Що таке ОДЗ логарифмічного рівняння і навіщо вона потрібна?

ОДЗ — це всі значення змінної, при яких кожен логарифм у рівнянні існує: вираз під логарифмом додатний, основа додатна й не дорівнює одиниці. Під час розв’язування рівняння ОДЗ може розширитися, тож після нього можуть з’явитися сторонні корені. Перевірка кореня на ОДЗ їх відсіває.

Чому після розв’язування логарифмічного рівняння треба перевіряти корені?

Бо властивості логарифмів, наприклад перехід від суми логарифмів до логарифма добутку, розширюють ОДЗ. Квадратне рівняння, яке виходить після такого переходу, може мати корінь, при якому початкові логарифми не існують. Такий корінь не є розв’язком початкового рівняння і його відкидають.

Коли в логарифмічній нерівності змінюється знак?

Лише тоді, коли основа лежить між нулем і одиницею. Тоді логарифмічна функція спадна: більшому аргументу відповідає менше значення логарифма. При основі, більшій за одиницю, функція зростає, і знак нерівності не змінюється. В обох випадках аргумент має бути додатним.

Як розв’язати рівняння $\log_a f(x) = c$?

За означенням логарифма запиши $f(x) = a^c$ і розв’яжи отримане рівняння без логарифма. Потім перевір ОДЗ: $f(x) > 0$. Наприклад, рівняння $\log_2 x = 5$ дає $x = 2^5 = 32$, і $32 > 0$, тож корінь підходить.

Які формули логарифмів є в довідкових матеріалах НМТ?

На сторінці 2 є основна логарифмічна тотожність, $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$, логарифм добутку, частки і степеня та формула для основи $a^k$. Формули переходу до нової основи немає, її треба знати самому або обходитися без неї.

У яких завданнях НМТ є логарифмічні рівняння та нерівності?

У 2023–2026 роках вони були щороку: це завдання 14 або 15 з вибором відповіді, а також завдання 22 з параметром, де логарифм стоїть усередині рівняння (2024 і 2026 роки). У 2026 році логарифм був ще й у системі завдання 15 варіанта 2.

Що означає запис $\lg x$?

Це десятковий логарифм: $\lg x = \log_{10} x$. Такий запис трапляється, наприклад, у завданні 22 варіанта 2 тесту 2024 року. Для $\lg x$ діють ті самі властивості й та сама ОДЗ ($x > 0$), що й для логарифма з будь-якою іншою основою.

НМТ 2027 · математика

Логарифмічні рівняння і нерівності: ОДЗ, приклади, завдання НМТ

У логарифмічному рівнянні невідоме стоїть під знаком логарифма. Розв’язання завжди складається з двох частин: знайти область допустимих значень (ОДЗ) і позбутися логарифмів. Для нерівності ще треба подивитися на основу: якщо вона між нулем і одиницею, знак змінюється. На НМТ такі завдання трапляються щороку, найчастіше з вибором відповіді, а іноді всередині завдання 22. Тут є правила, метод, приклади і справжні завдання з НМТ.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 14 і 15, а іноді й усередині завдання 22.

Програма ЗНО з математики

Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: щороку 2023–2026

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

За означенням логарифма $\log_a b = c$ рівносильно $a^c = b$ , де $a > 0$ , $a \ne 1$ і $b > 0$ . Логарифм визначений тільки для додатного числа, а основа додатна й не дорівнює одиниці.
Область допустимих значень (ОДЗ) треба знайти першою: усе, що стоїть під знаком логарифма, має бути більшим за нуль, а основа — додатною й відмінною від одиниці. Корінь, який не входить в ОДЗ, — сторонній, його відкидають.
Два основні види рівнянь: $\log_a f(x) = c$ дає $f(x) = a^c$ , а $\log_a f(x) ={}$ $\log_a g(x)$ дає $f(x) = g(x)$ . Після цього кожен корінь перевір на ОДЗ.
Властивості логарифмів з довідкових матеріалів: $a^{\log_a b} = b$ , $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ , $\log_a(b \cdot c) ={}$ $\log_a b + \log_a c$ , $\log_a \dfrac{b}{c} ={}$ $\log_a b - \log_a c$ , $\log_a b^n ={}$ $n \log_a b$ і $\log_{a^k} b ={}$ $\dfrac{1}{k} \log_a b$ .
Сума логарифмів стає логарифмом добутку, але ОДЗ при цьому розширюється. Вираз $\log_3 x + \log_3 (x-2)$ існує лише при $x > 2$ , а для добутку $x(x-2) > 0$ досить і $x < 0$ . Тому після такого перетворення сторонні корені особливо ймовірні.
Для нерівності $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ знак залежить від основи. При $a > 1$ вона рівносильна умові $f(x) > g(x) > 0$ , а при $0 < a < 1$ — умові $0 < f(x) < g(x)$ . У другому випадку знак змінюється.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Знайди ОДЗ
Випиши умови: вираз під кожним логарифмом більший за нуль, основа додатна й відмінна від одиниці. Розв’яжи ці нерівності й запиши ОДЗ — кожен корінь потім перевіряй на ній.
2.Зведи до простого вигляду
За властивостями логарифмів збери ліву і праву частини в один логарифм з однією основою: $\log_a f(x) = c$ або $\log_a f(x) ={}$ $\log_a g(x)$ . Число $c$ за потреби запиши як логарифм: $c = \log_a a^c$ .
3.Позбудься логарифмів
З рівності $\log_a f(x) = c$ маємо $f(x) = a^c$ , а з рівності двох логарифмів з однією основою — $f(x) = g(x)$ . У нерівності подивись на основу: при $0 < a < 1$ знак змінюється.
4.Розв’яжи отримане рівняння або нерівність
Тепер це лінійне або квадратне рівняння (нерівність) без логарифмів. Розв’яжи його звичайним способом і знайди всі корені.
5.Перевір ОДЗ
Підстав кожен корінь в умови ОДЗ і відкинь ті, що їм не відповідають. У нерівності знайди перетин отриманого розв’язку з ОДЗ.
6.Запиши відповідь
Для нерівності запиши проміжок із правильними дужками: круглі біля значень, які не входять у розв’язок, квадратні біля тих, що входять. У завданні з вибором відповіді порівняй результат із варіантами.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Рівняння $\log_a f(x) = c$
Розв’яжи рівняння $\log_4(2x - 6) = 2$ і перевір, чи корінь належить ОДЗ.
2.Сума логарифмів і сторонній корінь
Розв’яжи рівняння $\log_3 x +{}$ $\log_3 (x-2) ={}$ $1$ .
3.Нерівність з основою, більшою за одиницю
Розв’яжи нерівність $\log_5(2x - 1) \le 1$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 15

Завдання 15. (0–1)

Розв’яжіть нерівність

\log_{0{,}3}(x + 3) > \log_{0{,}3}4

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 15. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 1, завдання 14

Завдання 14. (0–1)

Позначте проміжок, якому належить корінь рівняння

1 - \log_{0{,}5} x = 3

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 14. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–2)

Розв’яжіть рівняння

\log_{2}(x - 7) = 2

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 2. (0–2)

Розв’яжіть рівняння

\log_{2}(x - 4) = 6

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–1)

Розв’яжіть нерівність

\log_{0{,}5}(x + 2) > -1

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Не знайти ОДЗ і залишити сторонній корінь. Рівняння $\log_3 x +{}$ $\log_3(x-2) ={}$ $1$ після перетворення дає $x = -1$ і $x = 3$ , але логарифм від’ємного числа не існує, тому $-1$ відкидають.
Не змінити знак нерівності при основі між нулем і одиницею. При $0 < a < 1$ з $\log_a f > \log_a g$ випливає $f < g$ , а не $f > g$ .
Забути про ОДЗ у нерівності. Якщо після розв’язання вийшло $x < 5$ , а ОДЗ має вигляд $x > 1$ , то відповідь — $(1; 5)$ , а не $(-\infty; 5)$ : розв’язок перетинають з ОДЗ.
Записати $\log_a (b + c) ={}$ $\log_a b + \log_a c$ . Властивість працює лише для добутку: $\log_a (b \cdot c) ={}$ $\log_a b + \log_a c$ . Для суми аргументів формули немає.
Помилитися зі степенем при від’ємному показнику. Для основи $\dfrac{1}{2}$ маємо $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 4$ , а не $\dfrac{1}{4}$ .

