Як розв’язати квадратне рівняння через дискримінант?

Запиши рівняння у вигляді $ax^2 + bx + c = 0$, обчисли $D = b^2 - 4ac$. Якщо $D > 0$, підстав у $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ і отримай два корені; якщо $D = 0$, корінь один, $x = -\dfrac{b}{2a}$; якщо $D < 0$, коренів немає.

Чи є формула коренів квадратного рівняння в довідкових матеріалах НМТ?

Так. На сторінці 2 довідкових матеріалів є $D = b^2 - 4ac$, обидва корені, випадок $D = 0$ і розклад на множники. Теореми Вієта там немає, тому її треба знати напам’ять.

Що таке теорема Вієта і коли її застосовувати?

Вона зв’язує корені рівняння з його коефіцієнтами: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ і $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Застосовуй, щоб знайти суму, добуток чи вираз із коренів без їх обчислення, щоб підібрати цілі корені зведеного рівняння та перевірити розв’язок. Умова — $D \ge 0$.

Скільки коренів має рівняння, якщо дискримінант дорівнює нулю?

Один, подвійний: $x = -\dfrac{b}{2a}$. Іноді кажуть «два однакові корені». У задачі «скільки коренів має рівняння» відповідь буде $1$. Обережно з теоремою Вієта: формула $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ рахує подвійний корінь двічі, а якщо питають про суму різних коренів, відповідь — сам корінь.

Як розв’язати неповне квадратне рівняння?

Якщо $c = 0$, винеси $x$ за дужки: $x(ax + b) = 0$, звідки $x = 0$ або $x = -\dfrac{b}{a}$. Якщо $b = 0$, перенеси вільний член праворуч, поділи на $a$ і добудь корінь із невід’ємного числа. Дискримінант тут не потрібен, хоча й дасть той самий результат.

Як розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних?

Введи нову змінну: $t = x^2$ для $x^4 + px^2 + q = 0$ або $t = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ для дробових виразів, розв’яжи квадратне рівняння відносно $t$ і поверни $x$. Перевір область допустимих значень і відкинь корені, за яких знаменник перетворюється на нуль.

Чи бувають на НМТ квадратні рівняння окремим завданням?

У розібраних нами тестах 2023–2026 років — ні. Квадратне рівняння в них входить у завдання 22 з параметром (там дискримінант і корені визначають розв’язок) та в системи рівнянь. Тому окрему увагу варто приділити не лише формулі коренів, а й умовам на корені.

НМТ 2027 · математика

Квадратні рівняння: дискримінант і теорема Вієта

Q: Чи є формула коренів квадратного рівняння в довідкових матеріалах НМТ?

Так. На сторінці 2 довідкових матеріалів є $D = b^2 - 4ac$, обидва корені, випадок $D = 0$ і розклад на множники. Теореми Вієта там немає, тому її треба знати напам’ять.

Q: Що таке теорема Вієта і коли її застосовувати?

Вона зв’язує корені рівняння з його коефіцієнтами: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ і $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Застосовуй, щоб знайти суму, добуток чи вираз із коренів без їх обчислення, щоб підібрати цілі корені зведеного рівняння та перевірити розв’язок. Умова — $D \ge 0$.

Q: Скільки коренів має рівняння, якщо дискримінант дорівнює нулю?

Один, подвійний: $x = -\dfrac{b}{2a}$. Іноді кажуть «два однакові корені». У задачі «скільки коренів має рівняння» відповідь буде $1$. Обережно з теоремою Вієта: формула $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ рахує подвійний корінь двічі, а якщо питають про суму різних коренів, відповідь — сам корінь.

Q: Як розв’язати неповне квадратне рівняння?

Якщо $c = 0$, винеси $x$ за дужки: $x(ax + b) = 0$, звідки $x = 0$ або $x = -\dfrac{b}{a}$. Якщо $b = 0$, перенеси вільний член праворуч, поділи на $a$ і добудь корінь із невід’ємного числа. Дискримінант тут не потрібен, хоча й дасть той самий результат.

Q: Як розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних?

Введи нову змінну: $t = x^2$ для $x^4 + px^2 + q = 0$ або $t = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ для дробових виразів, розв’яжи квадратне рівняння відносно $t$ і поверни $x$. Перевір область допустимих значень і відкинь корені, за яких знаменник перетворюється на нуль.

Q: Чи бувають на НМТ квадратні рівняння окремим завданням?

У розібраних нами тестах 2023–2026 років — ні. Квадратне рівняння в них входить у завдання 22 з параметром (там дискримінант і корені визначають розв’язок) та в системи рівнянь. Тому окрему увагу варто приділити не лише формулі коренів, а й умовам на корені.

Квадратне рівняння на НМТ рідко стоїть саме. Його ховають у задачу з параметром, у систему, у рівняння з дробами чи степенями — і кожного разу треба швидко й без помилки знайти дискримінант, корені, їхню суму та добуток. На цій сторінці зібрано формули (які є в довідкових матеріалах, а яких там немає), метод крок за кроком, приклади й два справжні завдання УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: у 3 з 4 років — найчастіше в завданні 22 з параметром, де працюють з дискримінантом і коренями, а також усередині систем рівнянь.

