Що таке похідна і який її геометричний зміст?

Похідна функції в точці показує, як швидко змінюється функція в цій точці. Геометрично вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка в точці з даною абсцисою, тобто тангенсу кута нахилу цієї дотичної до осі $x$. Якщо похідна додатна, дотична піднімається зліва направо, якщо від’ємна — опускається.

Як знайти похідну добутку і частки?

Для добутку: $(uv)' = u'v + uv'$, для частки: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Наприклад, $(x e^x)' = e^x + x e^x = e^x(1 + x)$. Обидві формули є в довідкових матеріалах, тож напам’ять їх вчити не обов’язково, але порядок доданків у чисельнику частки треба розуміти.

Як скласти рівняння дотичної до графіка?

Знайди $f(x_0)$ і $f'(x_0)$ та підстав у формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Наприклад, для $f(x) = x^2$ у точці $x_0 = 1$ маємо $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$, звідки $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$. Цієї формули в довідкових матеріалах немає.

Як знайти точки екстремуму функції?

Знайди похідну, розв’яжи рівняння $f'(x) = 0$ і познач корені на числовій осі. Визнач знак похідної в кожному з проміжків. Там, де знак змінюється з «плюса» на «мінус», точка максимуму, з «мінуса» на «плюс» — мінімуму. Критична точка без зміни знака екстремуму не дає.

Як знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку?

Знайди критичні точки, залиш ті, що належать відрізку, і обчисли значення функції в них та на кінцях відрізка. Найбільше з отриманих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку, найменше — найменшим. Знак похідної при цьому можна не досліджувати.

У яких завданнях НМТ потрібна похідна?

У 2023 і 2025 роках це завдання 12 (значення похідної, швидкість руху), у 2025 і 2026 роках — завдання 19 з короткою відповіддю (дотична, критичні точки, точка максимуму чи мінімуму), а в 2023 році ще й завдання 16 на відповідність, де серед властивостей є локальний максимум. У 2024 році окремого завдання на похідну не було.

Які похідні дають довідкові матеріали на НМТ?

На сторінці 23 є похідні сталої, $x$, $x^\alpha$, $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg} x$ і правила для суми, різниці, добутку, частки та сталого множника. Похідних складеної функції, $a^x$, $\log_a x$, $\operatorname{ctg} x$ там немає.

Що таке фізичний зміст похідної?

Якщо координата точки, що рухається прямолінійно, задана функцією часу $x(t)$, то швидкість у момент $t$ дорівнює похідній $x'(t)$. Наприклад, при $x(t) = 5t^2$ швидкість $v(t) = 10t$, а в момент $t = 2$ вона дорівнює $20$.

НМТ 2027 · математика

Похідна: таблиця похідних, правила, дотична й екстремуми

Похідна на НМТ потрібна у трьох ролях: знайти її значення в точці за таблицею та правилами, скласти рівняння дотичної або знайти її кутовий коефіцієнт і дослідити функцію — знайти критичні точки та екстремуми. У тестах 2023–2026 років такі завдання були три роки з чотирьох. Тут є таблиця похідних, правила, метод крок за кроком, чотири приклади, справжні завдання УЦОЯО з ключами та три завдання для самоперевірки.

На НМТ: у 3 з 4 років (2023, 2025 і 2026) — у завданнях 12 і 19, а в 2023 році ще й у завданні 16 на відповідність.

Програма ЗНО з математики

Функції · Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст. Таблиця похідних та правила диференціювання · с. 4
Функції · Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функцій · с. 5

