Як розв’язати лінійну нерівність?

Перенеси доданки з $x$ в одну частину, числа — в іншу й поділи на коефіцієнт при $x$. Якщо коефіцієнт від’ємний, змінюй знак нерівності на протилежний. Відповідь запиши проміжком: наприклад, $x > 4$ — це $(4; +\infty)$.

Коли треба змінювати знак нерівності?

Лише коли множиш або ділиш обидві частини на від’ємне число. Додавання, віднімання, множення й ділення на додатне число знак не змінюють. Знак змінюється й тоді, коли від двох додатних чисел переходять до обернених: $2 \dfrac{1}{5}$.

Як розв’язати квадратну нерівність?

Знайди корені відповідного квадратного рівняння, познач їх на прямій і з’ясуй, куди дивляться гілки параболи. Для $a > 0$ нерівність «більше нуля» виконується поза коренями, «менше нуля» — між ними. Якщо коренів немає, вираз має один знак на всій прямій.

Що таке метод інтервалів?

Це спосіб розв’язання нерівностей виду «добуток чи дріб більший або менший за нуль». Нулі чисельника й знаменника ділять числову пряму на проміжки, у кожному з яких вираз має сталий знак. Знаки чергуються при переході через простий нуль, тому досить визначити знак в одному проміжку.

Як розв’язати систему нерівностей?

Розв’яжи кожну нерівність окремо, зобрази розв’язки на спільній прямій і знайди спільну частину. Наприклад, $x > -3$ і $x \leqslant 7$ дають $(-3; 7]$. Якщо проміжки не перетинаються, у системи розв’язків немає.

Які дужки ставити у відповіді?

Для строгої нерівності ($ $) — круглі, для нестрогої ($\leqslant$, $\geqslant$) — квадратні, а біля $-\infty$ і $+\infty$ — завжди круглі. Нулі знаменника у відповідь ніколи не входять, тож біля них дужка кругла навіть у нестрогій нерівності.

Як розв’язувати показникові нерівності?

Запиши обидві частини як степені з однаковою основою й порівняй показники. Якщо основа більша за $1$, знак нерівності для показників той самий, а якщо від $0$ до $1$ — протилежний. Наприклад, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x 3$.

НМТ 2027 · математика

Нерівності та їх системи: лінійні, квадратні, метод інтервалів

Нерівності на НМТ — це завдання, де легко втратити бал через одну дужку чи один знак. Лінійні й системи нерівностей стоять серед перших завдань тесту, а показникова нерівність із системою може ховатися в завданні 11. Тут зібрано правила для лінійних, квадратних і дробових нерівностей, метод інтервалів, запис відповіді проміжками, приклади й два справжні завдання з тестів УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — найчастіше в завданнях 3 і 4 (лінійна нерівність, система, нерівність з модулем), 2024 року — і в завданні 11; логарифмічні — у 14 і 15.

Програма ЗНО з математики

Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: щороку 2023–2026

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

З нерівністю можна робити те саме, що й з рівнянням: додавати або віднімати від обох частин одне число. Множити й ділити можна на додатне число — знак лишається; на від’ємне — знак нерівності змінюється на протилежний: з $-2x > 6$ маємо $x < -3$ .
Відповідь записують проміжком: круглі дужки для строгих нерівностей ( $<$ , $>$ ) і завжди біля $\pm\infty$ , квадратні — для нестрогих ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ). Наприклад, $x \geqslant \dfrac{1}{2}$ — це $\left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$ , а $x < 3$ — це $(-\infty; 3)$ .
Система нерівностей вимагає, щоб виконувалися всі нерівності водночас. Розв’яжи кожну окремо, зобрази розв’язки на числовій прямій і візьми їхній перетин, тобто спільну частину. Якщо спільної частини немає, система розв’язків не має.
Квадратна нерівність $ax^2 + bx + c > 0$ (або $< 0$ ): знайди корені $x_1 < x_2$ квадратного рівняння. Якщо $a > 0$ , парабола має гілки вгору: значення додатні поза коренями, від’ємні між ними. Якщо $D < 0$ , а $a > 0$ , вираз додатний при всіх $x$ .
Метод інтервалів розв’язує дробово-раціональні нерівності. Перенеси все вліво, щоб праворуч був нуль, і розклади чисельник та знаменник на множники. Познач на прямій нулі чисельника й знаменника, а потім визнач знаки в кожному проміжку: вони чергуються, коли проходиш через простий нуль.
Нулі знаменника завжди порожні (їх виколюють), навіть у нестрогій нерівності: ділити на нуль не можна. Нулі чисельника зафарбовані для $\leqslant$ і $\geqslant$ та порожні для $<$ і $>$ .
Показникову нерівність $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ зводять до $f(x) > g(x)$ , якщо $a > 1$ , а якщо $0 < a < 1$ , знак нерівності змінюють на протилежний. Тому першим кроком запиши обидві частини з однаковою основою: $25 = 5^2$ , $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Зведи нерівність до зручного вигляду
Розкрий дужки, зведи подібні доданки. Для квадратної й дробової нерівності перенеси все вліво, щоб праворуч був нуль. Не множ обидві частини на вираз із $x$ , поки не знаєш його знака: перенось і розкладай.
2.Знайди особливі точки
Це розв’язки відповідного рівняння (нулі чисельника) і значення, за яких знаменник дорівнює нулю. Для квадратної нерівності — корені квадратного рівняння; їх допоможуть знайти дискримінант і таблиця квадратів із довідкових матеріалів.
3.Познач точки на числовій прямій
Нестрога нерівність (нулі чисельника) — зафарбована точка, строга — порожня. Нулі знаменника завжди порожні. Точки ділять пряму на проміжки.
4.Визнач знаки
Якщо кожен множник записано як $(x - a)$ , а коефіцієнт перед добутком додатний, у крайньому правому проміжку стоїть «+». Далі знак змінюється при переході через кожну точку, де множник має непарний степінь. Якщо сумніваєшся, підстав у проміжок пробне число.
5.Запиши відповідь
Вибери проміжки з потрібним знаком і запиши їх з правильними дужками. Для системи візьми перетин проміжків. Якщо питають про ціле, найменше чи найбільше число, вибери його з отриманого проміжку або з варіантів у задачі.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Квадратна нерівність
Розв’яжи нерівність $x^2 - 3x - 10 < 0$ .
2.Метод інтервалів
Розв’яжи нерівність $\dfrac{(x + 4)(x - 1)}{x - 5} \leqslant 0$ .
3.Система нерівностей зі зміною знака
Розв’яжи систему нерівностей $\begin{cases} 3x - 4 \geqslant 5, \\ 7 - 2x > -3. \end{cases}$

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 11

Завдання 11. (0–1)

Розв’яжіть систему нерівностей

\begin{cases} 5^x < 25, \\ 2 - x < 8. \end{cases}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 11. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 2, завдання 4

Завдання 4. (0–1)

Розв’яжіть нерівність

2x - 1 \geqslant 0

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 4. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Позначте з-поміж наведених найменше число, яке є розв’язком нерівності

2x + 7 > 27

Завдання 4 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Розв’яжіть нерівність

4x - 1 > -9

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–1)

Розв’яжіть нерівність

-5x - 6 > 4

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Не змінити знак при діленні чи множенні на від’ємне число. З $-2x > 6$ виходить $x < -3$ , а не $x > -3$ . Перевір підстановкою: $x = -4$ дає $8 > 6$ — це правильна нерівність, а $x = 0$ дає $0 > 6$ — це хибна нерівність.
У квадратній нерівності вибрати не той проміжок. Для $x^2 - 9 > 0$ відповідь — $x < -3$ або $x > 3$ (поза коренями), а не $(-3; 3)$ . Уяви параболу з гілками вгору: над віссю вона там, де $x$ далеко від коренів.
Зафарбувати нуль знаменника. У нерівності $\dfrac{x - 2}{x + 1} \leqslant 0$ точка $x = -1$ завжди порожня, а $x = 2$ — зафарбована: відповідь $(-1; 2]$ .
Взяти для системи об’єднання проміжків замість перетину. У системі $x > -1$ , $x < 3$ відповідь — $(-1; 3)$ ; об’єднання дало б усю пряму, що явно хибно.
Помилитися з дужками біля нескінченності чи в строгій нерівності. Біля $\pm\infty$ дужка завжди кругла, а для строгої нерівності — кругла й біля числа: $x > 4$ — це $(4; +\infty)$ .

Запам’ятай

Множення й ділення на від’ємне число змінюють знак нерівності.
Строга нерівність — круглі дужки; нестрога — квадратні; біля $\pm\infty$ — завжди круглі.
Система нерівностей — перетин розв’язків, а не об’єднання.
Квадратна нерівність при $a > 0$ : « $> 0$ » поза коренями, « $< 0$ » між коренями.
Метод інтервалів: нулі знаменника завжди порожні, знаки чергуються через прості нулі.
Показникова нерівність: основа більша за $1$ — знак лишається, між $0$ і $1$ — змінюється.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Квадратне рівнянняс. 2

Нерівностей як окремої теми в довідкових матеріалах немає. Для квадратної нерівності потрібні корені відповідного рівняння, а вони є на сторінці 2 в блоці «Квадратне рівняння»: дискримінант

D = b^2 - 4ac

, формули коренів і розклад

ax^2 + bx + c ={}

a(x - x_1)(x - x_2)

. Там само є таблиця квадратів чисел від

10

до

49

, що допомагає добути

\sqrt{D}

Чого немає: правил дій з нерівностями, поведінки параболи (де вираз додатний, де від’ємний), методу інтервалів, запису відповіді проміжками. Усе це треба знати напам’ять.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як розв’язати лінійну нерівність?+
Відп.:Перенеси доданки з $x$ в одну частину, числа — в іншу й поділи на коефіцієнт при $x$ . Якщо коефіцієнт від’ємний, змінюй знак нерівності на протилежний. Відповідь запиши проміжком: наприклад, $x > 4$ — це $(4; +\infty)$ .
2.Коли треба змінювати знак нерівності?+
Відп.:Лише коли множиш або ділиш обидві частини на від’ємне число. Додавання, віднімання, множення й ділення на додатне число знак не змінюють. Знак змінюється й тоді, коли від двох додатних чисел переходять до обернених: $2 < 5$ , але $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$ .
3.Як розв’язати квадратну нерівність?+
Відп.:Знайди корені відповідного квадратного рівняння, познач їх на прямій і з’ясуй, куди дивляться гілки параболи. Для $a > 0$ нерівність «більше нуля» виконується поза коренями, «менше нуля» — між ними. Якщо коренів немає, вираз має один знак на всій прямій.
4.Що таке метод інтервалів?+
Відп.:Це спосіб розв’язання нерівностей виду «добуток чи дріб більший або менший за нуль». Нулі чисельника й знаменника ділять числову пряму на проміжки, у кожному з яких вираз має сталий знак. Знаки чергуються при переході через простий нуль, тому досить визначити знак в одному проміжку.
5.Як розв’язати систему нерівностей?+
Відп.:Розв’яжи кожну нерівність окремо, зобрази розв’язки на спільній прямій і знайди спільну частину. Наприклад, $x > -3$ і $x \leqslant 7$ дають $(-3; 7]$ . Якщо проміжки не перетинаються, у системи розв’язків немає.
6.Які дужки ставити у відповіді?+
Відп.:Для строгої нерівності ( $<$ , $>$ ) — круглі, для нестрогої ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ) — квадратні, а біля $-\infty$ і $+\infty$ — завжди круглі. Нулі знаменника у відповідь ніколи не входять, тож біля них дужка кругла навіть у нестрогій нерівності.
7.Як розв’язувати показникові нерівності?+
Відп.:Запиши обидві частини як степені з однаковою основою й порівняй показники. Якщо основа більша за $1$ , знак нерівності для показників той самий, а якщо від $0$ до $1$ — протилежний. Наприклад, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \dfrac{1}{8}$ дає $x > 3$ .

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Нерівності та їх системи: лінійні, квадратні, метод інтервалів

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Зведи нерівність до зручного вигляду

2.Знайди особливі точки

3.Познач точки на числовій прямій

4.Визнач знаки

5.Запиши відповідь

Приклади

1.Квадратна нерівність

2.Метод інтервалів

3.Система нерівностей зі зміною знака

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела