¿Cuándo una variable sigue una distribución binomial?

Cuando cuenta los éxitos de un número fijo de pruebas independientes con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito en todas. «Se eligen $20$ personas al azar», «con independencia unas de otras» o «de una producción muy grande» son las frases del enunciado que lo indican.

¿Cómo se calcula $P(X \geq k)$ sin sumar muchos términos?

Con el complementario: $P(X \geq k)$ es igual a $1 - P(X \leq k - 1)$. Si $k$ es pequeño, solo restas las probabilidades de $0$ hasta $k - 1$. En «al menos uno», basta $1 - (1 - p)^{n}$.

¿Qué significa que la media de una binomial sea $n\,p$?

Es el número de éxitos que se espera por término medio: en $20$ personas que contratan con probabilidad $0{,}2$, se esperan $4$. No es el valor más probable ni tiene por qué ser un número entero. Se llama también valor esperado.

¿Cómo se halla cuántas pruebas hacen falta para que algo ocurra con cierta probabilidad?

Plantea una desigualdad con el complementario, por ejemplo $1 - (1 - p)^{n} \geq 0{,}99$, despeja $(1 - p)^{n}$, toma logaritmos y recuerda que dividir por un logaritmo negativo cambia el sentido de la desigualdad. El resultado se redondea hacia arriba, porque $n$ es entero.

¿Cuándo se aproxima la binomial por la normal?

Cuando $n$ es grande y se cumplen $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$. Entonces $X$ se parece a una normal con la misma media y desviación típica, y se aplica la corrección por continuidad al pasar de valores enteros a un intervalo. Está explicado en la página de la distribución normal.

¿Cuánta distribución binomial se pide en la PAU de Andalucía?

Según el recuento de este sitio, aparece en 3 de los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026 y en ninguno de los 4 de Matemáticas II. Suele ir dentro de un problema con varios apartados: valor exacto, «al menos», valor esperado.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

Distribución binomial: fórmula, media y desviación típica

La distribución binomial cuenta cuántas veces ocurre un suceso en una serie de pruebas independientes: cuántas piezas defectuosas hay entre las que se revisan, cuántas personas contratan un servicio de entre las que ven un anuncio. En la PAU de Andalucía aparece en un problema de probabilidad con contexto real. Aquí tienes cuándo se puede usar, la fórmula, la media y la desviación típica, el método y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas II: en ninguno de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

D.2. Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias discretas y continuas
Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal

Salió en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen te dan la tabla de la distribución normal N(0, 1).

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución. Distribuciones binomial y normal.
- Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 5, apartados a), b), c) y d) (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 3, opción B, apartado c) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 4, apartado b) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas II
en ninguno de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Distribución binomial: definición, parámetros y cálculo de probabilidades en casos en que los números combinatorios implicados sean sencillos.
Ejercicios
ningún ejercicio en 2025 y 2026
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución binomial $B(n, p)$ cuando cuenta los éxitos de $n$ pruebas que cumplen cuatro condiciones: hay solo dos resultados (éxito o fracaso), el número de pruebas $n$ está fijado, las pruebas son independientes y la probabilidad de éxito $p$ es la misma en todas.
Fórmula: $P(X = k) ={}$ $\dbinom{n}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n - k}$ , para $k = 0, 1, \dots, n$ , con el número combinatorio $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ . Por ejemplo, $\dbinom{5}{2} = 10$ .
Parámetros: la media es $\mu = n\,p$ y la desviación típica es $\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$ . La media se llama también valor esperado, $E(X) = n\,p$ .
Sucesos con varios valores: «como mucho $k$ » es $P(X \leq k)$ , la suma de las probabilidades de $0$ a $k$ ; «al menos $k$ » es $P(X \geq k) ={}$ $1 - P(X \leq k - 1)$ . En particular, $P(X \geq 1) ={}$ $1 - (1 - p)^{n}$ .
Cómo reconocerla: «con independencia», «cada uno con la misma probabilidad» o una población tan grande que sacar un elemento no cambia las probabilidades son pistas de una binomial. Sacar sin devolver de un grupo pequeño no lo es.
Cuando $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$ se puede aproximar la binomial por una normal $N\big(n\,p,\ \sqrt{n\,p\,(1 - p)}\big)$ con la corrección por continuidad. Es el tema de la distribución normal.

El método, paso a paso

en orden

1.Reconoce la binomial y escribe la variable
Define $X$ con palabras: «número de piezas defectuosas de entre las $n$ revisadas». Comprueba las cuatro condiciones y escribe $X \sim B(n, p)$ con los valores del enunciado.
2.Traduce lo que se pide a valores de $X$
«Exactamente $k$ » es $X = k$ ; «como mucho $k$ », $X \leq k$ ; «al menos $k$ », $X \geq k$ ; «más de $k$ », $X \geq k + 1$ . Un porcentaje del enunciado es la probabilidad $p$ en forma decimal.
3.Aplica la fórmula o el complemento
Para un valor suelto, usa $\dbinom{n}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n - k}$ . Si el suceso reúne muchos valores y su complementario tiene pocos, calcula $1$ menos el complementario.
4.Calcula la media y la desviación típica si se piden
Sustituye en $\mu = n\,p$ y $\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$ . No hace falta calcular ninguna probabilidad para ello.
5.Redondea al final y comprueba
Guarda los decimales hasta el último paso. Un resultado es una probabilidad: debe estar entre $0$ y $1$ . Y debe tener sentido: si $p$ es pequeña, «al menos una» crece con $n$ pero nunca pasa de $1$ .

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Probabilidad de un valor y de «al menos»
Un jugador de baloncesto acierta el $70\,\%$ de sus tiros libres. En un entrenamiento lanza $6$ tiros, cada uno independiente de los demás. Calcula la probabilidad de que acierte exactamente $4$ y la de que acierte al menos $5$ .
2.Media, desviación típica y ninguno
El $8\,\%$ de los tornillos que fabrica una máquina salen defectuosos. Se toman al azar $50$ tornillos de una producción muy grande. Calcula el número esperado de tornillos defectuosos, su desviación típica y la probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
3.Cuántas pruebas hacen falta
Una máquina recreativa da premio en el $30\,\%$ de las partidas, de forma independiente. Calcula cuántas partidas hay que jugar para que el número esperado de premios sea al menos $6$ y cuántas para que la probabilidad de ganar al menos un premio supere el $95\,\%$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el

20\%

de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a

20

personas que han visto el anuncio.

Ejercicio 5, apartado b)

b) (0.75 puntos) Determine la probabilidad de que al menos

2

personas contraten el servicio.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 5, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

Sean

A

B

dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que

P(A \cap B^c) ={}

0.3; \qquad P(A^c) ={}

0.35; \qquad P(B) ={}

0.55

Ejercicio 4, apartado b)

b) Se realiza este experimento aleatorio

11

veces, calcule: i) (0.5 puntos) La probabilidad de que el suceso

B

ocurra exactamente

8

veces. ii) (0.25 puntos) El número esperado de veces que ocurre el suceso

B

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 4, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas II

lo que cambia

En Matemáticas II la distribución binomial figura en las orientaciones («definición, parámetros y cálculo de probabilidades en casos en que los números combinatorios implicados sean sencillos»), con la misma fórmula y los mismos parámetros

\mu = n\,p

\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}

. Como los números combinatorios son sencillos, el cálculo se hace a mano con

n

pequeño.

En los exámenes de 2025 y 2026 de Matemáticas II la binomial no se ha pedido, ni sola ni a través de su aproximación por la normal. Las dos siguen en sus orientaciones: la aproximación, con la corrección por continuidad («Correcciones de Yates»), está explicada en la página de la distribución normal.

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas CCSS

Pregunta 1.

En un club de remo, el

48\%

de los socios entrenan también en el gimnasio del club. Se eligen al azar

10

socios del club. Calcule la probabilidad de que el número de socios elegidos que entrenan en el gimnasio sea exactamente

6

. Dé el resultado redondeado a cuatro cifras decimales.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 2.

En una planta de reciclaje de vidrio, el

17\%

de las botellas que llegan son de vidrio verde. Se toman al azar

21

botellas de las que llegan a la planta. Sea

X

el número de botellas tomadas que son de vidrio verde. Calcule la media y la desviación típica de

X

. Dé los resultados redondeados a cuatro cifras decimales.

\mu =

\sigma =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

En una granja de gallinas camperas, el

16\%

de los huevos son de tamaño XL. ¿Cuántos huevos hay que elegir como mínimo para que la probabilidad de encontrar al menos uno de tamaño XL sea mayor o igual que

0.9

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 4.

En un club de remo, el

21\%

de los socios entrenan también en el gimnasio del club. Se eligen al azar

7

socios del club. Calcula la probabilidad de que el número de socios elegidos que entrenan en el gimnasio sea como mucho

1

. Da el resultado redondeado a cuatro cifras decimales.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Aplicas la binomial sin que se cumplan las condiciones. Si se extraen elementos sin devolverlos de un grupo pequeño, la probabilidad de éxito cambia en cada prueba y la variable ya no es binomial.
Olvidas el número combinatorio. $P(X = k)$ no es solo $p^{k}(1 - p)^{n - k}$ : esa expresión es la de una sola ordenación, y hay $\dbinom{n}{k}$ ordenaciones posibles.
Te equivocas con «al menos» y «más de». «Al menos $2$ » es $X \geq 2$ , y su complementario es $X \leq 1$ ; «más de $2$ » es $X \geq 3$ , y su complementario es $X \leq 2$ .
Calculas la desviación típica sin la raíz o con $n\,p$ en lugar de $n\,p\,(1 - p)$ . Recuerda que $n\,p\,(1 - p)$ es la varianza; la desviación típica es su raíz cuadrada.
Das $p$ como un porcentaje en la fórmula. El $8\,\%$ entra como $0{,}08$ , y la probabilidad de fracaso es $1 - 0{,}08 = 0{,}92$ .

Para recordar

$X \sim B(n, p)$ : $n$ pruebas independientes con la misma probabilidad $p$ de éxito.
$P(X = k) ={}$ $\dbinom{n}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n - k}$ .
Media $\mu = n\,p$ ; desviación típica $\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$ .
«Al menos $k$ »: $P(X \geq k) ={}$ $1 - P(X \leq k - 1)$ .
Si $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$ , la binomial se aproxima por una normal.

Preguntas frecuentes

1.¿Cuándo una variable sigue una distribución binomial?+
Respuesta:Cuando cuenta los éxitos de un número fijo de pruebas independientes con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito en todas. «Se eligen $20$ personas al azar», «con independencia unas de otras» o «de una producción muy grande» son las frases del enunciado que lo indican.
2.¿Cómo se calcula $P(X \geq k)$ sin sumar muchos términos?+
Respuesta:Con el complementario: $P(X \geq k)$ es igual a $1 - P(X \leq k - 1)$ . Si $k$ es pequeño, solo restas las probabilidades de $0$ hasta $k - 1$ . En «al menos uno», basta $1 - (1 - p)^{n}$ .
3.¿Qué significa que la media de una binomial sea $n\,p$ ?+
Respuesta:Es el número de éxitos que se espera por término medio: en $20$ personas que contratan con probabilidad $0{,}2$ , se esperan $4$ . No es el valor más probable ni tiene por qué ser un número entero. Se llama también valor esperado.
4.¿Cómo se halla cuántas pruebas hacen falta para que algo ocurra con cierta probabilidad?+
Respuesta:Plantea una desigualdad con el complementario, por ejemplo $1 - (1 - p)^{n} \geq 0{,}99$ , despeja $(1 - p)^{n}$ , toma logaritmos y recuerda que dividir por un logaritmo negativo cambia el sentido de la desigualdad. El resultado se redondea hacia arriba, porque $n$ es entero.
5.¿Cuándo se aproxima la binomial por la normal?+
Respuesta:Cuando $n$ es grande y se cumplen $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$ . Entonces $X$ se parece a una normal con la misma media y desviación típica, y se aplica la corrección por continuidad al pasar de valores enteros a un intervalo. Está explicado en la página de la distribución normal.
6.¿Cuánta distribución binomial se pide en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:Según el recuento de este sitio, aparece en 3 de los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026 y en ninguno de los 4 de Matemáticas II. Suele ir dentro de un problema con varios apartados: valor exacto, «al menos», valor esperado.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas CCSS

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Distribución binomial: fórmula, media y desviación típica

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Reconoce la binomial y escribe la variable

2.Traduce lo que se pide a valores de XXX

3.Aplica la fórmula o el complemento

4.Calcula la media y la desviación típica si se piden

5.Redondea al final y comprueba

Ejemplos

1.Probabilidad de un valor y de «al menos»

2.Media, desviación típica y ninguno

3.Cuántas pruebas hacen falta

Un ejercicio de la PAU

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Ponte a prueba

Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

Fuentes

2.Traduce lo que se pide a valores de $X$