Як відрізнити арифметичну прогресію від геометричної?

Знайди різницю сусідніх членів і їх відношення. Якщо стала різниця, прогресія арифметична: $2, 5, 8, 11, \ldots$ з $d = 3$. Якщо стале відношення, вона геометрична: $2, 6, 18, 54, \ldots$ з $q = 3$. Постійна різниця й постійне відношення разом бувають лише у сталої прогресії.

Як знайти різницю арифметичної прогресії за двома членами?

Поділи різницю членів на кількість кроків між ними: $d = \dfrac{a_n - a_k}{n - k}$. Наприклад, якщо $a_2 = 5$ і $a_6 = 17$, то між ними чотири кроки, тому $d = \dfrac{17 - 5}{4} = 3$.

Яку формулу суми арифметичної прогресії вибрати?

Якщо відомі перший і останній члени, бери $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ — вона є в довідкових матеріалах. Якщо відомі $a_1$, $d$ і $n$, спершу знайди $a_n$ за формулою $n$-го члена, а потім підстав у цю саму формулу суми.

Чому в формулі суми геометричної прогресії $q \ne 1$?

У формулі $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q = 1$ знаменник дорівнює нулю, а ділити на нуль не можна. Якщо $q = 1$, усі члени дорівнюють $b_1$, тому суму знаходять множенням: $S_n = n \cdot b_1$.

Які завдання НМТ присвячені прогресіям?

У 2023–2025 роках прогресії траплялися у завданнях 12 (вибір відповіді) і 19 (коротка відповідь). У 2026 році окремого завдання на прогресії не було, але тема лишається в програмі НМТ, тож її варто знати: прогресії можуть повернутися або стояти всередині іншої задачі.

Як знайти кількість членів прогресії?

Підстав відомі члени у формулу $n$-го члена й розв’яжи рівняння відносно $n$. Для арифметичної прогресії це $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$. Результат має бути натуральним числом: якщо вийшов дріб, у обчисленні є помилка.

НМТ 2027 · математика

Арифметична і геометрична прогресії: формули і завдання НМТ

Прогресія — це послідовність, у якій кожний наступний член утворюється з попереднього за одним правилом: додаванням того самого числа (арифметична прогресія) або множенням на те саме число (геометрична прогресія). На НМТ прогресії ставлять у завданнях 12 і 19: від підстановки у формулу до задачі про суму членів. Тут зібрано формули, метод крок за кроком, приклади з розв’язаннями і справжні завдання тесту НМТ.

На НМТ: у 3 з 4 років (2023–2025) — у завданнях 12 і 19; у 2026 році окремого завдання на прогресії не було.

