¿Qué diferencia hay entre sucesos independientes y sucesos incompatibles?

Son incompatibles los que no pueden ocurrir a la vez, $p(A \cap B) = 0$. Son independientes los que cumplen $p(A \cap B) = p(A)\,p(B)$, es decir, aquellos en los que saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro. Si los dos tienen probabilidad no nula, no pueden ser las dos cosas a la vez.

¿Cuándo uso la probabilidad total y cuándo el teorema de Bayes?

Usa la probabilidad total cuando te pidan la probabilidad de un efecto que puede llegar por varias causas: sumas las ramas del árbol. Usa Bayes cuando conoces el efecto y preguntas por la causa, por ejemplo «sabiendo que la pieza es defectuosa, ¿de qué máquina viene?». Bayes siempre lleva la probabilidad total en el denominador.

¿Cómo se lee un diagrama de árbol?

Cada tramo lleva la probabilidad condicionada a lo que ha ocurrido antes en esa rama. La probabilidad de un camino completo es el producto de sus tramos. Para calcular la probabilidad de un suceso, suma los caminos que acaban en él.

¿Cómo se escribe la probabilidad condicionada en el examen?

Las orientaciones de Matemáticas II admiten $p(A/B)$ y $p(A \mid B)$; las de CCSS no fijan ninguna, y en sus resoluciones es habitual $P(A/B)$ o $P(A \mid B)$, con mayúscula. Todas significan lo mismo. Escribe siempre qué es cada suceso antes de usar la letra.

¿Cuántos decimales tengo que dar en un problema de probabilidad?

Las orientaciones de Matemáticas II piden usar cuatro cifras decimales en los problemas de Estadística y Probabilidad. Si el resultado es una fracción sencilla, puedes darla también: $\dfrac{3}{7}$ y $0{,}4286$ expresan el mismo resultado, el segundo redondeado.

¿Cuánta probabilidad condicionada se pide en la PAU de Andalucía?

Es un tema muy frecuente. Según el recuento de este sitio, aparece en 3 de los 4 exámenes de Matemáticas II de 2025 y 2026 y en los 4 de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Casi siempre se pide con un contexto real: piezas defectuosas, encuestas, tablas de datos o extracciones de una urna.

Probabilidad condicionada, total y Bayes en la PAU de Andalucía

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia entre sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.
- Teoremas de la probabilidad total y de Bayes.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 7, apartados a) y b) (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 4.2, apartados a) y b) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 4.2, apartados a) y b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos aleatorios. Diagramas de árbol y tablas de contingencia.
- Planteamiento y resolución de problemas de contexto real que requieran del empleo de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes o del trazado de diagramas de árbol.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 4, apartados a), b), c) y d) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 4, apartados a), b), c) y d) (optativo); ejercicio 5, apartados a), b) y c) (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 3, opción A, apartado b) (optativo); ejercicio 3, opción B, apartados a) y b) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 3, opción A, apartados a), b) y c) (optativo); ejercicio 4, apartado a) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

La probabilidad condicionada de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$ es $p(A \mid B) ={}$ $\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ , con $p(B) > 0$ . Se lee «probabilidad de $A$ dado $B$ »: el suceso $B$ pasa a ser el nuevo espacio muestral.
Regla del producto: $p(A \cap B) ={}$ $p(B)\,p(A \mid B)$ . Los sucesos son independientes si $p(A \cap B) ={}$ $p(A)\,p(B)$ , es decir, si saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro: $p(A \mid B) = p(A)$ .
Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, $A \cap B ={}$ $\varnothing$ . Si los dos tienen probabilidad no nula, no pueden ser a la vez incompatibles e independientes.
Operaciones con sucesos: $p(A \cup B) ={}$ $p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ , $p(\overline{A}) ={}$ $1 - p(A)$ y las leyes de De Morgan, $\overline{A \cup B} ={}$ $\overline{A} \cap \overline{B}$ y $\overline{A \cap B} ={}$ $\overline{A} \cup \overline{B}$ .
Probabilidad total: si $A_1, A_2, \dots, A_n$ son incompatibles dos a dos y cubren todo el espacio muestral (un sistema completo de sucesos), entonces $p(B) ={}$ $p(A_1)\,p(B \mid A_1) +{}$ $\dots + p(A_n)\,p(B \mid A_n)$ .
Teorema de Bayes: con el mismo sistema completo, $p(A_i \mid B) ={}$ $\dfrac{p(A_i)\,p(B \mid A_i)}{p(B)}$ . Da la vuelta a la condición: de las probabilidades del efecto $B$ según cada causa $A_i$ pasa a la probabilidad de cada causa una vez observado el efecto.
En un diagrama de árbol se multiplican las probabilidades a lo largo de cada rama y se suman las ramas que llevan al suceso pedido. En una tabla de contingencia se lee cada probabilidad como casos favorables entre casos totales.

El método, paso a paso

en orden

1.Define los sucesos
Escribe con una letra cada suceso del enunciado y su significado: $A$ , «la pieza viene de la finca 1»; $D$ , «la pieza es defectuosa». Distingue lo que se da por conocido de lo que se pregunta.
2.Traduce cada dato a una probabilidad
Un porcentaje de un grupo es una probabilidad condicionada: «el 3 % de las piezas de la máquina A» es $p(D \mid A) = 0{,}03$ . Un porcentaje del total es una probabilidad sin condición.
3.Dibuja el árbol o la tabla
Con dos o más etapas, el árbol ordena los datos: primero las causas y después los efectos. Con datos de recuento, la tabla de contingencia da directamente casos favorables y totales.
4.Elige la fórmula según lo que se pide
Si se pide la probabilidad del efecto, suma las ramas con la probabilidad total. Si te dan el efecto y se pregunta por la causa, usa Bayes: el numerador es una rama y el denominador, la probabilidad total.
5.Comprueba el resultado
Toda probabilidad está entre 0 y 1, y las probabilidades de un sistema completo suman 1. Revisa también que el resultado tiene sentido: sabiendo que la pieza es defectuosa, la causa más habitual debe ser la que más defectuosas produce.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Una situación con recuentos
En un grupo de $80$ alumnos, $48$ practican fútbol, $35$ practican baloncesto y $15$ practican los dos deportes. Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que practique fútbol sabiendo que practica baloncesto y la de que no practique ninguno de los dos. Estudia si «practicar fútbol» y «practicar baloncesto» son sucesos independientes.
2.Probabilidad total y Bayes con un árbol
Una cooperativa recibe fruta de tres fincas: la finca $F_1$ aporta el $60\,\%$ del total, la $F_2$ el $25\,\%$ y la $F_3$ el $15\,\%$ . No son comercializables el $2\,\%$ de las piezas de $F_1$ , el $5\,\%$ de las de $F_2$ y el $10\,\%$ de las de $F_3$ . Se elige una pieza al azar. Calcula la probabilidad de que no sea comercializable y, sabiendo que no lo es, la de que proceda de la finca $F_3$ .
3.Extracciones sin reemplazo
Una urna contiene $4$ bolas rojas y $6$ azules. Se extraen dos bolas, una tras otra y sin devolver la primera a la urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color y la de que la segunda sea roja.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Tres máquinas A, B y C, producen el

45\,\%

,

30\,\%

y

25\,\%

, respectivamente, del total de los coches que se producen en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del

3\,\%

,

4\,\%

y

5\,\%

, respectivamente.

Ejercicio 4.2, apartado b)

b) [1,25 puntos] Tomamos, al azar, un coche y resulta ser defectuoso. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido dicho coche?

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 4.2, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

	Coches	Motos
Aptos	116.383	160.667
No aptos	2.679	3.447

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.

Ejercicio 7, apartado b)

b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 7, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden lo mismo: experimentos compuestos, probabilidad condicionada e independencia, diagramas de árbol y tablas de contingencia, los axiomas de Kolmogorov y los diagramas de Venn, y los teoremas de la probabilidad total y de Bayes en problemas de contexto real. Su notación escribe

A^C

para el suceso contrario; las leyes de De Morgan no aparecen por su nombre en su lista.

Aquí la probabilidad aparece más veces que en Matemáticas II y muchas veces con varios apartados seguidos sobre una misma situación: la probabilidad de un suceso, de una intersección, de una condicionada y la pregunta por la independencia. Como en este apartado de 2025, a menudo basta con ordenar los datos en una tabla y aplicar la definición.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

En un determinado centro educativo, el

50\%

del alumnado aprueba Historia, el

70\%

aprueba Matemáticas y el

30\%

aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar:

Ejercicio 4, apartado c)

c) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 4, apartado c). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

En un vivero de plantas, el

69\%

de los plantones son de interior y el resto, de exterior. Florecen en su primer año el

23\%

de los plantones de interior y el

48\%

de los de exterior. Se elige un plantón del vivero al azar. Calcula la probabilidad de que sea de exterior, sabiendo que florece en su primer año. Da el resultado redondeado a cuatro cifras decimales.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

En una caja de un vivero hay

3

bulbos de tulipán y

6

bulbos de narciso. Se cogen al azar, uno tras otro y sin devolverlos,

3

bulbos. Calcula la probabilidad de que al menos uno sea de narciso. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Una imprenta ha clasificado los encargos del último mes según su plazo de entrega y su tipo:

Plazo	Carteles	Folletos	Tarjetas
Urgente	$31$	$61$	$29$
Ordinario	$30$	$23$	$60$

Se elige al azar uno de esos encargos. Calcule la probabilidad de que tenga plazo ordinario o sea de folletos. Dé el resultado redondeado a cuatro cifras decimales.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

La probabilidad de que germine una semilla de las que se siembran en un huerto urbano es

0.05

. Se siembran

6

semillas, que germinan o no con independencia unas de otras. Calcule la probabilidad de que germine al menos una. Dé el resultado redondeado a cuatro cifras decimales.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Confundes $p(A \mid B)$ con $p(B \mid A)$ . «El $3\,\%$ de las piezas de la máquina A son defectuosas» es $p(D \mid A) = 0{,}03$ ; «la pieza defectuosa viene de la máquina A» es $p(A \mid D)$ , otra probabilidad que se calcula con Bayes.
En el árbol sumas las probabilidades de una misma rama o multiplicas las de ramas distintas. Se multiplica a lo largo de la rama (intersección) y se suma entre ramas (unión de casos incompatibles).
Das por iguales «independientes» e «incompatibles». Si $p(A) > 0$ y $p(B) > 0$ y los sucesos son incompatibles, entonces $p(A \cap B) ={}$ $0 \neq p(A)\,p(B)$ , así que no son independientes.
Olvidas restar la intersección en la unión: $p(A \cup B) ={}$ $p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ . Sin ese término cuentas dos veces los casos en los que ocurren los dos sucesos.
En una extracción sin reemplazo usas en la segunda etapa las mismas probabilidades que en la primera. Al no devolver la bola, cambian tanto los casos favorables como los totales.

Para recordar

Condicionada: $p(A \mid B) ={}$ $\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ .
Independientes: $p(A \cap B) ={}$ $p(A)\,p(B)$ .
Unión: $p(A \cup B) ={}$ $p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ .
Total: $p(B) ={}$ $\sum p(A_i)\,p(B \mid A_i)$ .
Bayes: $p(A_i \mid B) ={}$ $\dfrac{p(A_i)\,p(B \mid A_i)}{p(B)}$ .
Árbol: se multiplica a lo largo de la rama y se suma entre ramas.

Preguntas frecuentes

1.¿Qué diferencia hay entre sucesos independientes y sucesos incompatibles?+
Respuesta:Son incompatibles los que no pueden ocurrir a la vez, $p(A \cap B) = 0$ . Son independientes los que cumplen $p(A \cap B) ={}$ $p(A)\,p(B)$ , es decir, aquellos en los que saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro. Si los dos tienen probabilidad no nula, no pueden ser las dos cosas a la vez.
2.¿Cuándo uso la probabilidad total y cuándo el teorema de Bayes?+
Respuesta:Usa la probabilidad total cuando te pidan la probabilidad de un efecto que puede llegar por varias causas: sumas las ramas del árbol. Usa Bayes cuando conoces el efecto y preguntas por la causa, por ejemplo «sabiendo que la pieza es defectuosa, ¿de qué máquina viene?». Bayes siempre lleva la probabilidad total en el denominador.
3.¿Cómo se lee un diagrama de árbol?+
Respuesta:Cada tramo lleva la probabilidad condicionada a lo que ha ocurrido antes en esa rama. La probabilidad de un camino completo es el producto de sus tramos. Para calcular la probabilidad de un suceso, suma los caminos que acaban en él.
4.¿Cómo se escribe la probabilidad condicionada en el examen?+
Respuesta:Las orientaciones de Matemáticas II admiten $p(A/B)$ y $p(A \mid B)$ ; las de CCSS no fijan ninguna, y en sus resoluciones es habitual $P(A/B)$ o $P(A \mid B)$ , con mayúscula. Todas significan lo mismo. Escribe siempre qué es cada suceso antes de usar la letra.
5.¿Cuántos decimales tengo que dar en un problema de probabilidad?+
Respuesta:Las orientaciones de Matemáticas II piden usar cuatro cifras decimales en los problemas de Estadística y Probabilidad. Si el resultado es una fracción sencilla, puedes darla también: $\dfrac{3}{7}$ y $0{,}4286$ expresan el mismo resultado, el segundo redondeado.
6.¿Cuánta probabilidad condicionada se pide en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:Es un tema muy frecuente. Según el recuento de este sitio, aparece en 3 de los 4 exámenes de Matemáticas II de 2025 y 2026 y en los 4 de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Casi siempre se pide con un contexto real: piezas defectuosas, encuestas, tablas de datos o extracciones de una urna.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Probabilidad condicionada, probabilidad total y teorema de Bayes

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Define los sucesos

2.Traduce cada dato a una probabilidad

3.Dibuja el árbol o la tabla

4.Elige la fórmula según lo que se pide

5.Comprueba el resultado

Ejemplos

1.Una situación con recuentos

2.Probabilidad total y Bayes con un árbol

3.Extracciones sin reemplazo

Un ejercicio de la PAU

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

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Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

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