Kleksa

НМТ 2027 · математика

Рівняння з параметром: як розв’язувати завдання 22 НМТ

У завданні 22 НМТ замість звичного «знайди xx» питають про параметр aa: за якого значення рівняння має єдиний корінь, скільки є таких цілих значень, яка їхня сума чи добуток. Це найскладніше завдання тесту, але воно піддається системі. Майже завжди рівняння зводиться до лінійного, квадратного, дробового або до графіка, а прийоми повторюються рік у рік. Тут є метод крок за кроком, приклади і два справжні завдання 22 із розв’язаннями.

На НМТ: щороку 2023–2026 — завдання 22 з короткою відповіддю (2 бали) у кожному з восьми варіантів, оприлюднених УЦОЯО.

Головне

це треба вміти
  • Параметр — це буква, яка позначає задане, але довільне число. Розв’язати рівняння з параметром aa — означає для кожного значення aa сказати, скільки в рівняння коренів і чому вони дорівнюють. У завданні 22 питають про сам параметр: яке значення aa підходить.
  • Завдання 22 — коротка письмова відповідь: одне число, 2 бали або 0. Типові запитання: «за якого значення aa», «скільки є цілих значень aa», «чому дорівнює сума (добуток) усіх значень aa».
  • Лінійне рівняння kx=mkx = m, де kk і mm містять параметр. Якщо k≠0k \ne 0, корінь один: x=mkx = \dfrac{m}{k}. Якщо k=0k = 0 і m≠0m \ne 0, коренів немає. Якщо k=0k = 0 і m=0m = 0, коренем є будь-яке число.
  • Квадратне рівняння px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0, p≠0p \ne 0. Два різні корені при D>0D > 0, один при D=0D = 0, жодного при D<0D < 0, де D=q2−4prD = q^2 - 4pr. Якщо старший коефіцієнт містить параметр, окремо розглянь значення, за якого він дорівнює нулю: рівняння стає лінійним.
  • Теорема Вієта для рівняння x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0: x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b і x1x2=cx_1 x_2 = c. Вона допомагає, коли в умові є сума, добуток, різниця або сума квадратів коренів, бо (x1−x2)2=(x_1 - x_2)^2 ={}(x1+x2)2−4x1x2 (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 і x12+x22=x_1^2 + x_2^2 ={}(x1+x2)2−2x1x2 (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.
  • Дробове рівняння P(x)Q(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} ={}0 0 розв’язують за умовою P(x)=0P(x) = 0 при Q(x)≠0Q(x) \ne 0. Корінь чисельника, який обертає знаменник на нуль, — сторонній. Через це рівняння з двома коренями чисельника може мати єдиний корінь.
  • Графічний метод. Залиши параметр в одній частині рівності, а xx — в іншій: f(x)=af(x) = a. Тоді кількість коренів — це кількість точок перетину графіка y=f(x)y = f(x) з горизонтальною прямою y=ay = a.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

  1. 1.Прочитай, про що саме питають

    Підкресли в умові, що треба знайти: значення параметра, кількість значень, їх суму чи добуток. Зверни увагу також, чи йдеться лише про цілі значення і чи рівняння має «єдиний» корінь, «два різні» корені, чи «не має коренів».

  2. 2.Визнач вид рівняння

    Лінійне, квадратне, дробове, з модулем, з коренем чи логарифмом, або система. Від виду залежить інструмент: коефіцієнти, дискримінант, теорема Вієта, область допустимих значень чи графік.

  3. 3.Розглянь особливі значення параметра

    Окремо перевір значення, за яких старший коефіцієнт дорівнює нулю, знаменник обертається на нуль або змінюється вид рівняння. Саме вони найчастіше дають відповідь або виняток.

  4. 4.Запиши умову мовою рівностей і нерівностей

    Переклади слова на математику: «два різні корені» — це D>0D > 0, «жодного кореня» — D<0D < 0, «один корінь на mm більший від іншого» — x1−x2=mx_1 - x_2 = m. Умову на корені зведи до суми й добутку коренів.

  5. 5.Розв’яжи отриману умову

    Знайди значення параметра. Якщо питають про цілі значення, переліч їх. Якщо про суму чи добуток, обчисли їх лише тоді, коли знайшов усі значення.

  6. 6.Перевір відповідь

    Підстав знайдене значення параметра в рівняння і переконайся, що воно має потрібну кількість коренів. Запиши відповідь числом: у ключах УЦОЯО десяткові дроби записано з комою, наприклад −2,4-2{,}4.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

  1. 1.Лінійне рівняння з параметром

    Скільки коренів має рівняння (a2−4)x=a+2(a^2 - 4)x = a + 2 залежно від значення параметра aa?

  2. 2.Квадратне рівняння: дискримінант і теорема Вієта

    За яких значень aa рівняння x2−6x+a=0x^2 - 6x + a = 0 має два різні додатні корені?

  3. 3.Дробове рівняння і сторонній корінь

    За яких значень aa рівняння (x−a)(x−1)x−3=\dfrac{(x - a)(x - 1)}{x - 3} ={}0 0 має єдиний корінь?

