¿Qué significa un nivel de confianza del $95\,\%$?

Que el método usado acierta en el $95\,\%$ de las muestras posibles: si repitieras el muestreo muchas veces, cerca del $95\,\%$ de los intervalos que obtendrías contendría la media de la población. No es la probabilidad de que la media esté en un intervalo ya calculado ni la proporción de datos que caen dentro.

¿Cómo se obtiene el valor crítico $z_{\alpha/2}$?

Calcula $1 - \dfrac{\alpha}{2}$ a partir de la confianza, busca ese valor en el interior de la tabla de la normal y lee la $z$ de su fila y su columna. Para el $95\,\%$ es $1{,}96$. Si no aparece exacto, toma el más cercano o interpola; si queda justo en medio de dos, como el $0{,}995$ del $99\,\%$, toma la media de las dos $z$, $2{,}575$.

¿Cómo cambia el intervalo si aumento la muestra o la confianza?

Con más muestra, el error baja y el intervalo se estrecha; con más confianza, el error sube y el intervalo se ensancha. Para reducir la amplitud con la misma muestra hay que rebajar el nivel de confianza.

¿Cómo se calcula el tamaño mínimo de la muestra?

Se parte de la desigualdad $z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} < E$, se despeja $\sqrt{n}$ y se eleva al cuadrado. El resultado se redondea al entero superior, porque una muestra más pequeña no cumpliría el error exigido.

¿Cómo se decide si un valor es compatible con el intervalo?

Mira si el valor está dentro del intervalo. Si lo está, los datos son compatibles con él al nivel de confianza dado; si queda fuera, no puede afirmarse con esa confianza que sea el valor de la media.

¿Entran los intervalos de confianza en Matemáticas II?

No. La inferencia estadística no figura en las orientaciones de Matemáticas II: es un tema propio de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Si haces Matemáticas II, repasa en cambio la distribución normal y la binomial.

¿Cuánta inferencia se pide en la PAU de Andalucía?

Según el recuento de este sitio, los intervalos de confianza y el tamaño de la muestra aparecen en los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026. Suele ser un ejercicio con varios apartados: el intervalo, el error máximo, la interpretación y el tamaño mínimo.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

Intervalos de confianza: media, proporción y tamaño de la muestra

Q: ¿Cómo se decide si un valor es compatible con el intervalo?

Mira si el valor está dentro del intervalo. Si lo está, los datos son compatibles con él al nivel de confianza dado; si queda fuera, no puede afirmarse con esa confianza que sea el valor de la media.

Q: ¿Entran los intervalos de confianza en Matemáticas II?

No. La inferencia estadística no figura en las orientaciones de Matemáticas II: es un tema propio de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Si haces Matemáticas II, repasa en cambio la distribución normal y la binomial.

Q: ¿Cuánta inferencia se pide en la PAU de Andalucía?

Según el recuento de este sitio, los intervalos de confianza y el tamaño de la muestra aparecen en los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026. Suele ser un ejercicio con varios apartados: el intervalo, el error máximo, la interpretación y el tamaño mínimo.

Un intervalo de confianza estima un valor desconocido de la población, como la media o una proporción, a partir de una muestra, y dice con qué confianza lo hace. Es el tema de inferencia de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, y en la PAU de Andalucía aparece en los 4 exámenes de 2025 y 2026. Aquí tienes las fórmulas, el método para el intervalo, el error máximo y el tamaño mínimo de la muestra, ejemplos y dos ejercicios de la PAU resueltos paso a paso.

PAU de Andalucía, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en los 4 exámenes de 2025 y 2026

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

D.3. Inferencia

Selección de muestras representativas
Estimación de la media y la proporción
Intervalos de confianza basados en la distribución normal
Intervalo de confianza para la media de una distribución normal con desviación típica conocida
Cálculo del tamaño muestral mínimo

Salió en los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen te dan la tabla de la distribución normal N(0, 1).

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Selección de muestras representativas. Técnicas de muestreo. Representatividad de una muestra según el proceso de selección. Estimación puntual y estimación por intervalo.
- Estimación de la media y la proporción. Aproximación de la distribución de la media y de la proporción muestrales por la normal.
- Intervalos de confianza basados en la distribución normal: construcción, análisis y toma de decisiones en situaciones contextualizadas.
- Intervalo de confianza para la media de una distribución normal con desviación típica conocida. Intervalo de confianza para una proporción.
- Cálculo del tamaño muestral mínimo. Relación entre confianza, error y tamaño muestral.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 6, apartados a), b), c) y d) (optativo); ejercicio 7, apartado b) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 6, apartados a), b), c) y d) (optativo); ejercicio 7, apartados a) y b) (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 3, opción A, apartado a) (optativo); ejercicio 4, apartados a), b) y c) (obligatorio)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 3, opción B, apartados a) y b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

En inferencia se estudia una población a partir de una muestra aleatoria. La media muestral $\bar{x}$ es una estimación puntual de la media $\mu$ , y la proporción de la muestra $\hat{p}$ , de la proporción $p$ de la población. Una estimación por intervalo da un rango de valores en lugar de un solo número.
Si $X \sim N(\mu, \sigma)$ , la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una normal $N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ . Cuanto mayor es la muestra, menos varía la media: con una muestra cuatro veces mayor, la desviación típica de la media muestral se reduce a la mitad.
Intervalo de confianza para la media con desviación típica $\sigma$ conocida y nivel de confianza $1 - \alpha$ : $\left(\bar{x} - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ . Su centro es $\bar{x}$ .
Intervalo para una proporción: $\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}},\ \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\right)$ . Se usa con muestras grandes.
El valor crítico $z_{\alpha/2}$ cumple $P(Z \leq z_{\alpha/2}) ={}$ $1 - \dfrac{\alpha}{2}$ . Para el $95\,\%$ buscas $0{,}975$ y sale $z_{\alpha/2} = 1{,}96$ ; para el $90\,\%$ buscas $0{,}95$ , que queda entre $1{,}64$ y $1{,}65$ (se toma $1{,}645$ ); para el $99\,\%$ buscas $0{,}995$ , entre $2{,}57$ y $2{,}58$ (se toma $2{,}575$ ).
El error máximo es la mitad de la amplitud del intervalo: $E ={}$ $z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Crece con la confianza y baja al aumentar $n$ . La amplitud del intervalo es $2E$ .
Tamaño mínimo de la muestra para un error menor que $E$ : $n \geq \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$ en la media y $n \geq \dfrac{z_{\alpha/2}^{2}\,\hat{p}(1 - \hat{p})}{E^{2}}$ en una proporción. Se redondea siempre al entero superior.

El método, paso a paso

en orden

1.Identifica qué se estima y recoge los datos
Distingue si el intervalo es para una media, con su $\sigma$ , o para una proporción, con $\hat{p}$ . Anota el tamaño $n$ de la muestra, la media o el recuento observados y el nivel de confianza.
2.Calcula el valor crítico
Pasa la confianza a $1 - \dfrac{\alpha}{2}$ y busca esa probabilidad en el interior de la tabla de la normal. Se lee la $z$ de su fila y su columna. Si no aparece exacta, toma la más cercana o interpola; si queda justo en medio de dos, como $0{,}995$ , toma la media de las dos $z$ .
3.Calcula el error máximo
Sustituye en $E ={}$ $z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ o en $E ={}$ $z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$ . Fíjate en que $n$ va dentro de una raíz.
4.Escribe el intervalo, o despeja $n$
El intervalo es $(\text{centro} - E,\ \text{centro} + E)$ . Si te piden el tamaño de la muestra, plantea $E$ menor que el valor dado, despeja $n$ y redondea hacia arriba.
5.Interpreta con el nivel de confianza
Si un valor propuesto queda dentro del intervalo, los datos son compatibles con él; si queda fuera, no puede afirmarse con esa confianza. Redacta la conclusión con el contexto del problema.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Intervalo para la media
El tiempo de reacción, en milisegundos, de los usuarios de un videojuego sigue una distribución normal de desviación típica $12$ . En una muestra de $36$ usuarios el tiempo medio ha sido de $240$ milisegundos. Calcula un intervalo de confianza al $95\,\%$ para el tiempo medio de reacción y razona si un fabricante puede afirmar que la media es de $235$ milisegundos.
2.Intervalo para una proporción
En una encuesta a $400$ vecinos de un barrio, $140$ dicen que van al trabajo en bicicleta. Calcula un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la proporción de vecinos del barrio que van en bicicleta.
3.Tamaño mínimo de la muestra
Una variable normal tiene desviación típica $8$ . ¿Cuántos individuos hay que muestrear, como mínimo, para estimar la media con un nivel de confianza del $95\,\%$ y un error máximo menor que $1{,}5$ ?
4.Recuperar los datos del intervalo
Un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de una normal de desviación típica $6$ es $(41{,}32;\ 44{,}68)$ . Halla la media de la muestra, el error máximo y el tamaño de la muestra.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

B) Con el propósito de estudiar el precio medio del litro de gasoil en una provincia andaluza un determinado día, se seleccionan al azar

16

estaciones de servicio, obteniéndose que el precio medio del litro de gasoil es

1.458

€. Se sabe que el precio del litro de gasoil en esa provincia sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica

0.08

€.

Ejercicio 3, opción B, apartado a)

a) (1 punto) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del

97.5\%

para estimar el precio medio del litro de gasoil en dicha provincia. ¿Qué error máximo de estimación se obtiene?

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 3, opción B, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza

225\ km^2

y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de

49

viajes y obtiene una media de

325\ km

recorridos por viaje.

Ejercicio 4, apartado c)

c) (0.75 puntos) ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del

99\%

que tuviera una amplitud inferior a

4\ km

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 4, apartado c). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas CCSS

Pregunta 1.

El tiempo que tardan los excursionistas en subir desde el aparcamiento hasta un refugio de montaña sigue una distribución normal de desviación típica

20

minutos. En una muestra aleatoria de

42

excursionistas, el tiempo medio de subida ha sido de

101.5

minutos. Calcule un intervalo de confianza al

99\%

para el tiempo medio de subida al refugio. Dé los extremos redondeados a las centésimas. Datos:

P(Z \le 2.57) ={}

0.9949

P(Z \le 2.58) ={}

0.9951

extremo inferiorminutosextremo superiorminutos

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 2.

En una muestra aleatoria de

1000

hortelanos de los huertos urbanos de una ciudad,

222

riegan por goteo. Calcule un intervalo de confianza al

90\%

para la proporción de hortelanos de la ciudad que riegan por goteo. Dé los extremos redondeados a cuatro cifras decimales. Datos:

P(Z \le 1.64) ={}

0.9495

P(Z \le 1.65) ={}

0.9505

extremo inferiorextremo superior

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

La producción de tomates por planta en un huerto urbano sigue una distribución normal de desviación típica

0.4

kg. ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra para que, con un nivel de confianza del

95\%

, el error máximo al estimar la producción media de tomates por planta sea menor que

0.1

kg? Dato:

P(Z \le 1.96) ={}

0.975

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

El tiempo que tardan los remeros de una liga regional en completar un recorrido de entrenamiento sigue una distribución normal de desviación típica

10

segundos. En una muestra aleatoria de

90

remeros, el tiempo medio ha sido de

432.5

segundos. Se afirma que el tiempo medio de los remeros en el recorrido es de

436.5

segundos. ¿Dónde queda ese valor respecto del intervalo de confianza al

97\%

que da la muestra? Dato:

P(Z \le 2.17) ={}

0.985

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Buscas en la tabla la confianza en lugar de $1 - \dfrac{\alpha}{2}$ . Para el $95\,\%$ no se busca $0{,}95$ , sino $0{,}975$ , porque queda una cola de $2{,}5\,\%$ a cada lado.
Divides la desviación típica por $n$ en lugar de por $\sqrt{n}$ . Con $n = 49$ el error sale siete veces menor de lo que debe.
Redondeas el tamaño de la muestra al entero más próximo. El tamaño mínimo se redondea siempre hacia arriba: $109{,}27$ no son $109$ individuos, sino $110$ .
Interpretas el nivel de confianza como la proporción de individuos que caen dentro del intervalo. El $95\,\%$ se refiere al procedimiento: de cada $100$ muestras, unos $95$ intervalos contienen la media de la población.
Aplicas la fórmula de la media a una proporción. El error de una proporción lleva $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$ en lugar de $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

Para recordar

Media: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
Proporción: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$ .
Valor crítico: $P(Z \leq z_{\alpha/2}) ={}$ $1 - \dfrac{\alpha}{2}$ ; $1{,}96$ para el $95\,\%$ .
Error máximo $E$ = semiamplitud; amplitud $= 2E$ ; centro $= \bar{x}$ .
Tamaño: $n \geq \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$ , redondeado hacia arriba.
Con más confianza o con menos muestra, el intervalo es más ancho.

Preguntas frecuentes

1.¿Qué significa un nivel de confianza del $95\,\%$ ?+
Respuesta:Que el método usado acierta en el $95\,\%$ de las muestras posibles: si repitieras el muestreo muchas veces, cerca del $95\,\%$ de los intervalos que obtendrías contendría la media de la población. No es la probabilidad de que la media esté en un intervalo ya calculado ni la proporción de datos que caen dentro.
2.¿Cómo se obtiene el valor crítico $z_{\alpha/2}$ ?+
Respuesta:Calcula $1 - \dfrac{\alpha}{2}$ a partir de la confianza, busca ese valor en el interior de la tabla de la normal y lee la $z$ de su fila y su columna. Para el $95\,\%$ es $1{,}96$ . Si no aparece exacto, toma el más cercano o interpola; si queda justo en medio de dos, como el $0{,}995$ del $99\,\%$ , toma la media de las dos $z$ , $2{,}575$ .
3.¿Cómo cambia el intervalo si aumento la muestra o la confianza?+
Respuesta:Con más muestra, el error baja y el intervalo se estrecha; con más confianza, el error sube y el intervalo se ensancha. Para reducir la amplitud con la misma muestra hay que rebajar el nivel de confianza.
4.¿Cómo se calcula el tamaño mínimo de la muestra?+
Respuesta:Se parte de la desigualdad $z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} < E$ , se despeja $\sqrt{n}$ y se eleva al cuadrado. El resultado se redondea al entero superior, porque una muestra más pequeña no cumpliría el error exigido.
5.¿Cómo se decide si un valor es compatible con el intervalo?+
Respuesta:Mira si el valor está dentro del intervalo. Si lo está, los datos son compatibles con él al nivel de confianza dado; si queda fuera, no puede afirmarse con esa confianza que sea el valor de la media.
6.¿Entran los intervalos de confianza en Matemáticas II?+
Respuesta:No. La inferencia estadística no figura en las orientaciones de Matemáticas II: es un tema propio de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Si haces Matemáticas II, repasa en cambio la distribución normal y la binomial.
7.¿Cuánta inferencia se pide en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:Según el recuento de este sitio, los intervalos de confianza y el tamaño de la muestra aparecen en los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026. Suele ser un ejercicio con varios apartados: el intervalo, el error máximo, la interpretación y el tamaño mínimo.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas CCSS

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Intervalos de confianza: media, proporción y tamaño de la muestra

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Identifica qué se estima y recoge los datos

2.Calcula el valor crítico

3.Calcula el error máximo

4.Escribe el intervalo, o despeja nnn

5.Interpreta con el nivel de confianza

Ejemplos

1.Intervalo para la media

2.Intervalo para una proporción

3.Tamaño mínimo de la muestra

4.Recuperar los datos del intervalo

Un ejercicio de la PAU

Ponte a prueba

Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

Fuentes

4.Escribe el intervalo, o despeja $n$