Як розв’язати систему рівнянь методом підстановки?

Вирази з одного рівняння одну змінну (наприклад, $y = 2x + 3$) і підстав цей вираз у друге рівняння. Розв’яжи рівняння з однією змінною, потім підстав знайдене значення в зручний вираз і знайди другу змінну. Наприкінці перевір пару в обох рівняннях.

Як працює метод додавання?

Помнож одне чи обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при $x$ (або при $y$) стали протилежними. Додай рівняння почленно: змінна зникне й залишиться рівняння з однією змінною. Потім знайди другу змінну, підставивши значення в будь-яке рівняння.

Який метод вибрати: підстановку чи додавання?

Додавання зручне, коли коефіцієнти при одній змінній збігаються чи легко стають протилежними. Підстановка краща, коли одна змінна має коефіцієнт $1$ або $-1$, а також у системах з рівнянням другого степеня, де з лінійного рівняння виражають змінну.

Як розв’язати систему, де є рівняння другого степеня?

З лінійного рівняння вирази змінну й підстав у квадратне. Розв’яжи квадратне рівняння: кожен корінь дає свою пару розв’язків. Перевір кожну пару у вихідних рівняннях, особливо якщо в системі є дроби чи логарифми.

Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь?

Жодного (лінії не перетинаються), один (перетинаються в одній точці), кілька (системи з рівнянням другого степеня часто мають два розв’язки) або безліч (рівняння задають ту саму лінію). Для системи двох лінійних рівнянь можливі варіанти «жодного», «один» або «безліч».

Що є в довідкових матеріалах НМТ для систем рівнянь?

Самих систем там немає. Для лінійних систем довідкові матеріали не потрібні; для систем з квадратним рівнянням допоможе блок «Квадратне рівняння» на сторінці 2, для логарифмічних — блок «Логарифми» там само.

НМТ 2027 · математика

Системи рівнянь: метод підстановки і додавання

Система рівнянь на НМТ — це завдання, де знайти розв’язок $(x_0; y_0)$ мало: зазвичай питають про суму чи добуток $x_0$ і $y_0$ . Для цього треба вміти виключити одну змінну методом підстановки чи додавання, розв’язати отримане рівняння й нічого не загубити по дорозі. Тут є обидва методи, системи з рівнянням другого степеня, дробові й логарифмічні системи, приклади та два справжні завдання УЦОЯО з розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у 2023 і 2024 роках у завданні 11, у 2026-му в завданні 15 (питають про $x_0 + y_0$ чи $x_0 \cdot y_0$ ), а 2025 року — у завданні 22 з параметром.

Програма ЗНО з математики

Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: щороку 2023–2026

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Розв’язок системи двох рівнянь із двома змінними — це пара $(x_0; y_0)$ , яка перетворює на правильну рівність кожне рівняння системи. Розв’язати систему означає знайти всі такі пари.
Метод підстановки: виразити з одного рівняння одну змінну, підставити її у друге рівняння, розв’язати рівняння з однією змінною, а потім знайти другу змінну. Зручний, коли якийсь коефіцієнт дорівнює $1$ чи $-1$ або одне з рівнянь уже має вигляд $y = \ldots$ .
Метод додавання: помножити рівняння на числа так, щоб коефіцієнти при одній змінній стали протилежними, і додати рівняння почленно. Одна змінна зникне. Зручний, коли в обох рівняннях стоять схожі лінійні вирази.
Якщо одне рівняння лінійне, а інше другого степеня, виражай змінну з лінійного й підставляй у друге: вийде квадратне рівняння. Воно може дати два значення, тому й у системи може бути дві пари розв’язків; кожну пару перевіряй у вихідних рівняннях.
У дробових і логарифмічних системах спочатку запиши область допустимих значень: знаменник не дорівнює нулю, під логарифмом — додатне число. Корені, що не потрапляють в область допустимих значень, відкидай як сторонні.
Корисні прийоми: розклад лівої частини на множники (наприклад, $x^2 - xy = x(x - y)$ ), заміна виразу новою змінною, додавання й віднімання рівнянь, щоб отримати $(x + y)$ або $(x - y)$ у зручному вигляді.
Кожне рівняння системи задає лінію на координатній площині, а розв’язки — це точки перетину цих ліній. Тому система може мати один розв’язок, два, жодного чи безліч (коли рівняння задають ту саму лінію).

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Прочитай, що питають
У завданнях НМТ часто потрібна не пара $(x_0; y_0)$ , а вираз від неї: сума, добуток чи різниця. Підкресли це в умові, щоб наприкінці обчислити саме потрібне, а не зупинитися на $x_0$ .
2.Запиши область допустимих значень
Якщо є дроби, корені чи логарифми, випиши обмеження на $x$ і $y$ . Якщо їх немає, цей крок можна пропустити.
3.Обери метод
Коли в обох рівняннях є схожі члени з $x$ або $y$ , використовуй додавання. Коли одну змінну легко виразити, використовуй підстановку. Якщо одне рівняння другого степеня, майже завжди зручна підстановка з лінійного рівняння.
4.Знайди обидві змінні
Розв’яжи рівняння з однією змінною і підстав знайдене значення в зручне рівняння, щоб знайти другу змінну. Якщо перше рівняння дало два значення, знайди другу змінну для кожного.
5.Перевір і запиши потрібне
Підстав пари в обидва вихідні рівняння, перевір область допустимих значень, відкинь сторонні пари. Потім обчисли те, про що питають: $x_0 + y_0$ , $x_0 \cdot y_0$ або кількість розв’язків.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Метод додавання
Розв’яжи систему $\begin{cases} 5x + 2y = 11, \\ 3x - 2y = 5, \end{cases}$ і знайди $x_0 \cdot y_0$ .
2.Система з рівнянням другого степеня
Розв’яжи систему $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$
3.Дробове рівняння в системі
Розв’яжи систему $\begin{cases} \dfrac{x + 1}{y} = 2, \\ x - y = -3. \end{cases}$

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 2, завдання 11

Завдання 11. (0–1)

Розв’яжіть систему рівнянь

\begin{cases} 2x - \dfrac{y}{3} = 7, \\ 4x + \dfrac{2y}{3} = 6. \end{cases}

Якщо

(x_0; y_0)

– розв’язок системи, то

x_0 + y_0 =

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 11. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 2, завдання 15

Завдання 15. (0–1)

Розв’яжіть систему рівнянь

\begin{cases} \log_2 x = 2, \\ \dfrac{y + 10}{x + 1} = \dfrac{x + 2}{2} \end{cases}

. Якщо

(x_0; y_0)

– розв’язок цієї системи, то

x_0 + y_0 =

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 15. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Розв’яжіть систему рівнянь

\begin{cases} x + y = -4, \\ xy + y^2 = 12. \end{cases}

Якщо

(x_0; y_0)

– розв’язок цієї системи, то

x_0 \cdot y_0 =

Завдання 15 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Якщо

(x_0; y_0)

— розв’язок системи рівнянь

\begin{cases} 2x + y = -2, \\ x - y = -7, \end{cases}

то

x_0 + y_0

дорівнює

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–1)

Якщо

(x_0; y_0)

— розв’язок системи рівнянь

\begin{cases} 2x + y = 8, \\ x - y = 1, \end{cases}

то

x_0 + y_0

дорівнює

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Зупинитися на $x_0$ і не знайти $y_0$ (або навпаки). Якщо питають про $x_0 + y_0$ чи $x_0 \cdot y_0$ , потрібні обидва числа, і лише потім сума чи добуток.
Помилка в знаку при додаванні чи відніманні рівнянь. Віднімаючи рівняння, віднімай кожен доданок і став дужки: $(5x + 2y) - (3x - 2y) ={}$ $2x + 4y$ , а не $2x$ .
Помножити на число не всі доданки. Якщо множиш рівняння на $2$ , множ обидві його частини і кожен доданок, зокрема дробовий.
Забути про другу пару розв’язків. У системі з рівнянням другого степеня квадратне рівняння, як правило, має два корені, а значить і пар розв’язків дві; прочитай ще раз, що питають: обидві пари чи одну.
Не врахувати область допустимих значень. У системі з дробом, де $y$ стоїть у знаменнику, пара з $y = 0$ — сторонній розв’язок, його треба відкинути.