  4. 4.Графічний метод

    Скільки коренів має рівняння x2−4∣x∣=ax^2 - 4|x| = a залежно від aa? За якого aa їх рівно три?
    −5−4−3−2−112345−4−22460xy

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО
Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.
Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 22

Завдання 22. (0–2)

Визначте додатне значення mm, за якого один із коренів рівняння x2−(2m−4)x+16=x^2 - (2m - 4)x + 16 ={}0 0 на 6 більший від іншого.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 22. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 22

Завдання 22. (0–2)

Визначте значення aa, за якого система рівнянь {y+(x−1)2=5a,x2−2x+y2+8y=47\begin{cases} y + (x - 1)^2 = 5a, \\ x^2 - 2x + y^2 + 8y = 47 \end{cases} має єдиний розв’язок.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 22. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу
Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.
НМТ

Завдання 1. (0–2)

Визначте кількість усіх цілих значень aa, за кожного з яких рівняння 2x−a⋅(log⁡3(x−4)−2)=\sqrt{2x - a} \cdot (\log_3(x - 4) - 2) ={}0 0 має два різні розв’язки.

Завдання 22 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

Визначте додатне значення aa, за якого сума квадратів коренів рівняння x2−ax+a−1=0x^2 - ax + a - 1 = 0 дорівнює 1717.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–2)

Визначте кількість цілих значень aa, за яких рівняння x2+(a−2)x+4=0x^2 + (a - 2)x + 4 = 0 не має дійсних коренів.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–1)

Для яких значень aa рівняння ∣x−2∣=a−1|x - 2| = a - 1 має два різні корені?

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал
  • Ділити на вираз з параметром, не перевіривши, чи він може дорівнювати нулю. Ділити на (a−2)(a - 2) можна лише тоді, коли a≠2a \ne 2; випадок a=2a = 2 розглянь окремо.
  • Забути про знаменник у дробовому рівнянні. Значення параметра, при якому корінь обертає знаменник на нуль, теж дає відповідь, і саме через нього кількість коренів зменшується.
  • Застосувати теорему Вієта, не перевіривши, що корені існують. Спочатку з’ясуй, чи D≥0D \ge 0; інакше умова на корені не має сенсу.
  • Не врахувати, про що питають наприкінці. Якщо треба суму або добуток значень, спершу знайди всі значення параметра і лише тоді обчисли їх суму чи добуток; якщо кількість цілих значень, не пропусти кінці проміжку.

Запам’ятай

  • Особливі значення параметра розглядай окремо: нульовий старший коефіцієнт, нульовий знаменник, D=0D = 0.
  • Два різні корені — D>0D > 0, один — D=0D = 0, жодного — D<0D < 0.
  • Теорема Вієта: x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b, x1x2=cx_1 x_2 = c для x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0.
  • У завданні 22 відповідь — одне число; підстав його в рівняння для перевірки.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.
  • Квадратне рівнянняс. 2
  • Модуль числас. 2
У блоці «Квадратне рівняння» на сторінці 2 довідкових матеріалів є дискримінант D=b2−4acD = b^2 - 4ac, формули коренів при D>0D > 0 і D=0D = 0 та розклад ax2+bx+c=ax^2 + bx + c ={}a(x−x1)(x−x2) a(x - x_1)(x - x_2). У блоці «Модуль числа» на тій самій сторінці — означення модуля.
Чого на аркуші немає: теореми Вієта, умов на кількість і знаки коренів, правил дослідження рівняння залежно від параметра та графічного методу. Усе це треба знати самому.
Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

  1. 1.Що таке параметр у рівнянні?+
    Відп.:Параметр — це буква, яка позначає довільне, але фіксоване число. У рівнянні x2−6x+a=0x^2 - 6x + a = 0 невідоме xx, а aa — параметр: для кожного значення aa маємо окреме рівняння зі своїми коренями. Тому відповідь залежить від параметра.
  2. 2.Як виглядає завдання 22 на НМТ?+
    Відп.:Це завдання з короткою письмовою відповіддю: кінцева відповідь — число, яке записують у відповідь, а за правильну відповідь дають 2 бали, за неправильну — 0. Частковий розв’язок не оцінюють. В оприлюднених тестах 2023–2026 років це щоразу рівняння або система з параметром.
  3. 3.З чого почати розв’язувати рівняння з параметром?+
    Відп.:З визначення виду рівняння і особливих значень параметра. Перевір, за яких значень параметра зникає старший коефіцієнт, обертається на нуль знаменник або змінюється вид рівняння. Ці значення розглядай окремо, а потім досліджуй загальний випадок.
  4. 4.Коли застосовувати дискримінант, а коли теорему Вієта?+
    Відп.:Дискримінант відповідає на питання «скільки коренів» і «чи є корені». Теорема Вієта потрібна, коли умова говорить про суму, добуток, різницю чи суму квадратів коренів. Часто потрібні обидві: спершу D≥0D \ge 0 або D>0D > 0, а потім умова через суму й добуток.
  5. 5.Як зрозуміти, що корінь дробового рівняння сторонній?+
    Відп.:Підстав корінь у знаменник. Якщо знаменник дорівнює нулю, корінь сторонній і його відкидають. У задачах з параметром це часто дає окреме значення параметра, при якому один з коренів «зникає» і кількість коренів змінюється.
  6. 6.Чи потрібно знати графічний метод?+
    Відп.:Програма НМТ згадує графічний метод розв’язування й дослідження рівнянь, нерівностей та систем. Він швидко дає кількість коренів, коли рівняння можна записати як f(x)=af(x) = a і побудувати графік y=f(x)y = f(x). Якщо графік побудувати важко, переходь до алгебраїчного способу.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.