Програма ЗНО з математики

Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: у 3 з 4 років

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Квадратне рівняння має вигляд $ax^2 + bx + c = 0$ , де $a \ne 0$ . Дискримінант: $D = b^2 - 4ac$ . Він показує, скільки коренів є в рівняння.
Якщо $D > 0$ , коренів два: $x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Якщо $D = 0$ , корінь один (його ще називають подвійним): $x = -\dfrac{b}{2a}$ . Якщо $D < 0$ , дійсних коренів немає.
Теорема Вієта (її немає в довідкових матеріалах): якщо $x_1$ , $x_2$ — корені, то $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ і $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ . Для зведеного рівняння $x^2 + px + q = 0$ сума коренів — це $-p$ , а добуток — $q$ . Користуйся нею лише коли $D \ge 0$ , тобто корені існують.
Розклад на множники (він є в довідкових матеріалах): $ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Якщо корінь один, $ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)^2$ .
Неповні рівняння розв’язуй без дискримінанта. Якщо $c = 0$ , виноси $x$ за дужки: $x(ax + b) = 0$ , тож $x = 0$ або $x = -\dfrac{b}{a}$ . Якщо $b = 0$ , то $x^2 = -\dfrac{c}{a}$ : два корені $\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ , коли права частина додатна, і жодного, коли від’ємна (якщо ж $b = c = 0$ , корінь один: $x = 0$ ).
Багато рівнянь зводяться до квадратних заміною змінної: у $x^4 + px^2 + q = 0$ покладаємо $t = x^2$ , причому $t \ge 0$ . У дробових рівняннях спершу знаходять область допустимих значень і після розв’язання відкидають сторонні корені.
У задачах з параметром $D$ керує кількістю коренів, а формули кореня й теорема Вієта дають умови на їхнє розташування, наприклад «один корінь менший за 1, інший більший».

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Зведи рівняння до стандартного вигляду
Перенеси все в ліву частину, розкрий дужки, зведи подібні доданки й запиши $ax^2 + bx + c = 0$ . Визнач $a$ , $b$ , $c$ разом зі знаками: якщо в рівнянні $-6x$ , то $b = -6$ .
2.Перевір, чи рівняння не є неповним
Коли $b = 0$ або $c = 0$ , дискримінант не потрібен. Також подивись, чи не вдасться розкласти ліву частину за формулою різниці квадратів або винести спільний множник.
3.Знайди дискримінант
Обчисли $D = b^2 - 4ac$ і прикинь знак. Якщо $D < 0$ , дійсних коренів немає. Якщо $D$ — точний квадрат, корені раціональні; щоб добути $\sqrt{D}$ , скористайся таблицею квадратів на сторінці 2 довідкових матеріалів.
4.Знайди корені й перевір теоремою Вієта
Підстав у формулу $x ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Для перевірки додай знайдені корені: має вийти $-\dfrac{b}{a}$ , а їхній добуток має дорівнювати $\dfrac{c}{a}$ .
5.Повернись до умови
Якщо рівняння було з дробами, перевір область допустимих значень. Якщо була заміна $t = x^2$ , знайди $x$ із кожного невід’ємного $t$ . Запиши саме те, що питають: корені, їх суму, добуток чи найбільший корінь.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Два корені через дискримінант
Розв’яжи рівняння $2x^2 - 7x + 3 = 0$ і знайди суму його коренів.
2.Вирази з коренів без розв’язування
Не розв’язуючи рівняння $3x^2 - 12x + 5 = 0$ , знайди $x_1^2 + x_2^2$ , де $x_1$ і $x_2$ — його корені.
3.Рівняння, яке зводиться до квадратного
Розв’яжи рівняння $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 1, завдання 22

Завдання 22. (0–2)

Визначте кількість цілих значень

a

, за яких корені

x_1

та

x_2

квадратного рівняння

x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 ={}

0

задовольняють умову

x_1 < 1 < x_2

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 22. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 22

Завдання 22. (0–2)

Знайдіть усі значення

a

, за яких рівняння

\dfrac{x^2 - ax + 4}{x - 5} ={}

0

має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 22. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Визначте суму коренів рівняння

x^2 - 9x + 14 = 0

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Визначте суму коренів рівняння

x^2 + x - 30 = 0

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–3)

Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його коренем (А–Д).

5x + 9 = -21

\sqrt{x} = 4

2^x = 8

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Загубити знак при $b$ . У рівнянні $x^2 - 6x + 8 = 0$ коефіцієнт $b = -6$ , тому в формулі $-b = 6$ , а не $-6$ . Розписуй $a$ , $b$ , $c$ окремо перед підстановкою.
Поділити на $2a$ лише корінь з дискримінанта, а не весь чисельник. У формулі $x ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ дробова риска стосується обох доданків.
Переплутати знак у теоремі Вієта. Сума коренів дорівнює $-\dfrac{b}{a}$ (з мінусом), а добуток — $\dfrac{c}{a}$ . Для $2x^2 - 5x + 1 = 0$ сума коренів — $\dfrac{5}{2}$ , а добуток — $\dfrac{1}{2}$ .
Користуватись теоремою Вієта, коли коренів немає. Для $x^2 + x + 5 = 0$ формули дали б суму $-1$ і добуток $5$ , але $D = 1 - 20 < 0$ , тож дійсних коренів не існує.
Скоротити на $x$ у рівнянні $x(ax + b) = 0$ і втратити корінь $x = 0$ . Краще винести за дужки й прирівняти до нуля кожен множник.

Запам’ятай

$D = b^2 - 4ac$ ; $D > 0$ — два корені, $D = 0$ — один, $D < 0$ — жодного.
$x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ ; при $D = 0$ маємо $x = -\dfrac{b}{2a}$ .
Вієта: $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ (лише коли $D \ge 0$ ).
$ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
У рівнянні після заміни $t = x^2$ потрібні лише невід’ємні $t$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Квадратне рівнянняс. 2
Таблиця квадратів від 10 до 49с. 2

На сторінці 2 довідкових матеріалів є блок «Квадратне рівняння»: вигляд

ax^2 + bx + c = 0

з умовою

a \ne 0

, дискримінант

D = b^2 - 4ac

, обидва корені для

D > 0

, подвійний корінь

x_1 ={}

x_2 ={}

\dfrac{-b}{2a}

для

D = 0

і розклад

ax^2 + bx + c ={}

a(x - x_1)(x - x_2)

. Там само є таблиця квадратів чисел від

10

до

49

, зручна для добування

\sqrt{D}

Чого немає: теореми Вієта (сума й добуток коренів), скороченого дискримінанта для парного

b

, формул неповних рівнянь і властивостей параболи. Теорему Вієта потрібно знати напам’ять, але її легко відновити: додай і перемнож два корені з формули.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як розв’язати квадратне рівняння через дискримінант?+
Відп.:Запиши рівняння у вигляді $ax^2 + bx + c = 0$ , обчисли $D = b^2 - 4ac$ . Якщо $D > 0$ , підстав у $x ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ і отримай два корені; якщо $D = 0$ , корінь один, $x = -\dfrac{b}{2a}$ ; якщо $D < 0$ , коренів немає.
2.Чи є формула коренів квадратного рівняння в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Так. На сторінці 2 довідкових матеріалів є $D = b^2 - 4ac$ , обидва корені, випадок $D = 0$ і розклад на множники. Теореми Вієта там немає, тому її треба знати напам’ять.
3.Що таке теорема Вієта і коли її застосовувати?+
Відп.:Вона зв’язує корені рівняння з його коефіцієнтами: $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ і $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ . Застосовуй, щоб знайти суму, добуток чи вираз із коренів без їх обчислення, щоб підібрати цілі корені зведеного рівняння та перевірити розв’язок. Умова — $D \ge 0$ .
4.Скільки коренів має рівняння, якщо дискримінант дорівнює нулю?+
Відп.:Один, подвійний: $x = -\dfrac{b}{2a}$ . Іноді кажуть «два однакові корені». У задачі «скільки коренів має рівняння» відповідь буде $1$ . Обережно з теоремою Вієта: формула $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ рахує подвійний корінь двічі, а якщо питають про суму різних коренів, відповідь — сам корінь.
5.Як розв’язати неповне квадратне рівняння?+
Відп.:Якщо $c = 0$ , винеси $x$ за дужки: $x(ax + b) = 0$ , звідки $x = 0$ або $x = -\dfrac{b}{a}$ . Якщо $b = 0$ , перенеси вільний член праворуч, поділи на $a$ і добудь корінь із невід’ємного числа. Дискримінант тут не потрібен, хоча й дасть той самий результат.
6.Як розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних?+
Відп.:Введи нову змінну: $t = x^2$ для $x^4 + px^2 + q = 0$ або $t = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ для дробових виразів, розв’яжи квадратне рівняння відносно $t$ і поверни $x$ . Перевір область допустимих значень і відкинь корені, за яких знаменник перетворюється на нуль.
7.Чи бувають на НМТ квадратні рівняння окремим завданням?+
Відп.:У розібраних нами тестах 2023–2026 років — ні. Квадратне рівняння в них входить у завдання 22 з параметром (там дискримінант і корені визначають розв’язок) та в системи рівнянь. Тому окрему увагу варто приділити не лише формулі коренів, а й умовам на корені.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Квадратні рівняння: дискримінант і теорема Вієта

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Зведи рівняння до стандартного вигляду

2.Перевір, чи рівняння не є неповним

3.Знайди дискримінант

4.Знайди корені й перевір теоремою Вієта

5.Повернись до умови

Приклади

1.Два корені через дискримінант

2.Вирази з коренів без розв’язування

3.Рівняння, яке зводиться до квадратного

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела