Які формули коренів найпростіших тригонометричних рівнянь?

Для косинуса: $t = \pm\alpha + 2\pi k$. Для синуса: $t = (-1)^k\alpha + \pi k$. Для тангенса: $t = \alpha + \pi k$. Тут $t$ — аргумент функції, $\alpha$ — кут, для якого функція дорівнює $a$ (його береш із таблиці), а $k$ — довільне ціле число.

Чи є формули коренів у довідкових матеріалах НМТ?

Ні. На сторінці 23 довідкових матеріалів є лише одиничне коло й таблиця значень синуса, косинуса й тангенса. Формули коренів, періоди та окремі випадки $\sin t = 0$, $\cos t = 0$ треба знати напам’ять.

Як вибрати правильний корінь серед п’яти варіантів?

Запиши загальну формулу коренів і підстав $k = 0$, $k = 1$, $k = -1$, поки не побачиш число з варіантів. Можна й навпаки: підстав кожен варіант у рівняння та перевір, чи виходить потрібне значення функції.

Що робити, якщо в рівнянні аргумент не просто $x$?

Розв’яжи рівняння відносно всього аргументу, а потім вирази з нього $x$. Наприклад, з $\cos 3x = 0$ маємо $3x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, тож $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi k}{3}$. Період ділиться на $3$ разом із кутом.

Як знайти корені рівняння на заданому проміжку?

Запиши загальну формулу коренів і розв’яжи нерівність відносно $k$: з умови, що корінь лежить між кінцями проміжку, знайди всі цілі $k$. Підстав їх у формулу. Для невеликих проміжків простіше перебрати $k = 0, 1, 2$ і відкинути ті корені, що вийшли за межі.

Чи бувають на НМТ тригонометричні нерівності?

У розібраних нами тестах 2023–2026 років таких завдань не було: тригонометрія трапляється як рівняння з вибором кореня й всередині завдань на значення виразів. Програма в одному рядку з рівняннями називає й нерівності, тож відкидати їх зовсім не варто, але в першу чергу відпрацюй рівняння.

НМТ 2027 · математика

Тригонометричні рівняння: найпростіші рівняння і формули коренів

Тригонометричне рівняння на НМТ майже завжди зводиться до найпростішого: $\sin t = a$ , $\cos t = a$ або $\operatorname{tg} t ={}$ $a$ , де праву частину можна взяти з таблиці значень. Далі потрібні формули коренів, уміння розв’язати рівняння відносно $x$ , а не відносно аргументу $mx$ , і звичка підставляти цілі $k$ , щоб вибрати корінь із п’яти варіантів. На цій сторінці є формули, метод, приклади і два справжні завдання УЦОЯО.

На НМТ: у 2 з 4 років (2023 і 2024) — завдання 15 і 14, де треба вибрати корінь рівняння серед п’яти варіантів.

Програма ЗНО з математики

Рівняння, нерівності та їх системи · Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем · с. 3–4

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: у 2 з 4 років

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Найпростіше тригонометричне рівняння має вигляд $\sin t = a$ , $\cos t = a$ або $\operatorname{tg} t ={}$ $a$ , де $t$ — аргумент (це може бути $x$ , $3x$ , $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}$ ). Для синуса й косинуса корені є, лише коли $|a| \le 1$ ; для тангенса — за будь-якого $a$ .
Косинус: $\cos t = a$ має корені $t ={}$ $\pm\alpha + 2\pi k$ , де $\alpha$ — кут із відрізка $[0; \pi]$ , косинус якого дорівнює $a$ , а $k$ — довільне ціле число. Це дві серії коренів, симетричні відносно осі $Ox$ .
Синус: $\sin t = a$ має корені $t ={}$ $(-1)^k\alpha + \pi k$ , де $\alpha$ — кут із відрізка $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ , синус якого дорівнює $a$ . Те саме можна записати двома серіями: $t = \alpha + 2\pi k$ і $t ={}$ $\pi - \alpha + 2\pi k$ (точки $P$ і $Q$ на рисунку).
Тангенс: $\operatorname{tg} t ={}$ $a$ має корені $t = \alpha + \pi k$ , де $\alpha$ — кут із проміжку $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ з тангенсом $a$ . Період тангенса — $\pi$ , тому серія одна, а не дві.
Окремі випадки запам’ятай: $\sin t = 0$ дає $t = \pi k$ , $\sin t = 1$ дає $t ={}$ $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ , $\sin t = -1$ дає $t ={}$ $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ ; $\cos t = 0$ дає $t ={}$ $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$ , $\cos t = 1$ дає $t = 2\pi k$ , $\cos t = -1$ дає $t = \pi + 2\pi k$ .
Якщо аргумент — $mx$ , спочатку розв’яжи рівняння відносно $mx$ , а потім поділи на $m$ обидві частини, разом із періодом. Рівняння, що зводяться до найпростіших, розв’язують розкладом на множники або заміною $t = \sin x$ чи $t = \cos x$ ; потім перевіряють, що $|t| \le 1$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Зведи рівняння до найпростішого
Перенеси все в одну частину й розклади на множники або введи заміну $t = \sin x$ (чи $\cos x$ ), якщо рівняння квадратне відносно функції. Розв’яжи отримане алгебраїчне рівняння й залиш лише ті значення $t$ , що лежать у проміжку $[-1; 1]$ .
2.Знайди кут $\alpha$ у таблиці
Для $\sin t = a$ чи $\cos t = a$ знайди в таблиці значень кут, для якого функція дорівнює $a$ . Для від’ємного $a$ користуйся непарністю синуса й тим, що $\cos(\pi - \alpha) ={}$ $-\cos\alpha$ . Таблиця є на сторінці 23 довідкових матеріалів.
3.Запиши формулу коренів для аргументу
Підстав $\alpha$ у відповідну формулу, пам’ятаючи, що аргумент — увесь вираз під знаком функції, наприклад $3x$ чи $\dfrac{x}{2}$ . Не забудь $k \in \mathbb{Z}$ .
4.Розв’яжи відносно $x$
Ділити треба обидві частини рівності разом із доданком $2\pi k$ або $\pi k$ : період теж ділиться. Так з $2x ={}$ $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ виходить $x ={}$ $\dfrac{\pi}{8} + \pi k$ , а не $\dfrac{\pi}{8} + 2\pi k$ .
5.Вибери корінь
Якщо в задачі п’ять варіантів, підставляй $k = 0, 1, -1, \ldots$ у формулу й порівнюй із варіантами. Якщо потрібні корені на проміжку, знайди всі $k$ , за яких корінь потрапляє в нього.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Тангенс половинного кута
Розв’яжи рівняння $\operatorname{tg}\dfrac{x}{2} ={}$ $\sqrt{3}$ і знайди його найменший додатний корінь.
2.Синус від’ємного числа
Розв’яжи рівняння $2\sin x = -\sqrt{2}$ і знайди його корені на проміжку $[0; 2\pi]$ .
3.Рівняння, яке зводиться до найпростіших
Розв’яжи рівняння $2\cos^2 x - \cos x - 1 ={}$ $0$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 14

Завдання 14. (0–1)

Укажіть корінь рівняння

\operatorname{tg}(3x) ={}

-1

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 14. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2023, математика, варіант 1, завдання 15

Завдання 15. (0–1)

Укажіть корінь рівняння

\sin 4x = -1

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2023, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2023 році, том II), завдання 15. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

завдання Kleksa

Завдання 1. (0–1)

Укажіть корінь рівняння

\cos 2x = \dfrac{1}{2}

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 2. (0–2)

Скільки коренів має рівняння

\sin 2x ={}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

на проміжку

[0; 2\pi]

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

завдання Kleksa

Завдання 3. (0–3)

Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його найменшим додатним коренем (А–Д).

Рівняння

Найменший додатний корінь

\sin x = \dfrac{1}{2}

\cos x = \dfrac{1}{2}

\operatorname{tg} x ={}

1

Завдання, написане для цієї сторінки, — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Забути період. Рівняння $\sin 3x = 1$ має не один корінь $\dfrac{\pi}{6}$ , а всю серію $x ={}$ $\dfrac{\pi}{6} +{}$ $\dfrac{2\pi k}{3}$ . У тесті з вибором це важливо тоді, коли варіант відповіді — інший корінь тієї самої серії.
Поділити на коефіцієнт при $x$ тільки кут, а період лишити. З $2x ={}$ $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ виходить $x ={}$ $\dfrac{\pi}{8} + \pi k$ : період теж ділиться на $2$ .
Змішати формули. Для косинуса корені — $\pm\alpha + 2\pi k$ , а для синуса — $(-1)^k\alpha + \pi k$ (або $\alpha + 2\pi k$ і $\pi - \alpha + 2\pi k$ ). Серія $-\alpha + 2\pi k$ для $\sin t = a$ — помилка: $\sin(-\alpha) ={}$ $-a$ , а не $a$ (якщо $a \ne 0$ ).
Шукати корені там, де їх немає: рівняння $\sin x = 2$ чи $\cos x = -3$ розв’язків не має, бо синус і косинус лежать у проміжку $[-1; 1]$ . Після заміни $t = \sin x$ відкинь значення $|t| > 1$ .
Записати для тангенса серію з періодом $2\pi$ , як для синуса й косинуса. Тангенс повторюється через $\pi$ , тому правильно $t = \alpha + \pi k$ ; серія $\alpha + 2\pi k$ втрачає половину коренів.

Запам’ятай

$\cos t = a$ : $t ={}$ $\pm\alpha + 2\pi k$ .
$\sin t = a$ : $t ={}$ $(-1)^k\alpha + \pi k$ , або $\alpha + 2\pi k$ і $\pi - \alpha + 2\pi k$ .
$\operatorname{tg} t ={}$ $a$ : $t = \alpha + \pi k$ .
Період ділять разом із кутом: з $mx = \ldots + 2\pi k$ виходить $x ={}$ $\ldots + \dfrac{2\pi k}{m}$ .
Формул коренів у довідкових матеріалах немає, є лише таблиця значень і одиничне коло.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Тригонометріяс. 23
Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутівс. 23

На сторінці 23 довідкових матеріалів є одиничне коло з точкою

M(x_\alpha; y_\alpha)

і таблиця значень синуса, косинуса й тангенса для кутів

0

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

\dfrac{3\pi}{2}

2\pi

. Саме з неї береш кут

\alpha

, коли праву частину рівняння задано табличним числом.

Чого немає: формул коренів

\sin t = a

\cos t = a

\operatorname{tg} t ={}

a

, періодів функцій, окремих випадків

a = 0

a = \pm 1

, а також котангенса. Формули коренів доведеться знати напам’ять або щоразу виводити з одиничного кола.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Які формули коренів найпростіших тригонометричних рівнянь?+
Відп.:Для косинуса: $t ={}$ $\pm\alpha + 2\pi k$ . Для синуса: $t ={}$ $(-1)^k\alpha + \pi k$ . Для тангенса: $t = \alpha + \pi k$ . Тут $t$ — аргумент функції, $\alpha$ — кут, для якого функція дорівнює $a$ (його береш із таблиці), а $k$ — довільне ціле число.
2.Чи є формули коренів у довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Ні. На сторінці 23 довідкових матеріалів є лише одиничне коло й таблиця значень синуса, косинуса й тангенса. Формули коренів, періоди та окремі випадки $\sin t = 0$ , $\cos t = 0$ треба знати напам’ять.
3.Як вибрати правильний корінь серед п’яти варіантів?+
Відп.:Запиши загальну формулу коренів і підстав $k = 0$ , $k = 1$ , $k = -1$ , поки не побачиш число з варіантів. Можна й навпаки: підстав кожен варіант у рівняння та перевір, чи виходить потрібне значення функції.
4.Що робити, якщо в рівнянні аргумент не просто $x$ ?+
Відп.:Розв’яжи рівняння відносно всього аргументу, а потім вирази з нього $x$ . Наприклад, з $\cos 3x = 0$ маємо $3x ={}$ $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$ , тож $x ={}$ $\dfrac{\pi}{6} +{}$ $\dfrac{\pi k}{3}$ . Період ділиться на $3$ разом із кутом.
5.Як знайти корені рівняння на заданому проміжку?+
Відп.:Запиши загальну формулу коренів і розв’яжи нерівність відносно $k$ : з умови, що корінь лежить між кінцями проміжку, знайди всі цілі $k$ . Підстав їх у формулу. Для невеликих проміжків простіше перебрати $k = 0, 1, 2$ і відкинути ті корені, що вийшли за межі.
6.Чи бувають на НМТ тригонометричні нерівності?+
Відп.:У розібраних нами тестах 2023–2026 років таких завдань не було: тригонометрія трапляється як рівняння з вибором кореня й всередині завдань на значення виразів. Програма в одному рядку з рівняннями називає й нерівності, тож відкидати їх зовсім не варто, але в першу чергу відпрацюй рівняння.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Тригонометричні рівняння: найпростіші рівняння і формули коренів

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Зведи рівняння до найпростішого

2.Знайди кут α\alphaα у таблиці

3.Запиши формулу коренів для аргументу

4.Розв’яжи відносно xxx

5.Вибери корінь

Приклади

1.Тангенс половинного кута

2.Синус від’ємного числа

3.Рівняння, яке зводиться до найпростіших

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела

2.Знайди кут $\alpha$ у таблиці

4.Розв’яжи відносно $x$