Що таке показникове рівняння?

Це рівняння, у якому невідоме стоїть у показнику степеня: $2^{x-1} = 8$, $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$. Основа в таких рівняннях стала, додатна й не дорівнює одиниці. Розв’язування зводиться до того, щоб звести степені до однієї основи або ввести нову змінну.

Чому рівняння $2^x = -4$ не має коренів?

Степінь із додатною основою завжди додатний, при будь-якому показнику. Тому $2^x$ не може дорівнювати ні від’ємному числу, ні нулю. Це правило допомагає швидко відкидати сторонні значення в заміні $t = 2^x$.

Коли в показниковій нерівності змінюється знак?

Лише тоді, коли основа лежить між нулем і одиницею. Тоді показникова функція спадна: більшому показнику відповідає менше значення степеня, тому знак нерівності між показниками протилежний. При основі, більшій за одиницю, знак лишається тим самим.

Як розв’язати рівняння, у якому є $4^x$ і $2^x$?

Запиши $4^x$ як $(2^x)^2$ і введи нову змінну $t = 2^x$ з умовою $t > 0$. Рівняння перетвориться на квадратне. Розв’яжи його, відкинь значення $t \le 0$, а для решти розв’яжи рівняння $2^x = t$.

Чи є формули показникових рівнянь у довідкових матеріалах НМТ?

Є властивості степенів: на сторінці 2, у блоці «Степені». Правил розв’язування показникових рівнянь і нерівностей там немає, як і правила зміни знака. Їх треба знати самому, тому вони зібрані в розділі «Головне» на цій сторінці.

У яких завданнях НМТ є показникові вирази?

У 2024–2026 роках показникові рівняння і нерівності були у завданнях 11 і 14 із вибором відповіді. У 2025 році показниковий вираз стояв і в завданні 22 з параметром. В оприлюднених тестах 2023 року окремого завдання на показникові рівняння чи нерівності не було.

НМТ 2027 · математика

Показникові рівняння і нерівності: як розв’язувати на НМТ

У показниковому рівнянні невідоме стоїть у показнику степеня, наприклад $2^{x-1} = 8$ . Майже завжди його розв’язують так: зводять обидві частини до степенів однієї основи й прирівнюють показники. У нерівності додатково дивляться на основу: від неї залежить, чи зберігається знак. На НМТ такі завдання мають вибір відповіді, а іноді показникові вирази стоять усередині завдання 22. Тут є правила, метод крок за кроком, приклади і справжні завдання з НМТ.

На НМТ: у 3 з 4 років (2024–2026) — у завданнях 11 і 14, а в 2025 році ще й усередині завдання 22.

Програма ЗНО з математики

Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: у 3 з 4 років

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Рівняння називають показниковим, якщо невідоме стоїть у показнику степеня, наприклад $2^{x-1} = 8$ . Основа $a$ завжди додатна й не дорівнює одиниці: $a > 0$ і $a \ne 1$ .
Головне правило: якщо $a > 0$ і $a \ne 1$ , то рівність $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ рівносильна рівності $f(x) = g(x)$ . Тому рівняння зводять до однакових основ, а далі прирівнюють показники.
Степінь із додатною основою завжди додатний. Тому рівняння $a^{f(x)} = b$ при $b \le 0$ не має коренів, а в заміні $t = a^x$ завжди $t > 0$ .
У нерівності знак залежить від основи. Якщо $a > 1$ , то $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ рівносильно $f(x) > g(x)$ — знак той самий. Якщо $0 < a < 1$ , знак змінюється: $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ рівносильно $f(x) < g(x)$ .
Для зведення до однієї основи потрібні властивості степенів: $a^x \cdot a^y ={}$ $a^{x+y}$ , $\dfrac{a^x}{a^y} ={}$ $a^{x-y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ і $a^{\frac{m}{n}} ={}$ $\sqrt[n]{a^m}$ .
Якщо основи різні й до однієї не зводяться, є два прийоми: винести за дужки степінь із найменшим показником або ввести нову змінну $t = a^x$ , де $t > 0$ , і розв’язати квадратне рівняння.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Зведи степені до однієї основи
Запиши числа як степені однієї основи: $9 = 3^2$ , $\dfrac{1}{3} = 3^{-1}$ , $\sqrt{3} ={}$ $3^{\frac{1}{2}}$ , $0{,}5 = 2^{-1}$ . Основу вибирай найменшу, з якої виходять усі числа задачі.
2.Спрости обидві частини
Скористайся властивостями степенів: при множенні степенів з однією основою показники додають, при діленні віднімають, при піднесенні степеня до степеня перемножують.
3.Прирівняй показники або порівняй їх
Для рівняння запиши $f(x) = g(x)$ . Для нерівності спершу подивись на основу: при $a > 1$ знак лишається, при $0 < a < 1$ змінюється на протилежний.
4.Якщо основи не зводяться до однієї
Винеси за дужки степінь з найменшим показником, наприклад $3^{x+1} + 3^x ={}$ $3^x(3 + 1)$ . Або введи нову змінну $t = a^x$ з умовою $t > 0$ і розв’яжи рівняння відносно $t$ .
5.Розв’яжи отримане рівняння чи нерівність
Розв’яжи лінійне або квадратне рівняння відносно показника. Якщо була заміна, повернися до неї: розв’яжи $a^x = t$ для кожного $t > 0$ , а значення $t \le 0$ відкинь.
6.Запиши відповідь у потрібному вигляді
Для нерівності запиши проміжок із правильними дужками. У завданні з вибором відповіді порівняй число або проміжок із варіантами і перевір, що не переплутав знак.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Рівняння з різними основами
Розв’яжи рівняння $25^{x-1} = 5^{x+3}$ .
2.Нерівність з основою між нулем і одиницею
Розв’яжи нерівність $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1} < \dfrac{1}{27}$ .
3.Заміна змінної
Розв’яжи рівняння $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 ={}$ $0$ .
4.Спільний множник за дужки
Розв’яжи рівняння $3^{x+1} + 3^x = 108$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 11

Завдання 11. (0–1)

Якому проміжку належить корінь рівняння

\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 7} = \sqrt{3}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 11. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 11

Завдання 11. (0–1)

Розв’яжіть систему нерівностей

\begin{cases} 5^x < 25, \\ 2 - x < 8. \end{cases}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 11. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Розв’яжіть рівняння

3^x = 81 \cdot 9^x

Завдання 11 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Розв’яжіть рівняння

2^{x - 4} = 8

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

Розв’яжіть нерівність

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} > \dfrac{9}{4}

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Прирівнювати показники, поки основи різні. Щоб розв’язати $4^{x} = 8^{x-1}$ , спершу запиши обидва числа як степені двійки: $2^{2x} = 2^{3(x-1)}$ , і лише тоді прирівнюй показники.
Не змінити знак нерівності при основі між нулем і одиницею. Нерівність $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} > 8$ означає $x < -3$ , а не $x > -3$ .
Залишити в заміні від’ємне значення $t$ . Рівняння $2^x = -1$ не має коренів, тому значення $t = -1$ відкидають, навіть якщо воно є коренем квадратного рівняння.
Записати $3^{x+1}$ як $3^x + 1$ . Правильно: $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$ . Так само $2^x + 2^x$ дорівнює $2 \cdot 2^x = 2^{x+1}$ , а не $2^{2x}$ .

Запам’ятай

При $a > 0$ , $a \ne 1$ : $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ рівносильно $f(x) = g(x)$ .
Нерівність: основа більша за $1$ — знак той самий, між $0$ і $1$ — знак змінюється.
Степінь з додатною основою завжди додатний: $a^x = -2$ коренів не має.
У заміні $t = a^x$ завжди $t > 0$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Степеніс. 2

На сторінці 2 довідкових матеріалів, у блоці «Степені», є всі властивості, потрібні для зведення до однієї основи:

a^x \cdot a^y ={}

a^{x+y}

\dfrac{a^x}{a^y} ={}

a^{x-y}

(a^x)^y = a^{xy}

(ab)^x ={}

a^x \cdot b^x

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

a^{\frac{m}{n}} ={}

\sqrt[n]{a^m}

Чого на аркуші немає: правила «

a^{f(x)} = a^{g(x)}

рівносильно

f(x) = g(x)

», правила зміни знака нерівності при

0 < a < 1

і прийому заміни

t = a^x

. Їх потрібно знати напам’ять.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Що таке показникове рівняння?+
Відп.:Це рівняння, у якому невідоме стоїть у показнику степеня: $2^{x-1} = 8$ , $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 ={}$ $0$ . Основа в таких рівняннях стала, додатна й не дорівнює одиниці. Розв’язування зводиться до того, щоб звести степені до однієї основи або ввести нову змінну.
2.Чому рівняння $2^x = -4$ не має коренів?+
Відп.:Степінь із додатною основою завжди додатний, при будь-якому показнику. Тому $2^x$ не може дорівнювати ні від’ємному числу, ні нулю. Це правило допомагає швидко відкидати сторонні значення в заміні $t = 2^x$ .
3.Коли в показниковій нерівності змінюється знак?+
Відп.:Лише тоді, коли основа лежить між нулем і одиницею. Тоді показникова функція спадна: більшому показнику відповідає менше значення степеня, тому знак нерівності між показниками протилежний. При основі, більшій за одиницю, знак лишається тим самим.
4.Як розв’язати рівняння, у якому є $4^x$ і $2^x$ ?+
Відп.:Запиши $4^x$ як $(2^x)^2$ і введи нову змінну $t = 2^x$ з умовою $t > 0$ . Рівняння перетвориться на квадратне. Розв’яжи його, відкинь значення $t \le 0$ , а для решти розв’яжи рівняння $2^x = t$ .
5.Чи є формули показникових рівнянь у довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Є властивості степенів: на сторінці 2, у блоці «Степені». Правил розв’язування показникових рівнянь і нерівностей там немає, як і правила зміни знака. Їх треба знати самому, тому вони зібрані в розділі «Головне» на цій сторінці.
6.У яких завданнях НМТ є показникові вирази?+
Відп.:У 2024–2026 роках показникові рівняння і нерівності були у завданнях 11 і 14 із вибором відповіді. У 2025 році показниковий вираз стояв і в завданні 22 з параметром. В оприлюднених тестах 2023 року окремого завдання на показникові рівняння чи нерівності не було.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Показникові рівняння і нерівності: як розв’язувати на НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Зведи степені до однієї основи

2.Спрости обидві частини

3.Прирівняй показники або порівняй їх

4.Якщо основи не зводяться до однієї

5.Розв’яжи отримане рівняння чи нерівність

6.Запиши відповідь у потрібному вигляді

Приклади

1.Рівняння з різними основами

2.Нерівність з основою між нулем і одиницею

3.Заміна змінної

4.Спільний множник за дужки