¿Qué diferencia hay entre la integral definida y el área?

La integral definida es un número con signo: suma el área de las partes por encima del eje y resta la de las partes por debajo. El área es siempre positiva. Coinciden cuando la función no es negativa en el intervalo; si cambia de signo, hay que partir el intervalo en los puntos de corte con el eje.

¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?

Iguala las dos funciones para hallar los puntos de corte, que serán los límites de integración. Mira cuál de las dos queda por encima en el intervalo y calcula la integral de la de arriba menos la de abajo con la regla de Barrow. Si se cruzan dentro del intervalo, hazlo por tramos.

¿Qué dice la regla de Barrow?

Que la integral definida de una función continua entre $a$ y $b$ es $F(b) - F(a)$, donde $F$ es cualquier primitiva de la función. Es la herramienta que convierte el cálculo de un área en el de una primitiva y dos sustituciones.

¿Cómo se halla en Matemáticas II el volumen de revolución?

Al girar alrededor del eje de abscisas la región bajo $y = f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$, el volumen es $V = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$. Se eleva al cuadrado la función, se integra con Barrow y se multiplica por $\pi$. Lo piden las orientaciones de Matemáticas II y no las de CCSS.

¿Hay que dibujar el recinto?

Cuando el enunciado lo pide, sí, y puntúa. Aunque no lo pida, un dibujo rápido te dice cuál es la función de arriba, cuántos tramos hay y dónde están los puntos de corte: es lo que evita la mayoría de los errores de signo.

¿Cuántas veces ha caído la integral definida en la PAU de Andalucía?

En Matemáticas II, en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026 (extraordinaria de 2025, ejercicio 3, y extraordinaria de 2026, ejercicio 1); en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, en uno (ordinaria de 2026, ejercicio 2, con el área de un recinto).

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Integral definida y áreas: regla de Barrow, área entre curvas y volumen de revolución

La integral definida de una función positiva mide el área que encierra su gráfica con el eje de abscisas, y la regla de Barrow la calcula con una primitiva. En la PAU de Andalucía aparece como el área de un recinto, como una ecuación en la que hay que hallar un parámetro o, en Matemáticas II, como un volumen de revolución. Aquí tienes las reglas, el método para los recintos, cuatro ejemplos y tres ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en uno de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

B. Sentido de la medida

Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva
Aplicación de la regla de Barrow
Cálculo de áreas mediante integrales definidas
Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas y volúmenes de revolución, al girar la gráfica de una función alrededor del eje OX

Salió en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.
- Aplicación de la regla de Barrow.
- Cálculo de áreas mediante integrales definidas.
- Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas y volúmenes de revolución, al girar la gráfica de una función alrededor del eje OX.
Ejercicios
- Extraordinaria 2025: ejercicio 3 (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 1 (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.
- Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas. Cálculo de primitivas inmediatas simples y compuestas. Regla de Barrow.
Ejercicios
- Ordinaria 2026: ejercicio 2, apartado b) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

La integral definida $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ es, si $f(x) \geq 0$ en $[a, b]$ , el área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje de abscisas y las rectas $x = a$ y $x = b$ . Si $f$ es negativa en el intervalo, la integral sale negativa: es el área con el signo cambiado.
Regla de Barrow: si $F$ es una primitiva de $f$ , que es continua en $[a, b]$ , entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$ . La constante de la primitiva no hace falta, porque se cancela al restar.
Propiedades que se usan sin demostrar: $\displaystyle\int_a^b \big(kf + lg\big)\,dx = k\int_a^b f\,dx + l\int_a^b g\,dx$ ; $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ ; e intercambiar los límites cambia el signo.
El área entre la gráfica y el eje de abscisas no es la integral si la función cambia de signo: se halla dónde corta al eje, se integra en cada tramo y se suma el valor absoluto de cada resultado.
El área entre dos curvas que se cortan en $x = a$ y $x = b$ es $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ , con $f$ la que queda por encima. Los límites son las soluciones de $f(x) = g(x)$ ; si las curvas se cruzan dentro del intervalo, se parte en tramos.
En Matemáticas II, el volumen de revolución del cuerpo que se obtiene al girar la gráfica de $y = f(x)$ , entre $x = a$ y $x = b$ , alrededor del eje de abscisas es $V = \pi\displaystyle\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx$ .

El método, paso a paso

en orden

1.Dibuja el recinto o descríbelo
Marca los puntos de corte de la gráfica con el eje de abscisas o con la otra curva, y mira cuál queda por encima. Un dibujo rápido evita la mayoría de los errores de signo, y a veces el enunciado pide que representes el recinto.
2.Halla los límites de integración
Resuelve $f(x) = 0$ si el recinto lo limita el eje, o $f(x) = g(x)$ si lo limitan dos curvas. Si el enunciado da las rectas $x = a$ y $x = b$ , esos son los límites.
3.Plantea la integral
Escribe la integral de la función de arriba menos la de abajo. Si la función cambia de signo en el intervalo, parte la integral en tantos tramos como signos distintos y toma el valor absoluto de cada uno.
4.Calcula con la regla de Barrow
Busca una primitiva sin constante, sustituye el límite superior y resta el valor en el inferior. Haz las cuentas con fracciones exactas hasta el final.
5.Interpreta el resultado
Un área es siempre positiva y se da en unidades cuadradas ( $\text{u}^2$ ). En un problema con contexto, tradúcela: el número de personas, los euros, los metros cuadrados que corresponda.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.La regla de Barrow
Calcula $\displaystyle\int_1^2 \left(6x^2 - \dfrac{1}{x}\right)dx$ .
2.Una función que cambia de signo
Calcula la integral $\displaystyle\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx$ y el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x) = x^2 - 2x$ , el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 3$ .
3.Área entre una parábola y una recta
Calcula el área del recinto acotado limitado por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 2x + 3$ .
4.Matemáticas II: el volumen de revolución
En Matemáticas II se pide también el volumen de un cuerpo de revolución. Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar alrededor del eje de abscisas el recinto limitado por $y = x^2$ , el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Ejercicio 3

Calcula el valor de

k

para que

\displaystyle\int_1^3 e^{x-k}(x - 2)\,dx = 2

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 3. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Ejercicio 1

La velocidad de crecimiento de la población de peces en un lago al cabo del tiempo, t en años, viene dada por

P'(t) ={}

20\,t\,e^{\frac{-t}{10}}

, siendo

P(t)

la población de peces. Sabiendo que la población inicial es de

1000

peces, calcula cuántos tendrá el lago transcurridos

10

años.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 1. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden interpretar la integral definida como el área bajo una curva y calcularla con la regla de Barrow, con las técnicas elementales de primitivas. Lo que se pide es el área de un recinto: en 2026, el limitado por el eje de abscisas y una función a trozos; en el modelo de 2027, el limitado por una recta y una parábola.

El volumen de revolución no figura en las orientaciones de CCSS. Para el área, el método de arriba es el mismo; el ejercicio de 2026 que ves aquí es un buen modelo de cómo se reparte el trabajo: continuidad para hallar los parámetros, estudio de la función y, al final, la integral de cada tramo.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

Se considera la función

f(x) = \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^2}{20} & \text{si } \ 0 \leq x < 20 \\ a + bx & \text{si } \ 20 \leq x < 50 \\ 36 - \dfrac{x^2}{100} & \text{si } \ 50 \leq x \leq 60 \end{array}\right.

siendo

a

b

números reales.

Ejercicio 2, apartado b)

b) Para

a = 26

b = -\frac{3}{10}

: i) (0.75 puntos) Calcule los extremos relativos de

f

. ii) (0.5 puntos) Represente gráficamente

f

. iii) (1 punto) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje

OX

y la gráfica de la función

f

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 2, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera las funciones

f(x) = -3x^2 - 2x - 3

g(x) = -x^2 + 4x + 1

. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera la función

f(x) = \sqrt{x + 1}

. Calcula el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje de abscisas el recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de abscisas y las rectas

x = 0

x = 3

. Da el valor exacto.

V =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Cómo escribir: una potencia como x^2 o x², un producto como 3x o 3*x, un cociente como (x + 1)/2, un exponente de más de un símbolo entre paréntesis, e^(-0,4t); ln(x), sen(x), √x o sqrt(x), pi para π.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Se considera la función

f(x) = 2x^2 - 6x

. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de abscisas y las rectas

x = 2

x = 6

. Si el resultado no es un número entero, escríbalo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Calcule

\displaystyle\int_{-2}^{-1} \left(x^3 + 3x^2 - 4x + 2\right) dx

. Si el resultado no es un número entero, escríbalo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Más ejercicios: haz gratis el modelo de examen entero

Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Das la integral como si fuera el área cuando la función cambia de signo. Si la gráfica cruza el eje de abscisas dentro del intervalo, las partes de arriba y de abajo se compensan: parte el intervalo y suma los valores absolutos.
Restas al revés: $F(a) - F(b)$ en lugar de $F(b) - F(a)$ . Si te sale un área negativa, has cambiado el orden de los límites o la función de arriba y la de abajo.
En el área entre dos curvas, olvidas igualar las funciones para hallar los límites, o restas la de abajo menos la de arriba. Comprueba con un punto intermedio cuál queda por encima.
Dejas la constante $C$ en la regla de Barrow. No hace falta: se cancela al restar, y escribirla solo da ocasión para equivocarte.
En Matemáticas II, en el volumen de revolución, integras $f(x)$ en lugar de $f(x)^2$ o te olvidas de $\pi$ . El volumen es $\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$ .

Para recordar

Barrow: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
Área con el eje: parte en los cortes y suma valores absolutos.
Área entre curvas: $\displaystyle\int_a^b (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx$ , con los límites en $f = g$ .
Un área se da en $\text{u}^2$ y siempre es positiva.
En Matemáticas II: $V = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$ .

Preguntas frecuentes

1.¿Qué diferencia hay entre la integral definida y el área?+
Respuesta:La integral definida es un número con signo: suma el área de las partes por encima del eje y resta la de las partes por debajo. El área es siempre positiva. Coinciden cuando la función no es negativa en el intervalo; si cambia de signo, hay que partir el intervalo en los puntos de corte con el eje.
2.¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?+
Respuesta:Iguala las dos funciones para hallar los puntos de corte, que serán los límites de integración. Mira cuál de las dos queda por encima en el intervalo y calcula la integral de la de arriba menos la de abajo con la regla de Barrow. Si se cruzan dentro del intervalo, hazlo por tramos.
3.¿Qué dice la regla de Barrow?+
Respuesta:Que la integral definida de una función continua entre $a$ y $b$ es $F(b) - F(a)$ , donde $F$ es cualquier primitiva de la función. Es la herramienta que convierte el cálculo de un área en el de una primitiva y dos sustituciones.
4.¿Cómo se halla en Matemáticas II el volumen de revolución?+
Respuesta:Al girar alrededor del eje de abscisas la región bajo $y = f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$ , el volumen es $V = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$ . Se eleva al cuadrado la función, se integra con Barrow y se multiplica por $\pi$ . Lo piden las orientaciones de Matemáticas II y no las de CCSS.
5.¿Hay que dibujar el recinto?+
Respuesta:Cuando el enunciado lo pide, sí, y puntúa. Aunque no lo pida, un dibujo rápido te dice cuál es la función de arriba, cuántos tramos hay y dónde están los puntos de corte: es lo que evita la mayoría de los errores de signo.
6.¿Cuántas veces ha caído la integral definida en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En Matemáticas II, en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026 (extraordinaria de 2025, ejercicio 3, y extraordinaria de 2026, ejercicio 1); en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, en uno (ordinaria de 2026, ejercicio 2, con el área de un recinto).

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Integral definida y áreas: regla de Barrow, área entre curvas y volumen de revolución

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Dibuja el recinto o descríbelo

2.Halla los límites de integración

3.Plantea la integral

4.Calcula con la regla de Barrow

5.Interpreta el resultado

Ejemplos

1.La regla de Barrow

2.Una función que cambia de signo

3.Área entre una parábola y una recta

4.Matemáticas II: el volumen de revolución

Un ejercicio de la PAU

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Para recordar

Preguntas frecuentes

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