Які формули скороченого множення потрібні для НМТ?

Найчастіше — трьох: різниця квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, квадрат суми й квадрат різниці. Саме ці три записано в довідкових матеріалах УЦОЯО; формул кубів у тестах 2023–2026 років не було. Їх використовують у двох напрямках: розкривають дужки й розкладають вираз на множники чи згортають тричлен у квадрат.

Чому $(a + b)^2$ не дорівнює $a^2 + b^2$?

Бо при множенні $(a + b)(a + b)$ виходять ще два однакових добутки $ab$. Вони й утворюють подвоєний добуток $2ab$. Перевір на числах: $(2 + 5)^2 = 49$, а $2^2 + 5^2 = 29$. Різниця $20$ — це якраз $2 \cdot 2 \cdot 5$.

Як зрозуміти, що тричлен — повний квадрат?

Подивися на крайні доданки: обидва мають бути квадратами, наприклад $x^2$ і $49$. Корені — $x$ і $7$. Подвоєний добуток коренів, $2 \cdot x \cdot 7 = 14x$, має збігатися із середнім доданком за модулем. Тоді $x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$, а $x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$.

Як формули скороченого множення допомагають обчислювати?

Вони замінюють громіздке множення простою арифметикою. Щоб знайти $48 \cdot 52$, запиши $(50 - 2)(50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$. Щоб піднести до квадрата $99$, запиши $(100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9801$. Це швидше, ніж множити стовпчиком.

Чи є формули скороченого множення в довідкових матеріалах НМТ?

Так: на сторінці 2 у блоці «Формули скороченого множення» стоять три формули — різниця квадратів, квадрат суми й квадрат різниці. Формул кубів там немає. Розклад $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ є окремо, у блоці «Квадратне рівняння».

Як скоротити дріб за допомогою формул скороченого множення?

Розклади чисельник і знаменник на множники й скороти однакові дужки. Наприклад, $\dfrac{4x^2 - 9}{2x + 3} = \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{2x + 3} = 2x - 3$ при $x \neq -1{,}5$. Не забудь вказати значення змінної, за яких знаменник дорівнює нулю.

У яких завданнях НМТ потрібні ці формули?

У тестах 2023–2026 років вони стоять щороку. Це завдання зі спрощення виразу чи розкладу на множники з вибором відповіді (завдання 2, 3, 9, 13, 14), а також окремий рядок у завданні 17 на відповідність. Зазвичай після розкриття дужок більшість доданків скорочується.

НМТ 2027 · математика

Формули скороченого множення і розклад на множники для НМТ

Три формули — різниця квадратів, квадрат суми й квадрат різниці — дають змогу не множити дужки «стовпчиком», а записувати результат одразу. Їх використовують у трьох ролях: розкрити дужки, розкласти вираз на множники й скоротити дріб. На НМТ вони стоять щороку, найчастіше в завданнях зі спрощення виразу. Нижче — правила, метод крок за кроком, приклади і справжні завдання з тестів НМТ.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 2, 3, 9, 13, 14 і 17: спрощення виразу, розклад на множники, відповідність.

Головне

це треба вміти

Різниця квадратів: $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ . Це перетворення працює в обидва боки: добуток розкривають, різницю квадратів розкладають. Наприклад, $49x^2 - 1 ={}$ $(7x - 1)(7x + 1)$ .
Квадрат суми: $(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ . Три доданки: квадрат першого, подвоєний добуток, квадрат другого. Наприклад, $(x + 4)^2 ={}$ $x^2 + 8x + 16$ .
Квадрат різниці: $(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$ . Від попередньої формули він відрізняється лише знаком середнього доданка. Наприклад, $(3x - 2)^2 ={}$ $9x^2 - 12x + 4$ .
Читай формули справа наліво. Вираз $x^2 + 6x + 9$ — це $x^2 +{}$ $2 \cdot x \cdot 3 +{}$ $3^2$ , тобто $(x + 3)^2$ . Щоб тричлен був повним квадратом, подвоєний добуток квадратних коренів з його крайніх доданків має збігатися із середнім доданком за модулем.
Розклад многочлена на множники. Спершу виноси спільний множник за дужки: $12x^2 - 27 = 3\left(4x^2 - 9\right)$ . Потім перевір, чи не лишилася різниця квадратів або повний квадрат: $3(2x - 3)(2x + 3)$ .
Числа теж підходять. $101^2 ={}$ $(100 + 1)^2 ={}$ $10\,000 + 200 + 1 ={}$ $10\,201$ і $63 \cdot 57 ={}$ $(60 + 3)(60 - 3) ={}$ $3600 - 9 ={}$ $3591$ . Так можна обчислювати усно.
Скорочення дробів. Розклади чисельник і знаменник на множники, скороти спільні, а значення змінної, що обертають знаменник на нуль, виключи: $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} ={}$ $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} ={}$ $\dfrac{x + 3}{x - 3}$ при $x \neq 3$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Подивися на кількість доданків
Два доданки з мінусом між ними — шукай різницю квадратів. Три доданки — перевір, чи це повний квадрат. Дужки зі степенем $2$ — розкривай за формулою квадрата суми чи різниці.
2.Знайди « $a$ » і « $b$ »
Добудь квадратний корінь із кожного крайнього доданка: $4x^2 = (2x)^2$ , $144 = 12^2$ . Тоді $a = 2x$ і $b = 12$ . Якщо корінь не добувається, формула тут не застосовується або треба спершу винести множник.
3.Підбери формулу й перевір середній доданок
Для тричлена перевір, що середній доданок дорівнює $2ab$ за модулем. Знак середнього доданка визначає, яка саме це формула: з плюсом — квадрат суми, з мінусом — квадрат різниці.
4.Розкрий або згорни
Розкрий дужки за формулою або згорни вираз у дужки зі степенем, або розклади на множники. У виразі з мінусом перед дужкою $-(a - b)^2$ спершу розкрий квадрат, потім змінюй знаки всіх доданків.
5.Перевір підстановкою
Підстав просте число замість змінної в початковий вираз і в результат, наприклад $x = 1$ чи $x = 2$ . Збіг значень не доводить відповіді, але розбіжність одразу показує помилку.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Розкриття дужок
Спрости вираз $(3x - 2)^2 - (x + 4)(x - 4)$ .
2.Розклад на множники
Розклади на множники вираз $18a^2 - 8$ .
3.Скорочення дробу
Скороти дріб $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$ і вкажи, за яких значень $x$ він має зміст.
4.Ірраціональний вираз
Знайди значення виразу $\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)^2 - 2\sqrt{15}$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 3

Завдання 3. (0–1)

Розкладіть вираз

4x^2 - 144

на множники.

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 3. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 1, завдання 13

Завдання 13. (0–1)

x(x - 2y) - (x - y)^2 =

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 13. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Спростіть вираз

25b - (b - 5)(5 + b) + 25

Завдання 9 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–1)

Розкладіть на множники вираз

25a^2 - 36b^2

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–2)

Обчисліть значення виразу

\dfrac{97^2 - 3^2}{94}

. Відповідь запишіть цілим числом.

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 4. (0–3)

Увідповідніть вираз (1–3) з тотожно рівним йому виразом (А–Д).

Вираз

Тотожно рівний вираз

(a + 2)^2 - (a - 2)^2

(a + 2)(a - 2) - a^2

(a + 2)^2 +{}

(a - 2)^2 -{}

2a^2

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Вважати, що $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . Забутий доданок — $2ab$ . Перевір на числах: $(3 + 4)^2 = 49$ , а $3^2 + 4^2 = 25$ .
Для квадрата різниці записати $(a - b)^2 = a^2 - b^2$ . Правильно $a^2 - 2ab + b^2$ : подвоєний добуток входить зі знаком мінус, а останній доданок $b^2$ додатний.
Загубити знак при розкритті: $(3x - 2)^2 ={}$ $9x^2 - 12x - 4$ . Квадрат будь-якого виразу невід’ємний, тому останній доданок — завжди $+b^2$ .
Намагатися розкласти суму квадратів: $x^2 + 9 ={}$ $(x + 3)(x - 3)$ . Цей добуток дорівнює $x^2 - 9$ , а суму двох квадратів на множники в дійсних числах не розкладають.
Забути змінити всі знаки, коли перед дужкою стоїть мінус: $x^2 - (x - y)^2 ={}$ $x^2 - x^2 - 2xy + y^2$ — неправильно. Правильно: $x^2 - x^2 + 2xy - y^2 ={}$ $2xy - y^2$ .

Запам’ятай

$a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ .
$(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$ .
Середній доданок повного квадрата — подвоєний добуток коренів крайніх.
Мінус перед дужкою змінює знак кожного доданка.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Формули скороченого множенняс. 2
Квадратне рівнянняс. 2

На сторінці 2 довідкових матеріалів є блок «Формули скороченого множення» рівно з трьох формул:

a^2 - b^2 ={}

(a - b)(a + b)

(a + b)^2 ={}

a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 ={}

a^2 - 2ab + b^2

. Там само, у блоці «Квадратне рівняння», записано розклад

ax^2 + bx + c ={}

a(x - x_1)(x - x_2)

— він теж розкладає вираз на множники, але для нього треба спершу знайти корені.

Чого немає: формул куба суми й куба різниці, суми й різниці кубів, квадрата суми трьох доданків. Якщо виникне потреба в кубі, його можна розкрити як

(a + b)^2(a + b)

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Які формули скороченого множення потрібні для НМТ?+
Відп.:Найчастіше — трьох: різниця квадратів $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ , квадрат суми й квадрат різниці. Саме ці три записано в довідкових матеріалах УЦОЯО; формул кубів у тестах 2023–2026 років не було. Їх використовують у двох напрямках: розкривають дужки й розкладають вираз на множники чи згортають тричлен у квадрат.
2.Чому $(a + b)^2$ не дорівнює $a^2 + b^2$ ?+
Відп.:Бо при множенні $(a + b)(a + b)$ виходять ще два однакових добутки $ab$ . Вони й утворюють подвоєний добуток $2ab$ . Перевір на числах: $(2 + 5)^2 = 49$ , а $2^2 + 5^2 = 29$ . Різниця $20$ — це якраз $2 \cdot 2 \cdot 5$ .
3.Як зрозуміти, що тричлен — повний квадрат?+
Відп.:Подивися на крайні доданки: обидва мають бути квадратами, наприклад $x^2$ і $49$ . Корені — $x$ і $7$ . Подвоєний добуток коренів, $2 \cdot x \cdot 7 ={}$ $14x$ , має збігатися із середнім доданком за модулем. Тоді $x^2 + 14x + 49 ={}$ $(x + 7)^2$ , а $x^2 - 14x + 49 ={}$ $(x - 7)^2$ .
4.Як формули скороченого множення допомагають обчислювати?+
Відп.:Вони замінюють громіздке множення простою арифметикою. Щоб знайти $48 \cdot 52$ , запиши $(50 - 2)(50 + 2) ={}$ $2500 - 4 ={}$ $2496$ . Щоб піднести до квадрата $99$ , запиши $(100 - 1)^2 ={}$ $10\,000 - 200 + 1 ={}$ $9801$ . Це швидше, ніж множити стовпчиком.
5.Чи є формули скороченого множення в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Так: на сторінці 2 у блоці «Формули скороченого множення» стоять три формули — різниця квадратів, квадрат суми й квадрат різниці. Формул кубів там немає. Розклад $ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ є окремо, у блоці «Квадратне рівняння».
6.Як скоротити дріб за допомогою формул скороченого множення?+
Відп.:Розклади чисельник і знаменник на множники й скороти однакові дужки. Наприклад, $\dfrac{4x^2 - 9}{2x + 3} ={}$ $\dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{2x + 3} ={}$ $2x - 3$ при $x \neq -1{,}5$ . Не забудь вказати значення змінної, за яких знаменник дорівнює нулю.
7.У яких завданнях НМТ потрібні ці формули?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років вони стоять щороку. Це завдання зі спрощення виразу чи розкладу на множники з вибором відповіді (завдання 2, 3, 9, 13, 14), а також окремий рядок у завданні 17 на відповідність. Зазвичай після розкриття дужок більшість доданків скорочується.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Формули скороченого множення і розклад на множники для НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Подивися на кількість доданків

2.Знайди «aaa» і «bbb»

3.Підбери формулу й перевір середній доданок

4.Розкрий або згорни

5.Перевір підстановкою

Приклади

1.Розкриття дужок

2.Розклад на множники

3.Скорочення дробу

4.Ірраціональний вираз

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела

2.Знайди « $a$ » і « $b$ »