Запам’ятай

$\log_a b = c$ рівносильно $a^c = b$ при $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ .
Спочатку ОДЗ, потім розв’язання, потім перевірка кореня на ОДЗ.
Основа $a > 1$ — знак нерівності лишається, $0 < a < 1$ — змінюється.
Сума логарифмів — це логарифм добутку, але ОДЗ береться для кожного логарифма окремо.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Логарифмис. 2
Квадратне рівнянняс. 2

У блоці «Логарифми» на сторінці 2 довідкових матеріалів є умови

a > 0

a \ne 1

b > 0

c > 0

k \ne 0

; основна логарифмічна тотожність

a^{\log_a b} = b

;

\log_a a = 1

\log_a 1 = 0

; логарифм добутку, частки і степеня; формула

\log_{a^k} b ={}

\dfrac{1}{k} \log_a b

. Блок «Квадратне рівняння» на тій самій сторінці дає дискримінант і формули коренів, які потрібні, коли рівняння зводиться до квадратного.

Чого на аркуші немає: правил пошуку ОДЗ, формули переходу до нової основи

\log_a b ={}

\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

і правила зміни знака нерівності при основі між нулем і одиницею. Їх треба знати напам’ять.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Що таке ОДЗ логарифмічного рівняння і навіщо вона потрібна?+
Відп.:ОДЗ — це всі значення змінної, при яких кожен логарифм у рівнянні існує: вираз під логарифмом додатний, основа додатна й не дорівнює одиниці. Під час розв’язування рівняння ОДЗ може розширитися, тож після нього можуть з’явитися сторонні корені. Перевірка кореня на ОДЗ їх відсіває.
2.Чому після розв’язування логарифмічного рівняння треба перевіряти корені?+
Відп.:Бо властивості логарифмів, наприклад перехід від суми логарифмів до логарифма добутку, розширюють ОДЗ. Квадратне рівняння, яке виходить після такого переходу, може мати корінь, при якому початкові логарифми не існують. Такий корінь не є розв’язком початкового рівняння і його відкидають.
3.Коли в логарифмічній нерівності змінюється знак?+
Відп.:Лише тоді, коли основа лежить між нулем і одиницею. Тоді логарифмічна функція спадна: більшому аргументу відповідає менше значення логарифма. При основі, більшій за одиницю, функція зростає, і знак нерівності не змінюється. В обох випадках аргумент має бути додатним.
4.Як розв’язати рівняння $\log_a f(x) = c$ ?+
Відп.:За означенням логарифма запиши $f(x) = a^c$ і розв’яжи отримане рівняння без логарифма. Потім перевір ОДЗ: $f(x) > 0$ . Наприклад, рівняння $\log_2 x = 5$ дає $x = 2^5 = 32$ , і $32 > 0$ , тож корінь підходить.
5.Які формули логарифмів є в довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:На сторінці 2 є основна логарифмічна тотожність, $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ , логарифм добутку, частки і степеня та формула для основи $a^k$ . Формули переходу до нової основи немає, її треба знати самому або обходитися без неї.
6.У яких завданнях НМТ є логарифмічні рівняння та нерівності?+
Відп.:У 2023–2026 роках вони були щороку: це завдання 14 або 15 з вибором відповіді, а також завдання 22 з параметром, де логарифм стоїть усередині рівняння (2024 і 2026 роки). У 2026 році логарифм був ще й у системі завдання 15 варіанта 2.
7.Що означає запис $\lg x$ ?+
Відп.:Це десятковий логарифм: $\lg x = \log_{10} x$ . Такий запис трапляється, наприклад, у завданні 22 варіанта 2 тесту 2024 року. Для $\lg x$ діють ті самі властивості й та сама ОДЗ ( $x > 0$ ), що й для логарифма з будь-якою іншою основою.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Логарифмічні рівняння і нерівності: ОДЗ, приклади, завдання НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Знайди ОДЗ

2.Зведи до простого вигляду

3.Позбудься логарифмів

4.Розв’яжи отримане рівняння або нерівність

5.Перевір ОДЗ

6.Запиши відповідь

Приклади

1.Рівняння log⁡af(x)=c\log_a f(x) = cloga​f(x)=c

2.Сума логарифмів і сторонній корінь

3.Нерівність з основою, більшою за одиницю