘150^\circ. Їх виводять із наведених формул і запам’ятованого правила зведення.
Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

  1. 1.Які тригонометричні формули потрібні для НМТ?+
    Відп.:Програма вимагає знати означення синуса, косинуса й тангенса числового аргументу, основні співвідношення між функціями одного аргументу, формули зведення, формули додавання та наслідки з них (серед профільних вимог — ще й котангенс). На практиці в тестах 2023–2026 років вистачало таблиці значень, двох основних тотожностей, формул зведення й подвійного кута.
  2. 2.Чи є тригонометричні формули в довідкових матеріалах НМТ?+
    Відп.:Так, але не всі. На сторінці 23 є одиничне коло, основні тотожності, sin⁡2α\sin 2\alpha, cos⁡2α\cos 2\alpha, шість формул зведення і таблиця значень для кутів від 00 до 2π2\pi. Формул додавання, котангенса, парності й періодичності там немає, їх треба знати напам’ять.
  3. 3.Як запам’ятати таблицю значень синуса, косинуса і тангенса?+
    Відп.:Для кутів 0∘0^\circ, 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ значення синуса дорівнюють 02\dfrac{\sqrt{0}}{2}, 12\dfrac{\sqrt{1}}{2}, 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 42\dfrac{\sqrt{4}}{2}. Косинус — ті самі числа у зворотному порядку. Тангенс знаходиш, поділивши синус на косинус.
  4. 4.Як перевести градуси в радіани і назад?+
    Відп.:Градусну міру множ на π180\dfrac{\pi}{180}, радіанну — на 180π\dfrac{180}{\pi}. Наприклад, 150∘=5π6150^\circ = \dfrac{5\pi}{6}, а 3π4\dfrac{3\pi}{4} радіана — це 135∘135^\circ. Найзручніше пам’ятати одне: π\pi радіанів — це 180∘180^\circ, решту отримуєш діленням.
  5. 5.Як швидко визначити знак синуса, косинуса і тангенса?+
    Відп.:Подивися, у якій чверті лежить кут. Синус додатний у I і II чвертях, косинус — у I і IV, тангенс — у I і III. Наприклад, кут 4π3\dfrac{4\pi}{3} лежить у III чверті, тому його синус і косинус від’ємні, а тангенс додатний.
  6. 6.Що таке формули зведення і чи треба їх учити всі?+
    Відп.:Формули зведення виражають функції кутів π2±α\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha, π±α\pi \pm \alpha, 2π−α2\pi - \alpha через функції кута α\alpha. Учити кожну окремо не потрібно: достатньо правила про знак за чвертю та про зміну назви біля π2\dfrac{\pi}{2} і 3π2\dfrac{3\pi}{2}. Шість формул із довідкових матеріалів — це перевірка цього правила.
  7. 7.Чи потрібен котангенс на НМТ?+
    Відп.:Означення котангенса числового аргументу програма відносить до профільного рівня, а НМТ — один тест для всіх. Тому краще знати ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} і tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1. У довідкових матеріалах котангенса немає.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.