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: у 3 з 4 років

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Похідна функції $f$ у точці $x_0$ — це число, до якого прямує відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Позначення: $f'(x_0)$ . Вона показує, як швидко змінюється функція в цій точці.
Геометричний зміст: $f'(x_0) = k$ — кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці з абсцисою $x_0$ , тобто $\operatorname{tg} \alpha$ , де $\alpha$ — кут нахилу дотичної до осі $x$ . Рівняння дотичної: $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ . Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти.
Фізичний зміст: якщо $x(t)$ — координата точки, що рухається прямолінійно, то її швидкість $v(t) = x'(t)$ .
Таблиця: $(C)' = 0$ , $(x^\alpha)' ={}$ $\alpha x^{\alpha - 1}$ , $(\sqrt{x})' ={}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' ={}$ $\dfrac{1}{x}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg} x)' ={}$ $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ .
Правила: $(u \pm v)' ={}$ $u' \pm v'$ , $(Cu)' = Cu'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ . Складена функція: $(f(g(x)))' ={}$ $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ; наприклад, $\left((kx + b)^n\right)' = nk(kx + b)^{n - 1}$ .
Якщо $f'(x) > 0$ на проміжку, функція на ньому зростає; якщо $f'(x) < 0$ , спадає. Критичні точки — внутрішні точки області визначення, де $f'(x) = 0$ або похідної немає. Якщо в критичній точці похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», це точка максимуму, з «мінуса» на «плюс» — точка мінімуму.
Найбільше й найменше значення на відрізку $[a; b]$ знаходять так: обчисли значення функції в критичних точках, що лежать усередині відрізка, і на його кінцях $a$ та $b$ , а тоді вибери найбільше й найменше з них.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.З’ясуй, що саме питають
Значення похідної в точці, кутовий коефіцієнт чи рівняння дотичної, швидкість, проміжки зростання, точка екстремуму чи найбільше значення на відрізку — для кожного питання шлях свій, але починається він з однієї похідної.
2.Знайди похідну
Розклади функцію на частини за знаками «плюс» і «мінус», а кожну частину диференціюй за таблицею та правилами. Якщо всередині функції стоїть вираз, а не просто $x$ (як у $\sin 3x$ чи $(2x - 1)^4$ ), помнож результат на похідну цього виразу.
3.Підстав значення, якщо воно задане
Для значення похідної в точці підстав $x_0$ у знайдену $f'(x)$ . Для дотичної знайди ще $f(x_0)$ і запиши $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ . Для швидкості підстав момент часу.
4.Для екстремумів розв’яжи $f'(x) = 0$
Знайди критичні точки, познач їх на числовій осі й визнач знак $f'(x)$ у кожному з проміжків, підставляючи по одному числу. Зміна знака з «плюса» на «мінус» — максимум, з «мінуса» на «плюс» — мінімум.
5.Для відрізка порівняй значення
Підстав у $f(x)$ критичні точки з відрізка та його кінці. Найбільше з отриманих чисел — найбільше значення функції, найменше — найменше. Критичну точку поза відрізком не розглядай.
6.Перевір відповідь
Прочитай питання ще раз: «точка максимуму» — це число $x$ , а «найбільше значення» — число $y$ . Перевір знак похідної в одній точці поряд із критичною.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Похідна за таблицею й правилами
Знайди похідні функцій: а) $y ={}$ $5x^4 - 3\sqrt{x} + 7$ ; б) $y = x^2 \ln x$ ; в) $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ ; г) $y = (3x - 1)^5$ .
2.Рівняння дотичної
Запиши рівняння дотичної до графіка функції $f(x) = x^2 - 6x + 5$ у точці з абсцисою $x_0 = 4$ .
3.Проміжки монотонності, екстремуми, найбільше значення
Для функції $f(x) ={}$ $x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ знайди точки екстремуму та їх значення, а також найбільше й найменше значення на відрізку $[0; 4]$ .
4.Швидкість руху
Точка рухається вздовж прямої за законом $x(t) ={}$ $2t^3 - 9t^2 + 12t$ , де $x$ — координата в метрах, $t$ — час у секундах. Знайди швидкість точки в момент $t = 3$ с і моменти, коли точка зупиняється.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 12

Завдання 12. (0–1)

Обчисліть значення похідної функції

f(x) = 6x - 2\cos x

у точці

x_0 = \dfrac{\pi}{2}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 12. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 1, завдання 19

Завдання 19. (0–2)

Дотична, проведена до графіка функції

y = f(x)

у точці з абсцисою

x_0 = 3

, паралельна прямій

y = 1{,}5x + 5

. Обчисліть значення похідної функції

g(x) ={}

\dfrac{18}{x} - f(x)

в точці

x_0 = 3

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 19. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–2)

Визначте критичні точки функції

f(x) ={}

4x^3 + 9x^2 - 30x + 1

. Яка із цих точок є точкою максимуму функції

f(x)

Завдання 19 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Обчисліть значення похідної функції

f(x) = 2x^3 - 3x

у точці

x_0 = 1

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–1)

Обчисліть значення похідної функції

f(x) = 2x^3 + 6x

у точці

x_0 = 2

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Знаходити похідну добутку як добуток похідних. Правильно: $(uv)' = u'v + uv'$ . Наприклад, $(x \sin x)' ={}$ $\sin x + x \cos x$ , а не $1 \cdot \cos x$ .
Забути множник від внутрішньої функції. Похідна $\sin 3x$ дорівнює $3\cos 3x$ , а не $\cos 3x$ ; похідна $(2x + 1)^4$ дорівнює $8(2x + 1)^3$ , а не $4(2x + 1)^3$ .
Підставити в рівняння дотичної лише похідну. У формулі $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ потрібні обидва числа: значення функції $f(x_0)$ і кутовий коефіцієнт $f'(x_0)$ .
Вважати кожну критичну точку екстремумом. Для $f(x) = x^3$ маємо $f'(0) = 0$ , але похідна не змінює знак, тож екстремуму в нулі немає.
Відповісти не на те запитання. Точка максимуму — це абсциса $x$ , найбільше значення функції — ордината $y$ . Прочитай, що саме питають, і запиши у відповідь потрібне число.

Запам’ятай

$(x^\alpha)' ={}$ $\alpha x^{\alpha - 1}$ , $(\sqrt{x})' ={}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' ={}$ $\dfrac{1}{x}$ .
$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\operatorname{tg} x)' ={}$ $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ .
$(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
$f'(x_0) ={}$ $k ={}$ $\operatorname{tg} \alpha$ ; дотична: $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ .
Знак похідної змінюється з «+» на «−» — максимум, з «−» на «+» — мінімум.
Швидкість $v(t) = x'(t)$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Похідна функціїс. 23

У довідкових матеріалах на сторінці 23, у блоці «Похідна функції», є таблиця: похідні сталої,

x

, степеня

x^\alpha

, кореня, показникової функції

e^x

\ln x

\sin x

\cos x

\operatorname{tg} x

, а ще правила для суми, різниці, добутку, частки та сталого множника. З цього блоку береш формули в завданнях на значення похідної.

Чого там немає: похідної складеної функції, похідних

a^x

\log_a x

та

\operatorname{ctg} x

, рівняння дотичної, а також ознак зростання й екстремуму. Їх треба вивчити напам’ять; корисно знати й

(a^x)' = a^x \ln a

(\log_a x)' ={}

\dfrac{1}{x \ln a}

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Що таке похідна і який її геометричний зміст?+
Відп.:Похідна функції в точці показує, як швидко змінюється функція в цій точці. Геометрично вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка в точці з даною абсцисою, тобто тангенсу кута нахилу цієї дотичної до осі $x$ . Якщо похідна додатна, дотична піднімається зліва направо, якщо від’ємна — опускається.
2.Як знайти похідну добутку і частки?+
Відп.:Для добутку: $(uv)' = u'v + uv'$ , для частки: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ . Наприклад, $(x e^x)' ={}$ $e^x + x e^x ={}$ $e^x(1 + x)$ . Обидві формули є в довідкових матеріалах, тож напам’ять їх вчити не обов’язково, але порядок доданків у чисельнику частки треба розуміти.
3.Як скласти рівняння дотичної до графіка?+
Відп.:Знайди $f(x_0)$ і $f'(x_0)$ та підстав у формулу $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ . Наприклад, для $f(x) = x^2$ у точці $x_0 = 1$ маємо $f(1) = 1$ , $f'(1) = 2$ , звідки $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$ . Цієї формули в довідкових матеріалах немає.
4.Як знайти точки екстремуму функції?+
Відп.:Знайди похідну, розв’яжи рівняння $f'(x) = 0$ і познач корені на числовій осі. Визнач знак похідної в кожному з проміжків. Там, де знак змінюється з «плюса» на «мінус», точка максимуму, з «мінуса» на «плюс» — мінімуму. Критична точка без зміни знака екстремуму не дає.
5.Як знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку?+
Відп.:Знайди критичні точки, залиш ті, що належать відрізку, і обчисли значення функції в них та на кінцях відрізка. Найбільше з отриманих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку, найменше — найменшим. Знак похідної при цьому можна не досліджувати.
6.У яких завданнях НМТ потрібна похідна?+
Відп.:У 2023 і 2025 роках це завдання 12 (значення похідної, швидкість руху), у 2025 і 2026 роках — завдання 19 з короткою відповіддю (дотична, критичні точки, точка максимуму чи мінімуму), а в 2023 році ще й завдання 16 на відповідність, де серед властивостей є локальний максимум. У 2024 році окремого завдання на похідну не було.
7.Які похідні дають довідкові матеріали на НМТ?+
Відп.:На сторінці 23 є похідні сталої, $x$ , $x^\alpha$ , $\sqrt{x}$ , $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\operatorname{tg} x$ і правила для суми, різниці, добутку, частки та сталого множника. Похідних складеної функції, $a^x$ , $\log_a x$ , $\operatorname{ctg} x$ там немає.
8.Що таке фізичний зміст похідної?+
Відп.:Якщо координата точки, що рухається прямолінійно, задана функцією часу $x(t)$ , то швидкість у момент $t$ дорівнює похідній $x'(t)$ . Наприклад, при $x(t) = 5t^2$ швидкість $v(t) = 10t$ , а в момент $t = 2$ вона дорівнює $20$ .

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Похідна: таблиця похідних, правила, дотична й екстремуми

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.З’ясуй, що саме питають

2.Знайди похідну

3.Підстав значення, якщо воно задане

4.Для екстремумів розв’яжи f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0

5.Для відрізка порівняй значення

6.Перевір відповідь

Приклади

1.Похідна за таблицею й правилами

2.Рівняння дотичної

3.Проміжки монотонності, екстремуми, найбільше значення

4.Швидкість руху

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела

4.Для екстремумів розв’яжи $f'(x) = 0$