Головне

це треба вміти

У арифметичній прогресії кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне й те саме число $d$ — різницю прогресії. У геометричній прогресії кожний член дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число $q$ — знаменник прогресії; при цьому $b_1 \ne 0$ і $q \ne 0$ .
Арифметична прогресія: $a_n = a_1 + d(n-1)$ — формула $n$ -го члена, $S_n ={}$ $\dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ — сума $n$ перших членів. Якщо $d > 0$ , прогресія зростає, якщо $d < 0$ — спадає.
Геометрична прогресія: $b_n ={}$ $b_1 \cdot q^{n-1}$ і $S_n ={}$ $\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q \ne 1$ . Якщо $q < 0$ , знаки членів чергуються. Якщо $q = 1$ , усі члени рівні, і тоді $S_n = n \cdot b_1$ .
Різниця двох членів арифметичної прогресії залежить лише від того, скільки кроків між ними: $a_n - a_k = (n-k)d$ . У геометричній прогресії так само $b_n ={}$ $b_k \cdot q^{n-k}$ . Цих рівностей немає на аркуші формул, але вони випливають з формули $n$ -го члена.
Сума перших $n$ членів і сума перших $n-1$ членів відрізняються на один член: $S_n - S_{n-1} = a_n$ при $n \ge 2$ ; так само для геометричної прогресії. Цей прийом розв’язує задачі, у яких дано дві суми.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Визнач вид прогресії
Знайди різницю двох сусідніх членів. Якщо вона завжди та сама, прогресія арифметична. Якщо стале відношення сусідніх членів, прогресія геометрична. Умова часто сама називає вид прогресії.
2.Випиши, що дано і що шукають
Для арифметичної прогресії це $a_1$ , $d$ , $n$ , $a_n$ , $S_n$ , для геометричної — $b_1$ , $q$ , $n$ , $b_n$ , $S_n$ . Зазвичай відомі три з цих п’яти величин, а решту знаходять за формулами.
3.Склади рівняння, якщо не вистачає даних
Якщо невідомі $a_1$ або $d$ , запиши два відомих члени через формулу $n$ -го члена або скористайся різницею $a_n - a_k = (n-k)d$ . Для двох сум перших членів скористайся різницею $S_n - S_{n-1}$ .
4.Підстав у формулу й обчисли
Підстав числа у формулу $n$ -го члена чи суми. Від’ємні числа бери в дужки, особливо знаменник $q < 0$ при піднесенні до степеня: $(-2)^4 = 16$ , тоді як $-2^4 = -16$ .
5.Перевір відповідь
Подивись, чи знак результату узгоджується з поведінкою прогресії: зростає вона чи спадає, чи чергуються знаки. Для малих $n$ випиши члени по одному й порівняй їх з відповіддю.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Різниця і перший член за двома членами
В арифметичній прогресії $a_3 = 7$ і $a_8 = 27$ . Знайди різницю $d$ , перший член $a_1$ і двадцятий член $a_{20}$ .
2.Сума членів, що утворюють прогресію
Знайди суму всіх натуральних двоцифрових чисел, які діляться на $7$ .
3.Геометрична прогресія за двома членами
У геометричній прогресії $b_2 = 6$ і $b_5 = 162$ . Знайди знаменник $q$ , перший член $b_1$ і суму перших чотирьох членів.
4.Шуканий член через дві суми
Сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює $364$ , а сума перших п’яти членів дорівнює $121$ . Обчисли шостий член $b_6$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 12

Завдання 12. (0–1)

В арифметичній прогресії

(a_n)

відомо, що

a_6 - a_1 = -30

. Обчисліть значення виразу

a_6 - a_4

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 12. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 2, завдання 19

Завдання 19. (0–2)

Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам’ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня – на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам’ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови?

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 19. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

В арифметичній прогресії

(a_n)

відомо, що

a_1 = 11

d = 5

. Визначте

a_{18}

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 2. (0–1)

У геометричній прогресії

(b_n)

відомо, що

b_1 = 5

q = -3

. Визначте

b_{6}

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–3)

В арифметичній прогресії

(a_n)

відомо, що

a_1 = 9

d = 4

. Узгодьте величину (1–3) з її значенням (А–Д).

a_5

2сума перших чотирьох членів прогресії

a_{10} - a_7

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 4. (0–2)

В арифметичній прогресії

(a_n)

відомо, що

a_1 = -5

d = 6

. Обчисліть суму перших 12 членів цієї прогресії.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Записати $a_n = a_1 + dn$ замість $a_n = a_1 + d(n-1)$ . Від першого члена до $n$ -го лише $n-1$ кроків: для $a_1 = 3$ і $d = 2$ третій член дорівнює $3 + 2 \cdot 2 = 7$ , а не $9$ .
Помилитися з кількістю членів, коли їх рахують за краями. У ряді $5, 8, 11, \ldots, 41$ членів $\dfrac{41 - 5}{3} + 1 ={}$ $13$ , а не $12$ : «+1» додає перший член.
Користуватися формулою суми геометричної прогресії при $q = 1$ . У знаменнику $q - 1$ тоді нуль. Усі члени рівні, тому сума дорівнює $n \cdot b_1$ .
Забути про знак знаменника. Якщо $q < 0$ , знаки членів геометричної прогресії чергуються: непарні члени мають знак $b_1$ , парні — протилежний. Отже, $b_4$ при $b_1 > 0$ і $q < 0$ від’ємний.
У сумі арифметичної прогресії ділити на $2$ лише один доданок. У формулі $S_n ={}$ $\dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ сума $a_1 + a_n$ береться цілою, а потім ділиться на $2$ і множиться на $n$ .

Запам’ятай

Арифметична: $a_n = a_1 + d(n-1)$ і $S_n ={}$ $\dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ .
Геометрична: $b_n ={}$ $b_1 \cdot q^{n-1}$ і $S_n ={}$ $\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ , $q \ne 1$ .
$a_n - a_k = (n-k)d$ і $b_n ={}$ $b_k \cdot q^{n-k}$ : кроки між членами.
$S_n - S_{n-1}$ дорівнює $n$ -му члену.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Арифметична прогресіяс. 2
Геометрична прогресіяс. 2

Обидві пари формул є на сторінці 2 довідкових матеріалів. Для арифметичної прогресії —

a_n = a_1 + d(n-1)

S_n ={}

\dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

, для геометричної —

b_n ={}

b_1 \cdot q^{n-1}

S_n ={}

\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}

з умовою

q \ne 1

Чого на аркуші немає: означень різниці й знаменника, рівності

a_n - a_k = (n-k)d

, другої форми суми

S_n ={}

\dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n

і правила

S_n - S_{n-1} = a_n

. Їх виводиш сам із формул, які є.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як відрізнити арифметичну прогресію від геометричної?+
Відп.:Знайди різницю сусідніх членів і їх відношення. Якщо стала різниця, прогресія арифметична: $2, 5, 8, 11, \ldots$ з $d = 3$ . Якщо стале відношення, вона геометрична: $2, 6, 18, 54, \ldots$ з $q = 3$ . Постійна різниця й постійне відношення разом бувають лише у сталої прогресії.
2.Як знайти різницю арифметичної прогресії за двома членами?+
Відп.:Поділи різницю членів на кількість кроків між ними: $d ={}$ $\dfrac{a_n - a_k}{n - k}$ . Наприклад, якщо $a_2 = 5$ і $a_6 = 17$ , то між ними чотири кроки, тому $d = \dfrac{17 - 5}{4} = 3$ .
3.Яку формулу суми арифметичної прогресії вибрати?+
Відп.:Якщо відомі перший і останній члени, бери $S_n ={}$ $\dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ — вона є в довідкових матеріалах. Якщо відомі $a_1$ , $d$ і $n$ , спершу знайди $a_n$ за формулою $n$ -го члена, а потім підстав у цю саму формулу суми.
4.Чому в формулі суми геометричної прогресії $q \ne 1$ ?+
Відп.:У формулі $S_n ={}$ $\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q = 1$ знаменник дорівнює нулю, а ділити на нуль не можна. Якщо $q = 1$ , усі члени дорівнюють $b_1$ , тому суму знаходять множенням: $S_n = n \cdot b_1$ .
5.Які завдання НМТ присвячені прогресіям?+
Відп.:У 2023–2025 роках прогресії траплялися у завданнях 12 (вибір відповіді) і 19 (коротка відповідь). У 2026 році окремого завдання на прогресії не було, але тема лишається в програмі НМТ, тож її варто знати: прогресії можуть повернутися або стояти всередині іншої задачі.
6.Як знайти кількість членів прогресії?+
Відп.:Підстав відомі члени у формулу $n$ -го члена й розв’яжи рівняння відносно $n$ . Для арифметичної прогресії це $n ={}$ $\dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$ . Результат має бути натуральним числом: якщо вийшов дріб, у обчисленні є помилка.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Арифметична і геометрична прогресії: формули і завдання НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Визнач вид прогресії

2.Випиши, що дано і що шукають

3.Склади рівняння, якщо не вистачає даних

4.Підстав у формулу й обчисли

5.Перевір відповідь

Приклади

1.Різниця і перший член за двома членами

2.Сума членів, що утворюють прогресію

3.Геометрична прогресія за двома членами

4.Шуканий член через дві суми

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела