¿Qué significan los parámetros de una distribución normal $N(\mu, \sigma)$?

La media $\mu$ es el centro de la campana, donde alcanza su máximo; la desviación típica $\sigma$ mide la dispersión: cuanto mayor es, más ancha y baja es la campana. En $N(\mu, \sigma)$, como se escribe en esta página, el segundo número es la desviación típica.

¿Cómo se busca en la tabla una probabilidad de un valor negativo?

La tabla solo recoge valores positivos de $z$. Para un valor negativo usa la simetría de la campana: $P(Z \leq -z)$ es igual a $1 - P(Z \leq z)$. Con un valor de $z$ de más de dos decimales, redondea a dos.

¿Cómo se halla $z$ cuando se conoce la probabilidad?

Busca en el interior de la tabla la probabilidad dada o la más cercana y lee la $z$ de su fila y su columna. Si la probabilidad es menor que $0{,}5$, calcula con el complementario y cambia el signo de la $z$ al final.

¿Cuándo se puede aproximar la binomial por la normal?

Cuando $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$. Entonces $B(n, p)$ se parece a $N\big(n\,p,\ \sqrt{n\,p\,(1 - p)}\big)$ y se calcula con la tabla.

¿Por qué se suma o se resta $0{,}5$ en la corrección por continuidad?

Porque una variable discreta toma valores enteros y la normal es continua: el valor $k$ de la binomial ocupa en la normal el tramo de $k - 0{,}5$ a $k + 0{,}5$. Por eso «al menos $70$» empieza en $69{,}5$ y «a lo sumo $66$» termina en $66{,}5$.

¿Qué otra convención hay para escribir una distribución normal?

Algunos libros escriben $N(\mu, \sigma^2)$ y ponen la varianza como segundo parámetro. Los enunciados de la PAU de Andalucía suelen dar los parámetros con palabras: «media $64$ y desviación típica $4$», o a veces «varianza $225$». Lee qué dato te dan y, si es la varianza, toma su raíz cuadrada antes de tipificar.

¿Cuánta distribución normal se pide en la PAU de Andalucía?

Según el recuento de este sitio, aparece en los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026, y en uno de los 4 de Matemáticas II. Es un tema para ganar puntos: los apartados repiten el mismo método.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

Distribución normal: tipificación, tabla y aproximación de la binomial

La distribución normal describe magnitudes que se agrupan en torno a un valor central: alturas, tiempos, pesos, errores de medida. Para calcular probabilidades no se integra nada: se tipifica la variable y se lee en la tabla de la normal estándar. En la PAU de Andalucía se pide también para aproximar una binomial con muchas pruebas. Aquí tienes el método, ejemplos y ejercicios de la PAU resueltos paso a paso.

PAU de Andalucía, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas II: en uno de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

D.2. Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias discretas y continuas
Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal
Condiciones bajo las cuales se puede aproximar la distribución binomial por la distribución normal

Salió en los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen te dan la tabla de la distribución normal N(0, 1).

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución. Distribuciones binomial y normal.
- Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal.
- Condiciones bajo las cuales se puede aproximar la distribución binomial por la distribución normal.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 7, apartado a) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 7, apartados a) y b) (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 3, opción B, apartado c) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 3, opción B, apartado b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas II
en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Distribución normal: definición, parámetros y cálculo de probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar.
- Aproximación de la binomial a la normal. Correcciones de Yates.
Ejercicios
- Extraordinaria 2025: ejercicio 7, apartados a) y b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

Una variable $X$ sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ si su gráfica es una campana simétrica respecto de la media $\mu$ . El segundo parámetro, $\sigma$ , es la desviación típica, no la varianza. El área total bajo la campana es $1$ y la probabilidad de un valor concreto es $0$ : $P(X < a) ={}$ $P(X \leq a)$ .
Tipificar es pasar a la normal estándar $N(0, 1)$ : $Z ={}$ $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ . Así, $P(X \leq a) = P\left(Z \leq \dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$ . El resultado de tipificar mide a cuántas desviaciones típicas de la media está el valor.
La tabla da $P(Z \leq z)$ para $z \geq 0$ , con $z$ de dos decimales. Para el resto se usa la simetría: $P(Z \leq -z) ={}$ $1 - P(Z \leq z)$ , $P(Z > z) ={}$ $1 - P(Z \leq z)$ y $P(a < Z < b)$ es igual a $P(Z \leq b) - P(Z \leq a)$ . Un intervalo simétrico vale $P(-z \leq Z \leq z) ={}$ $2\,P(Z \leq z) - 1$ .
Lectura inversa: si conoces la probabilidad y buscas el valor, localiza esa probabilidad en el interior de la tabla, lee la $z$ de su fila y su columna y deshaz la tipificación: $x = \mu + z\,\sigma$ . Si la probabilidad pedida es menor que $0{,}5$ , la $z$ es negativa: trabaja con el complementario.
Como orientación, entre $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$ queda algo más del $68\,\%$ de los valores, entre $\mu - 2\sigma$ y $\mu + 2\sigma$ más del $95\,\%$ y entre $\mu - 3\sigma$ y $\mu + 3\sigma$ casi todos.
Aproximación de la binomial: si $X \sim B(n, p)$ con $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$ , entonces $X$ se aproxima por una normal $Y \sim N\big(n\,p,\ \sqrt{n\,p\,(1 - p)}\big)$ . Como $X$ es discreta y $Y$ continua, se usa la corrección por continuidad: $P(X \leq k) \approx P(Y \leq k + 0{,}5)$ , $P(X \geq k) \approx P(Y \geq k - 0{,}5)$ y $P(a \leq X \leq b) \approx P(a - 0{,}5 \leq Y \leq b + 0{,}5)$ .

El método, paso a paso

en orden

1.Escribe la variable y sus parámetros
Define $X$ con palabras y escribe $X \sim N(\mu, \sigma)$ con la media y la desviación típica del enunciado. Si el enunciado habla de una binomial con muchas pruebas, comprueba primero que se puede aproximar.
2.Traduce lo pedido a una probabilidad
«Más de», «menos de», «entre» y «como máximo» se escriben con desigualdades sobre $X$ . Para un porcentaje de la población, calcula la probabilidad y multiplícala por $100$ .
3.Tipifica los extremos
Resta la media y divide por la desviación típica en cada extremo. Redondea el valor de $z$ a dos decimales, que son los que tiene la tabla.
4.Pasa a la tabla
Reduce la probabilidad a términos del tipo $P(Z \leq z)$ con $z$ positiva, con la simetría y el complementario. Escribe el valor leído antes de operar.
5.En la lectura inversa, despeja
Busca en la tabla la probabilidad más cercana, toma su $z$ y despeja el dato desconocido, ya sea el valor $x$ o la desviación típica $\sigma$ en $z ={}$ $\dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Probabilidad entre dos valores
La altura, en centímetros, de los jóvenes de una localidad sigue una distribución normal de media $172$ y desviación típica $7$ . Calcula la probabilidad de que un joven elegido al azar mida entre $165$ y $186$ centímetros y la de que mida más de $180$ .
2.Hallar el valor que deja por debajo un porcentaje
Las notas de una prueba siguen una distribución normal de media $6{,}2$ y desviación típica $1{,}5$ . Calcula la nota por debajo de la cual queda el $90\,\%$ de los alumnos.
3.Desviación típica desconocida
La longitud de los cables de un lote sigue una distribución normal de media $50$ centímetros y desviación típica desconocida. Se sabe que el $15\,\%$ de los cables mide más de $52$ centímetros. Halla la desviación típica.
4.Aproximar una binomial por una normal
El $40\,\%$ de los estudiantes de un centro viaja en autobús. Se eligen al azar $150$ estudiantes. Calcula, usando la aproximación de la binomial por la normal, la probabilidad de que al menos $70$ de ellos viajen en autobús.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

Los desajustes sobre el horario previsto de llegada de los trenes de alta velocidad, medidos en minutos, sigue una ley Normal con media

0

y desviación típica 2.2.

Ejercicio 7, apartado a)

a) (0.5 puntos) Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 7, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

B) Sean

A

B

dos sucesos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se sabe que

P(A)

es el doble de

P(B)

P(B^c/A) = 0.75

P(A \cap B) = 0.2

Ejercicio 3, opción B, apartado c)

c) Si el experimento se realiza

1350

veces de forma independiente: i) (0.25 puntos) Determine la distribución de la variable aleatoria

X

: "Número de veces que ocurre

B

". ii) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que

B

ocurra a lo sumo

580

veces, pero más de

499

veces.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 3, opción B, apartado c). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas II

lo que cambia

En Matemáticas II las orientaciones piden la distribución normal («definición, parámetros y cálculo de probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar») y la aproximación de la binomial a la normal con las correcciones de Yates, que es la corrección por continuidad de esta página. Lo que se calcula es lo mismo: tipificar, usar la simetría y leer la tabla, y también la lectura inversa para hallar un valor o una desviación típica.

La diferencia con CCSS es que en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II la normal sirve además de base para la inferencia, con la distribución de la media muestral y los intervalos de confianza; Matemáticas II no incluye esa parte. En los exámenes de 2025 y 2026 de Matemáticas II la normal se ha pedido en un solo ejercicio, como el de este apartado, con un porcentaje de una población y una desviación típica desconocida.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h.

Ejercicio 7, apartado b)

b) [1,5 puntos] En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05 % de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 7, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas CCSS

Pregunta 1.

El tiempo que tardan los remeros de una liga regional en completar un recorrido de entrenamiento sigue una distribución normal de media

410

segundos y desviación típica

15

segundos. Calcule la probabilidad de que un remero elegido al azar tarde entre

392.3

425.3

segundos. Dé el resultado redondeado a cuatro cifras decimales. Datos:

P(Z \le 1.02) ={}

0.8461

P(Z \le 1.18) ={}

0.881

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 2.

La producción de tomates por planta en un huerto urbano sigue una distribución normal de media

4.4

kg y desviación típica

0.4

kg. Halle el valor

c

para el que el

1.58\%

de las plantas producen más de

c

kg. Dé el resultado redondeado a las centésimas. Dato:

P(Z \le 2.15) ={}

0.9842

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

En una heladería, el

50\%

de los clientes piden un helado de chocolate. Se eligen al azar

1764

clientes, que eligen el sabor con independencia unos de otros. Calcule la probabilidad de que el número de clientes elegidos que piden un helado de chocolate sea menor que

872

. Utilice la aproximación de la binomial por la normal, con la corrección por continuidad. Dé el resultado redondeado a cuatro cifras decimales. Dato:

P(Z \le 0.5) ={}

0.6915

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 4.

El tiempo que tardan los remeros de una liga regional en completar un recorrido de entrenamiento sigue una distribución normal de media

475

segundos. Se sabe que el

4{,}09\%

de los remeros tardan menos de

457{,}6

segundos. Calcula la desviación típica de esta distribución. Da el resultado redondeado a las centésimas. Dato:

p(Z \le 1{,}74) ={}

0{,}9591

segundos

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Dividir por la varianza en lugar de por la desviación típica. En $N(\mu, \sigma)$ el segundo número es $\sigma$ : si el enunciado da la varianza, hay que tomar su raíz cuadrada antes de tipificar.
Leer en la tabla un valor negativo como si fuera positivo. La tabla solo tiene $z \geq 0$ : $P(Z \leq -1{,}2) ={}$ $1 - P(Z \leq 1{,}2)$ , no $P(Z \leq 1{,}2)$ .
Confundir $P(Z > z)$ con $P(Z \leq z)$ . La tabla da siempre la probabilidad «a la izquierda»; para «más de» hay que restar de $1$ .
Aproximar una binomial sin la corrección por continuidad, o sin comprobar $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$ . «Menos de $k$ » es $X \leq k - 1$ y se aproxima por $Y \leq k - 0{,}5$ .
Redondear demasiado pronto. Lleva todos los decimales hasta tipificar, redondea $z$ a dos decimales para la tabla y deja el redondeo del resultado para el final.

Para recordar

$X \sim N(\mu, \sigma)$ : el segundo parámetro es la desviación típica.
Tipificar: $Z ={}$ $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$ .
$P(Z \leq -z) ={}$ $1 - P(Z \leq z)$ y $P(Z > z) ={}$ $1 - P(Z \leq z)$ .
$P(-z \leq Z \leq z) ={}$ $2\,P(Z \leq z) - 1$ .
Lectura inversa: $x = \mu + z\,\sigma$ .
Binomial a normal: $N\big(n\,p,\ \sqrt{n\,p\,(1 - p)}\big)$ con $n\,p \geq 5$ , $n\,(1 - p) \geq 5$ y corrección $\pm\,0{,}5$ .

Preguntas frecuentes

1.¿Qué significan los parámetros de una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ ?+
Respuesta:La media $\mu$ es el centro de la campana, donde alcanza su máximo; la desviación típica $\sigma$ mide la dispersión: cuanto mayor es, más ancha y baja es la campana. En $N(\mu, \sigma)$ , como se escribe en esta página, el segundo número es la desviación típica.
2.¿Cómo se busca en la tabla una probabilidad de un valor negativo?+
Respuesta:La tabla solo recoge valores positivos de $z$ . Para un valor negativo usa la simetría de la campana: $P(Z \leq -z)$ es igual a $1 - P(Z \leq z)$ . Con un valor de $z$ de más de dos decimales, redondea a dos.
3.¿Cómo se halla $z$ cuando se conoce la probabilidad?+
Respuesta:Busca en el interior de la tabla la probabilidad dada o la más cercana y lee la $z$ de su fila y su columna. Si la probabilidad es menor que $0{,}5$ , calcula con el complementario y cambia el signo de la $z$ al final.
4.¿Cuándo se puede aproximar la binomial por la normal?+
Respuesta:Cuando $n\,p \geq 5$ y $n\,(1 - p) \geq 5$ . Entonces $B(n, p)$ se parece a $N\big(n\,p,\ \sqrt{n\,p\,(1 - p)}\big)$ y se calcula con la tabla.
5.¿Por qué se suma o se resta $0{,}5$ en la corrección por continuidad?+
Respuesta:Porque una variable discreta toma valores enteros y la normal es continua: el valor $k$ de la binomial ocupa en la normal el tramo de $k - 0{,}5$ a $k + 0{,}5$ . Por eso «al menos $70$ » empieza en $69{,}5$ y «a lo sumo $66$ » termina en $66{,}5$ .
6.¿Qué otra convención hay para escribir una distribución normal?+
Respuesta:Algunos libros escriben $N(\mu, \sigma^2)$ y ponen la varianza como segundo parámetro. Los enunciados de la PAU de Andalucía suelen dar los parámetros con palabras: «media $64$ y desviación típica $4$ », o a veces «varianza $225$ ». Lee qué dato te dan y, si es la varianza, toma su raíz cuadrada antes de tipificar.
7.¿Cuánta distribución normal se pide en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:Según el recuento de este sitio, aparece en los 4 exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II de 2025 y 2026, y en uno de los 4 de Matemáticas II. Es un tema para ganar puntos: los apartados repiten el mismo método.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas CCSS

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Lo esencial

El método, paso a paso

1.Escribe la variable y sus parámetros

2.Traduce lo pedido a una probabilidad

3.Tipifica los extremos

4.Pasa a la tabla

5.En la lectura inversa, despeja

Ejemplos

1.Probabilidad entre dos valores

2.Hallar el valor que deja por debajo un porcentaje

3.Desviación típica desconocida

4.Aproximar una binomial por una normal

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Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

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