Запам’ятай

Розв’язок системи — пара $(x_0; y_0)$ , що задовольняє обидва рівняння.
Підстановка: виразити змінну й підставити. Додавання: зробити коефіцієнти протилежними й додати.
Лінійне й квадратне рівняння разом: з лінійного виразити змінну й підставити в друге; пар розв’язків може бути дві.
Дроби й логарифми: спершу область допустимих значень, наприкінці — перевірка.
Прочитай, що питають: пару, суму $x_0 + y_0$ чи добуток $x_0 \cdot y_0$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Квадратне рівнянняс. 2
Логарифмис. 2

Про системи рівнянь у довідкових матеріалах немає нічого, але два блоки на сторінці 2 допомагають розв’язувати їх. Блок «Квадратне рівняння» дає дискримінант, формули коренів і розклад на множники, а таблиця квадратів чисел від

10

до

49

допомагає добути

\sqrt{D}

. У блоці «Логарифми» є

a^{\log_a b} = b

\log_a a = 1

та формули для добутку, частки й степеня, потрібні для логарифмічних систем.

Чого немає: методів підстановки й додавання, умов для кількості розв’язків системи, теореми Вієта. Усе це треба знати напам’ять.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як розв’язати систему рівнянь методом підстановки?+
Відп.:Вирази з одного рівняння одну змінну (наприклад, $y = 2x + 3$ ) і підстав цей вираз у друге рівняння. Розв’яжи рівняння з однією змінною, потім підстав знайдене значення в зручний вираз і знайди другу змінну. Наприкінці перевір пару в обох рівняннях.
2.Як працює метод додавання?+
Відп.:Помнож одне чи обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при $x$ (або при $y$ ) стали протилежними. Додай рівняння почленно: змінна зникне й залишиться рівняння з однією змінною. Потім знайди другу змінну, підставивши значення в будь-яке рівняння.
3.Який метод вибрати: підстановку чи додавання?+
Відп.:Додавання зручне, коли коефіцієнти при одній змінній збігаються чи легко стають протилежними. Підстановка краща, коли одна змінна має коефіцієнт $1$ або $-1$ , а також у системах з рівнянням другого степеня, де з лінійного рівняння виражають змінну.
4.Як розв’язати систему, де є рівняння другого степеня?+
Відп.:З лінійного рівняння вирази змінну й підстав у квадратне. Розв’яжи квадратне рівняння: кожен корінь дає свою пару розв’язків. Перевір кожну пару у вихідних рівняннях, особливо якщо в системі є дроби чи логарифми.
5.Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь?+
Відп.:Жодного (лінії не перетинаються), один (перетинаються в одній точці), кілька (системи з рівнянням другого степеня часто мають два розв’язки) або безліч (рівняння задають ту саму лінію). Для системи двох лінійних рівнянь можливі варіанти «жодного», «один» або «безліч».
6.Що є в довідкових матеріалах НМТ для систем рівнянь?+
Відп.:Самих систем там немає. Для лінійних систем довідкові матеріали не потрібні; для систем з квадратним рівнянням допоможе блок «Квадратне рівняння» на сторінці 2, для логарифмічних — блок «Логарифми» там само.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Системи рівнянь: метод підстановки і додавання

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Прочитай, що питають

2.Запиши область допустимих значень

3.Обери метод

4.Знайди обидві змінні

5.Перевір і запиши потрібне

Приклади

1.Метод додавання

2.Система з рівнянням другого степеня

3.Дробове рівняння в системі

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела