Що таке логарифм простими словами?

Це показник степеня. Запис $\log_2 8 = 3$ читається так: «до якого степеня треба піднести $2$, щоб дістати $8$?» — до третього. Звідси й весь механізм: щоб обчислити логарифм, запиши число під ним як степінь основи й прочитай показник.

Чому $\log_a 1 = 0$ і $\log_a a = 1$?

За означенням. Будь-яке додатне число в нульовому степені дорівнює одиниці, тому $a^0 = 1$ і $\log_a 1 = 0$. А $a^1 = a$ означає, що $\log_a a = 1$. Ці дві рівності та основна логарифмічна тотожність $a^{\log_a b} = b$ записані в довідкових матеріалах.

Чи можна взяти логарифм від’ємного числа?

Ні. Степінь додатної основи завжди додатний, тому рівняння $a^x = b$ при $b \leqslant 0$ не має розв’язків. Тому під знаком логарифма має стояти додатне число, а в основі — додатне, але не одиниця. Це перше, що слід перевіряти в завданні зі змінною.

Як оцінити значення логарифма, коли точного немає?

Затисни число між двома степенями основи. Для $\log_2 100$ порівняй $2^6 = 64$ і $2^7 = 128$: оскільки $64 < 100 < 128$, то $6 < \log_2 100 < 7$. Так працює завдання на вибір проміжку, у якому лежить значення виразу.

Чи є формули логарифмів у довідкових матеріалах НМТ?

Так, на сторінці 2 у блоці «Логарифми»: основна логарифмічна тотожність, $\log_a a$, $\log_a 1$, логарифм добутку, частки, степеня та $\log_{a^k} b$. Формули переходу до нової основи там немає. Десятковий логарифм $\lg x = \log_{10} x$ у восьми розібраних тестах 2023–2026 років трапився один раз, у завданні 22 НМТ 2024 року (варіант 2); позначення $\lg$ на сторінці «Логарифми» не пояснено, тож його треба знати.

Що змінюється, коли основа менша за $1$?

Тоді логарифм не зростає, а спадає. Для основи $\dfrac{1}{2}$ маємо $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$, а $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{8} = 3$. Правила суми, різниці й степеня лишаються тими самими, змінюється тільки порівняння та знак значення.

У яких завданнях НМТ були логарифми?

У тестах 2023–2026 років логарифми стоять щороку: у завданнях з вибором відповіді (9 і 13) — значення виразу чи проміжок для нього, і в завданні 17 на відповідність — окремим рядком. Логарифмічні рівняння й нерівності — окрема тема з власною сторінкою.

НМТ 2027 · математика

Логарифми: означення, властивості й приклади для НМТ

Q: Чи є формули логарифмів у довідкових матеріалах НМТ?

Так, на сторінці 2 у блоці «Логарифми»: основна логарифмічна тотожність, $\log_a a$, $\log_a 1$, логарифм добутку, частки, степеня та $\log_{a^k} b$. Формули переходу до нової основи там немає. Десятковий логарифм $\lg x = \log_{10} x$ у восьми розібраних тестах 2023–2026 років трапився один раз, у завданні 22 НМТ 2024 року (варіант 2); позначення $\lg$ на сторінці «Логарифми» не пояснено, тож його треба знати.

Q: Що змінюється, коли основа менша за $1$?

Тоді логарифм не зростає, а спадає. Для основи $\dfrac{1}{2}$ маємо $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$, а $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{8} = 3$. Правила суми, різниці й степеня лишаються тими самими, змінюється тільки порівняння та знак значення.

Q: У яких завданнях НМТ були логарифми?

У тестах 2023–2026 років логарифми стоять щороку: у завданнях з вибором відповіді (9 і 13) — значення виразу чи проміжок для нього, і в завданні 17 на відповідність — окремим рядком. Логарифмічні рівняння й нерівності — окрема тема з власною сторінкою.

Логарифм числа $b$ за основою $a$ — це показник степеня, до якого треба піднести $a$ , щоб дістати $b$ : $\log_a b = x$ означає $a^x = b$ . Для НМТ потрібні означення, основна логарифмічна тотожність і кілька властивостей; тотожність і властивості записані в довідкових матеріалах. На НМТ логарифми стоять щороку: як значення виразу, як проміжок для його значення і як рядок у завданні на відповідність. Нижче — правила, метод, приклади і справжні завдання з тестів.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 9, 13 і 17: значення виразу, проміжок для нього і відповідність.

Головне

це треба вміти

Означення. $\log_a b = x$ тоді й лише тоді, коли $a^x = b$ , де $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ . Наприклад, $\log_2 8 = 3$ , бо $2^3 = 8$ . Основа й підлогарифмічне число завжди додатні.
Три значення, які варто пам’ятати: $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ і основна логарифмічна тотожність $a^{\log_a b} = b$ . Наприклад, $5^{\log_5 7} = 7$ .
Сума й різниця. $\log_a(bc) ={}$ $\log_a b + \log_a c$ і $\log_a \dfrac{b}{c} ={}$ $\log_a b - \log_a c$ при $b > 0$ , $c > 0$ . Логарифм добутку — сума логарифмів, частки — різниця.
Степінь. $\log_a b^n ={}$ $n \cdot \log_a b$ і $\log_{a^k} b ={}$ $\dfrac{1}{k} \cdot \log_a b$ . Показник степеня числа під логарифмом виходить множником, а показник степеня основи — дробом $\dfrac{1}{k}$ .
Зростання й спадання. Якщо $a > 1$ , логарифм зростає: чим більше число, тим більший логарифм. Якщо $0 < a < 1$ , він спадає: $\log_{0{,}5} 4 = -2$ , а $\log_{0{,}5} \dfrac{1}{4} ={}$ $2$ .
Оцінка між цілими. Щоб знайти проміжок, у якому лежить логарифм, затисни число між двома степенями основи: якщо $2^6 < 100 < 2^7$ , то $6 < \log_2 100 < 7$ .
Логарифм від’ємного числа й нуля не визначений. Перш ніж застосовувати властивості, переконайся, що всі числа під логарифмами додатні.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Перевір, чи вираз має сенс
Основа додатна й не дорівнює $1$ , число під знаком логарифма додатне. Якщо в умові логарифми зі змінними, спершу запиши ці обмеження, інакше можна дістати зайвий розв’язок.
2.Зведи до однієї основи
Спробуй записати числа як степені однієї основи: $81 = 3^4$ , $0{,}2 = 5^{-1}$ , $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ . Тоді $\log_a a^k = k$ — це означення логарифма в дії.
3.Застосуй властивості
Суму логарифмів з однаковою основою заміни логарифмом добутку, різницю — логарифмом частки. Множник перед логарифмом внеси як показник степеня під логарифм. Показник степеня основи винеси як дріб $\dfrac{1}{k}$ .
4.Обчисли значення
Тепер вираз має вигляд $\log_a a^k$ або $a^{\log_a b}$ , і значення дорівнює $k$ або $b$ . Якщо точного значення немає, оціни логарифм між двома цілими числами.
5.Перевір відповідь
Підстав знайдене значення в означення: якщо $\log_a b = x$ , то $a^x$ має дати $b$ . Для основи між $0$ і $1$ перевір знак результату: більше число під логарифмом дає менший логарифм.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Логарифм за означенням
Обчисли: а) $\log_3 81$ ; б) $\log_{0{,}5} 16$ ; в) $\log_9 3$ .
2.Різниця логарифмів
Обчисли значення виразу $\log_3 108 - \log_3 4$ .
3.Степінь в основі логарифма
Обчисли значення виразу $\log_{25} 125$ .
4.Між якими цілими числами лежить логарифм
Укажи цілі числа, між якими міститься значення виразу $\log_3 50$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 13

Завдання 13. (0–1)

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу

\log_{0{,}2} 125

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 13. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 2, завдання 13

Завдання 13. (0–1)

2\log_6 3 + \log_6 4 =

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 13. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

завдання Kleksa

Завдання 1. (0–2)

Обчисліть значення виразу

\log_5 \sqrt{5} +{}

\log_5 25

. Відповідь запишіть десятковим дробом.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–1)

Обчисліть значення виразу

9^{\log_3 5}

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–3)

Увідповідніть логарифмічний вираз (1–3) із його значенням (А–Д).

Вираз

Значення

\log_2 32

\log_{\frac{1}{3}} 9

\log_5 1 + \log_7 7

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Вважати, що $\log_a(b + c) ={}$ $\log_a b + \log_a c$ . Сума логарифмів дорівнює логарифму добутку, а для логарифма суми немає спрощення. Те саме з різницею: $\log_a b - \log_a c ={}$ $\log_a \dfrac{b}{c}$ , а не $\log_a(b - c)$ .
Плутати частку логарифмів і логарифм частки: $\dfrac{\log_a b}{\log_a c} \neq \log_a \dfrac{b}{c}$ . Ліва частина — просто частка двох чисел, і властивості для неї немає.
Записати $\log_a b^n = \left(\log_a b\right)^n$ . Показник степеня числа під логарифмом виходить множником: $\log_2 8^2 ={}$ $2 \cdot 3 ={}$ $6$ , а не $3^2 = 9$ .
Забути, що для основи між $0$ і $1$ логарифм більшого числа менший. Тому $\log_{0{,}5} 4 = -2$ від’ємний, хоча $4 > 1$ .
Застосовувати властивості до від’ємних чисел: $\log_2((-2)(-8)) ={}$ $\log_2 16 ={}$ $4$ , але $\log_2(-2)$ і $\log_2(-8)$ не існують, тож розкладати добуток на суму не можна.

Запам’ятай

$\log_a b ={}$ $x \iff a^x ={}$ $b$ ; $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ .
$\log_a a = 1$ ; $\log_a 1 = 0$ ; $a^{\log_a b} = b$ .
$\log_a(bc) ={}$ $\log_a b + \log_a c$ ; $\log_a \dfrac{b}{c} ={}$ $\log_a b - \log_a c$ .
$\log_a b^n ={}$ $n \log_a b$ ; $\log_{a^k} b ={}$ $\dfrac{1}{k} \log_a b$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Логарифмис. 2

На сторінці 2 довідкових матеріалів є блок «Логарифми»: умови

a > 0

a \neq 1

b > 0

c > 0

k \neq 0

, формули

a^{\log_a b} = b

\log_a a = 1

\log_a 1 = 0

, логарифм добутку, частки й степеня та

\log_{a^k} b ={}

\dfrac{1}{k}\log_a b

. Тобто все, що потрібно для перетворень у цій темі, лежить перед очима.

Чого немає: формули переходу до нової основи (

\log_a b ={}

\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

), правила порівняння логарифмів (зростає чи спадає залежно від основи), послідовності кроків розв’язування. Формулу переходу легко вивести зі степеня логарифма, а порівняння доведеться пам’ятати.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Що таке логарифм простими словами?+
Відп.:Це показник степеня. Запис $\log_2 8 = 3$ читається так: «до якого степеня треба піднести $2$ , щоб дістати $8$ ?» — до третього. Звідси й весь механізм: щоб обчислити логарифм, запиши число під ним як степінь основи й прочитай показник.
2.Чому $\log_a 1 = 0$ і $\log_a a = 1$ ?+
Відп.:За означенням. Будь-яке додатне число в нульовому степені дорівнює одиниці, тому $a^0 = 1$ і $\log_a 1 = 0$ . А $a^1 = a$ означає, що $\log_a a = 1$ . Ці дві рівності та основна логарифмічна тотожність $a^{\log_a b} = b$ записані в довідкових матеріалах.
3.Чи можна взяти логарифм від’ємного числа?+
Відп.:Ні. Степінь додатної основи завжди додатний, тому рівняння $a^x = b$ при $b \leqslant 0$ не має розв’язків. Тому під знаком логарифма має стояти додатне число, а в основі — додатне, але не одиниця. Це перше, що слід перевіряти в завданні зі змінною.
4.Як оцінити значення логарифма, коли точного немає?+
Відп.:Затисни число між двома степенями основи. Для $\log_2 100$ порівняй $2^6 = 64$ і $2^7 = 128$ : оскільки $64 < 100 < 128$ , то $6 < \log_2 100 < 7$ . Так працює завдання на вибір проміжку, у якому лежить значення виразу.
5.Чи є формули логарифмів у довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Так, на сторінці 2 у блоці «Логарифми»: основна логарифмічна тотожність, $\log_a a$ , $\log_a 1$ , логарифм добутку, частки, степеня та $\log_{a^k} b$ . Формули переходу до нової основи там немає. Десятковий логарифм $\lg x = \log_{10} x$ у восьми розібраних тестах 2023–2026 років трапився один раз, у завданні 22 НМТ 2024 року (варіант 2); позначення $\lg$ на сторінці «Логарифми» не пояснено, тож його треба знати.
6.Що змінюється, коли основа менша за $1$ ?+
Відп.:Тоді логарифм не зростає, а спадає. Для основи $\dfrac{1}{2}$ маємо $\log_{\frac{1}{2}} 8 ={}$ $-3$ , а $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{8} ={}$ $3$ . Правила суми, різниці й степеня лишаються тими самими, змінюється тільки порівняння та знак значення.
7.У яких завданнях НМТ були логарифми?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років логарифми стоять щороку: у завданнях з вибором відповіді (9 і 13) — значення виразу чи проміжок для нього, і в завданні 17 на відповідність — окремим рядком. Логарифмічні рівняння й нерівності — окрема тема з власною сторінкою.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Логарифми: означення, властивості й приклади для НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Перевір, чи вираз має сенс

2.Зведи до однієї основи

3.Застосуй властивості

4.Обчисли значення

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Логарифм за означенням

2.Різниця логарифмів

3.Степінь в основі логарифма

4.Між якими цілими числами лежить логарифм

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела