Що таке модуль числа?

Це відстань від числа до нуля на числовій прямій: $|5| = 5$ і $|{-}5| = 5$, бо обидва числа віддалені від нуля на $5$ одиниць. За означенням $|a| = a$ для невід’ємного $a$ і $|a| = -a$ для від’ємного. Тому модуль числа ніколи не буває від’ємним.

Як розв’язати рівняння $|x - a| = b$?

Якщо $b > 0$, то $x - a = b$ або $x - a = -b$, тобто $x = a \pm b$ — числа, віддалені від $a$ на $b$. Якщо $b = 0$, корінь один, $x = a$. Якщо $b < 0$, розв’язків немає. Наприклад, $|x - 4| = 6$ дає $x = 10$ або $x = -2$.

Чим відрізняється $|x| a$?

Перша нерівність шукає точки, близькі до нуля: $-a a$, два промені. Якщо сумніваєшся, підстав $x = 0$: нерівність $|x| 0$ виконується, а $|x| > a$ — ні.

Як розв’язувати рівняння з двома модулями?

Розбий числову пряму нулями підмодульних виразів і розкрий модулі на кожному проміжку. Для $|x - 1| + |x + 2| = 5$ нулі $1$ і $-2$ дають три проміжки. На $x < -2$ рівняння стає $-2x - 1 = 5$, $x = -3$. На $[-2; 1)$ — $3 = 5$, коренів немає. На $x \geqslant 1$ — $2x + 1 = 5$, $x = 2$. Коренів два: $-3$ і $2$.

Чи є модуль у довідкових матеріалах НМТ?

Так, але лише означення: на сторінці 2 у блоці «Модуль числа» записано $|a| = a$ при $a \geqslant 0$ і $|a| = -a$ при $a < 0$. У блоці «Степені» є рівність $\sqrt{a^2} = |a|$. Правил розв’язування рівнянь і нерівностей з модулем там немає, їх треба вміти вивести з означення.

Чому $\sqrt{a^2} = |a|$, а не просто $a$?

Корінь за означенням невід’ємний, а $a$ може бути від’ємним. Для $a = -4$ маємо $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$, а це $|{-}4|$, не $-4$. Тому, добуваючи корінь із квадрата виразу, завжди пиши модуль, а потім розкривай його за знаком.

У яких завданнях НМТ був модуль?

У тестах 2023–2026 років він є щороку: у завданнях на значення виразу (14 і 17), у рівнянні чи нерівності з вибором відповіді (завдання 3 і 5) і в завданні 22 з параметром, де рівняння містить $|4x + 5a - 3|$. Параметри — окрема складна тема, і вона має власну сторінку.

НМТ 2027 · математика

Модуль числа: рівняння й нерівності з модулем на НМТ

Q: Чим відрізняється $|x| a$?

Перша нерівність шукає точки, близькі до нуля: $-a a$, два промені. Якщо сумніваєшся, підстав $x = 0$: нерівність $|x| 0$ виконується, а $|x| > a$ — ні.

Q: Чи є модуль у довідкових матеріалах НМТ?

Так, але лише означення: на сторінці 2 у блоці «Модуль числа» записано $|a| = a$ при $a \geqslant 0$ і $|a| = -a$ при $a < 0$. У блоці «Степені» є рівність $\sqrt{a^2} = |a|$. Правил розв’язування рівнянь і нерівностей з модулем там немає, їх треба вміти вивести з означення.

Q: Чому $\sqrt{a^2} = |a|$, а не просто $a$?

Корінь за означенням невід’ємний, а $a$ може бути від’ємним. Для $a = -4$ маємо $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$, а це $|{-}4|$, не $-4$. Тому, добуваючи корінь із квадрата виразу, завжди пиши модуль, а потім розкривай його за знаком.

Q: У яких завданнях НМТ був модуль?

У тестах 2023–2026 років він є щороку: у завданнях на значення виразу (14 і 17), у рівнянні чи нерівності з вибором відповіді (завдання 3 і 5) і в завданні 22 з параметром, де рівняння містить $|4x + 5a - 3|$. Параметри — окрема складна тема, і вона має власну сторінку.

Модуль числа $|a|$ — це його відстань від нуля на числовій прямій, тому він ніколи не буває від’ємним. На НМТ модуль стоїть щороку: у значенні числового виразу, у простому рівнянні чи нерівності, іноді в завданні з параметром. Усе зводиться до двох речей: вміти розкрити модуль за означенням і знати, що $|x| = a$ , $|x| < a$ і $|x| > a$ розв’язують по-різному. Нижче — правила, метод, приклади і справжні завдання з тестів НМТ.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 3, 5, 14, 17 і 22: значення виразу, рівняння, нерівність і параметр.

Програма ЗНО з математики

Числа і вирази · Дійсні числа (натуральні, раціональні та ірраціональні), порівняння чисел та дії з ними · с. 2
Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: щороку 2023–2026

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Означення: $|a| = a$ , якщо $a \geqslant 0$ , і $|a| = -a$ , якщо $a < 0$ . Наприклад, $|5| = 5$ , $|{-}5| = 5$ , $|0| = 0$ . Модуль завжди невід’ємний.
Геометричний зміст: $|a|$ — відстань від числа $a$ до нуля, а $|a - b|$ — відстань між числами $a$ і $b$ . Тому рівняння $|x - 2| = 3$ шукає числа, віддалені від $2$ на $3$ .
Властивості: $|{-a}| = |a|$ , $|ab| ={}$ $|a| \cdot |b|$ , $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ , $\sqrt{a^2} = |a|$ . Для суми й різниці рівності немає: $|a + b| \neq |a| + |b|$ у загальному випадку.
Рівняння $|x| = a$ : якщо $a > 0$ , то $x = a$ або $x = -a$ ; якщо $a = 0$ , то $x = 0$ ; якщо $a < 0$ , розв’язків немає, бо модуль не буває від’ємним.
Нерівності. При $a > 0$ нерівність $|x| < a$ рівносильна $-a < x < a$ (відстань менша за $a$ ), а нерівність $|x| > a$ — сукупності $x < -a$ або $x > a$ (відстань більша за $a$ ). Для $|f(x)|$ замість $x$ підстав $f(x)$ .
Рівняння $|f(x)| = g(x)$ : розв’яжи $f(x) = g(x)$ та $f(x) = -g(x)$ і залиш лише ті розв’язки, для яких $g(x) \geqslant 0$ . Перевірка правої частини обов’язкова.
Кілька модулів. Знайди нулі виразів під модулями, поділи ними числову пряму на проміжки, на кожному розкрий модулі за знаком і розв’яжи рівняння на цьому проміжку. Розв’язком є лише ті корені, що потрапили у свій проміжок.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Визнач, що треба знайти
Це значення виразу з модулем, рівняння, нерівність чи система? Від цього залежить, чи розкриваєш модуль за означенням, чи переходиш до рівносильних рівностей і нерівностей.
2.Розкрий модуль за означенням або спрости
У числовому виразі визнач знак підмодульного числа: $\left|1 - \sqrt{3}\right| = \sqrt{3} - 1$ , бо $\sqrt{3} > 1$ , і різниця від’ємна. Підмодульний вираз зі змінною розкривають на проміжках, де його знак сталий.
3.Перейди до рівносильного запису
Для $|f| = a$ запиши $f = \pm a$ ; для $|f| < a$ — $-a < f < a$ ; для $|f| > a$ — $f < -a$ або $f > a$ . Далі розв’язуй звичайні лінійні чи квадратні рівняння й нерівності.
4.Розв’яжи й виконай перевірку
Знайди корені чи проміжки. Якщо права частина рівняння містить змінну, перевір кожен корінь: права частина в ньому має бути невід’ємною, а сам корінь — відповідати знаку, за яким ти розкрив модуль.
5.Запиши відповідь
Для нерівності запиши відповідь проміжком чи об’єднанням проміжків і подивись на кінці: чи входить кінець (квадратна дужка), чи ні (кругла). Для рівняння — усі корені, а на НМТ із вибором відповіді — перевір, який з варіантів справді є коренем.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Розкриття модуля в числовому виразі
Спрости вираз $\left|2\sqrt{3} - 4\right|$ .
2.Рівняння $|f(x)| = a$
Розв’яжи рівняння $|2x - 5| = 7$ і знайди суму його коренів.
3.Нерівності з модулем
Розв’яжи нерівності: а) $|x - 3| < 4$ ; б) $|x + 1| \geqslant 2$ .
4.Модуль дорівнює виразу зі змінною
Розв’яжи рівняння $|x - 1| = 2x - 5$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 5

Завдання 5. (0–1)

Яке з наведених чисел є коренем рівняння

|3x + 2| = 2

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 5. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 2, завдання 3

Завдання 3. (0–1)

Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності

|{-}2x - 3| > 5

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 3. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

|5^{-1} - 3| =

Завдання 14 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Обчисліть значення виразу

|x - 6| + |x + 5|

, якщо

x = -7

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–1)

Обчисліть значення виразу

|x - 2| + |x + 7|

, якщо

x = -9

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Вважати, що $|a - b| = |a| - |b|$ . Для $a = 2$ і $b = 5$ ліва частина дорівнює $|{-}3| = 3$ , а права — $2 - 5 = -3$ . Модуль різниці — це відстань між числами, а не різниця модулів.
Розв’язувати $|x| = -3$ і писати $x = \pm 3$ . Модуль не дорівнює від’ємному числу, тому розв’язків немає.
Записувати $|x| > a$ як $-a < x < a$ . Це розв’язок протилежної нерівності $|x| < a$ . Нерівність «більше» дає два промені: $x < -a$ та $x > a$ .
Розкрити модуль з неправильним знаком: $\left|1 - \sqrt{3}\right| = 1 - \sqrt{3}$ . Число $1 - \sqrt{3}$ від’ємне, тому правильно $\sqrt{3} - 1$ . Спершу визнач знак числа під модулем.
Не перевірити знак правої частини в $|f(x)| = g(x)$ і залишити сторонній корінь. Якщо $g(x) < 0$ у знайденій точці, рівняння там не виконується.

Запам’ятай

$|a| = a$ при $a \geqslant 0$ ; $|a| = -a$ при $a < 0$ ; $|a| \geqslant 0$ .
$|x| = a$ ( $a > 0$ ): $x = \pm a$ . $|x| < a$ : $-a < x < a$ . $|x| > a$ : $x < -a$ або $x > a$ .
$|f| = g$ : $f = \pm g$ і $g \geqslant 0$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ ; $|ab| = |a||b|$ .

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Модуль числас. 2
Степеніс. 2

На сторінці 2 довідкових матеріалів є блок «Модуль числа» з означенням

|a| = a

при

a \geqslant 0

|a| = -a

при

a < 0

, а в блоці «Степені» — рівність

\sqrt{a^2} = |a|

. Цього достатньо, щоб розкрити будь-який модуль у числовому виразі.

Чого немає: геометричного змісту модуля, властивостей

|ab| = |a||b|

\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}

, правил розв’язування

|x| = a

|x| < a

та

|x| > a

, методу проміжків для кількох модулів. Усе це випливає з означення, але це треба знати напам’ять або вміти швидко відновити.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Що таке модуль числа?+
Відп.:Це відстань від числа до нуля на числовій прямій: $|5| = 5$ і $|{-}5| = 5$ , бо обидва числа віддалені від нуля на $5$ одиниць. За означенням $|a| = a$ для невід’ємного $a$ і $|a| = -a$ для від’ємного. Тому модуль числа ніколи не буває від’ємним.
2.Як розв’язати рівняння $|x - a| = b$ ?+
Відп.:Якщо $b > 0$ , то $x - a = b$ або $x - a = -b$ , тобто $x = a \pm b$ — числа, віддалені від $a$ на $b$ . Якщо $b = 0$ , корінь один, $x = a$ . Якщо $b < 0$ , розв’язків немає. Наприклад, $|x - 4| = 6$ дає $x = 10$ або $x = -2$ .
3.Чим відрізняється $|x| < a$ від $|x| > a$ ?+
Відп.:Перша нерівність шукає точки, близькі до нуля: $-a < x < a$ , один проміжок. Друга — точки, віддалені від нуля: $x < -a$ або $x > a$ , два промені. Якщо сумніваєшся, підстав $x = 0$ : нерівність $|x| < a$ при $a > 0$ виконується, а $|x| > a$ — ні.
4.Як розв’язувати рівняння з двома модулями?+
Відп.:Розбий числову пряму нулями підмодульних виразів і розкрий модулі на кожному проміжку. Для $|x - 1| + |x + 2| = 5$ нулі $1$ і $-2$ дають три проміжки. На $x < -2$ рівняння стає $-2x - 1 = 5$ , $x = -3$ . На $[-2; 1)$ — $3 = 5$ , коренів немає. На $x \geqslant 1$ — $2x + 1 = 5$ , $x = 2$ . Коренів два: $-3$ і $2$ .
5.Чи є модуль у довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Так, але лише означення: на сторінці 2 у блоці «Модуль числа» записано $|a| = a$ при $a \geqslant 0$ і $|a| = -a$ при $a < 0$ . У блоці «Степені» є рівність $\sqrt{a^2} = |a|$ . Правил розв’язування рівнянь і нерівностей з модулем там немає, їх треба вміти вивести з означення.
6.Чому $\sqrt{a^2} = |a|$ , а не просто $a$ ?+
Відп.:Корінь за означенням невід’ємний, а $a$ може бути від’ємним. Для $a = -4$ маємо $\sqrt{(-4)^2} ={}$ $\sqrt{16} ={}$ $4$ , а це $|{-}4|$ , не $-4$ . Тому, добуваючи корінь із квадрата виразу, завжди пиши модуль, а потім розкривай його за знаком.
7.У яких завданнях НМТ був модуль?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років він є щороку: у завданнях на значення виразу (14 і 17), у рівнянні чи нерівності з вибором відповіді (завдання 3 і 5) і в завданні 22 з параметром, де рівняння містить $|4x + 5a - 3|$ . Параметри — окрема складна тема, і вона має власну сторінку.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Модуль числа: рівняння й нерівності з модулем на НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Визнач, що треба знайти

2.Розкрий модуль за означенням або спрости

3.Перейди до рівносильного запису

4.Розв’яжи й виконай перевірку

5.Запиши відповідь

Приклади

1.Розкриття модуля в числовому виразі

2.Рівняння ∣f(x)∣=a|f(x)| = a∣f(x)∣=a

3.Нерівності з модулем

4.Модуль дорівнює виразу зі змінною