¿Qué es una primitiva y por qué lleva una constante?

Una primitiva de $f$ es una función cuya derivada es $f$. Como la derivada de una constante es cero, si $F$ es una primitiva también lo es $F + C$ para cualquier $C$: hay infinitas, todas iguales salvo una constante. Por eso se escribe $F(x) + C$ y, cuando hace falta una sola, se fija $C$ con un punto de la gráfica.

¿Cómo se halla la primitiva cuya gráfica pasa por un punto?

Primero calcula la integral indefinida $F(x) + C$. Después sustituye las coordenadas del punto $(a, b)$ en la igualdad $F(a) + C = b$ y despeja $C$. Escribe la primitiva ya sin constante y comprueba que, al derivarla, sale la función del enunciado.

¿Cuándo se usa en Matemáticas II la integración por partes y cuándo el cambio de variable?

En Matemáticas II, la integración por partes sirve para un producto de dos funciones de naturaleza distinta, como un polinomio por una exponencial, un seno o un logaritmo. El cambio de variable, cuando una parte de la función es la derivada de otra, o cuando el enunciado te sugiere el cambio.

¿Cuándo se pone valor absoluto en un logaritmo?

La primitiva de $\dfrac{1}{x}$ es $\ln|x|$, porque el logaritmo solo existe para argumentos positivos. Si el argumento es positivo en todo el intervalo del ejercicio, porque el enunciado lo restringe ($x > 0$) o porque lo es siempre, como $x^2 + 5$, se escribe sin valor absoluto. En caso de duda, ponlo.

¿Entran en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las técnicas de Matemáticas II, como la integración por partes y el cambio de variable?

No figuran en ellas. Las orientaciones de CCSS nombran las «técnicas elementales para el cálculo de primitivas»: las inmediatas, simples y compuestas, y la regla de Barrow. La integración por partes, el cambio de variable como técnica propia y las primitivas racionales solo aparecen en las orientaciones de Matemáticas II.

¿Cuántas veces ha caído la integral indefinida en la PAU de Andalucía?

En Matemáticas II, en los 4 exámenes de 2025 y 2026, siempre como una primitiva fijada por una condición: uno o dos puntos de la gráfica, una recta tangente o un valor inicial. En la extraordinaria de 2025 cayó además una integral definida con un parámetro. En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, en ninguno de los 4 como ejercicio propio.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Integrales: primitivas inmediatas, integración por partes y cambio de variable

Integrar es deshacer una derivada: una primitiva de $f$ es una función $F$ cuya derivada es $f$ . En la PAU de Andalucía, Matemáticas II pide la primitiva que cumple una condición, como pasar por un punto dado, y el ejercicio se decide en la técnica que elijas. Aquí tienes la tabla, las técnicas de cada materia, el método para no perderte y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en ninguno de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

B. Sentido de la medida

Concepto de primitiva
Primitivas inmediatas
Primitivas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales
Método de integración por partes (aplicándolo reiteradamente)
Técnica de integración por cambio de variable
Dada una familia de primitivas, saber determinar aquella cuya gráfica pase por un punto dado

Salió en los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Concepto de primitiva. Propiedades.
- Primitivas inmediatas.
- Primitivas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales.
- Método de integración por partes (aplicándolo reiteradamente).
- Técnica de integración por cambio de variable.
- Dada una familia de primitivas, saber determinar aquella cuya gráfica pase por un punto dado.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 6 (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 2 (optativo); ejercicio 3 (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 4.1 (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 1 (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en ninguno de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas. Cálculo de primitivas inmediatas simples y compuestas. Regla de Barrow.
Ejercicios
ningún ejercicio en 2025 y 2026
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

Una primitiva de $f$ es una función $F$ con $F'(x) = f(x)$ . Si $F$ es una primitiva, también lo es $F + C$ para cualquier constante $C$ ; el conjunto de todas ellas es la integral indefinida $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$ .
Primitivas inmediatas que debes saber de memoria: $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ (con $n \neq -1$ ), $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ , $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$ y $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ . La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen fuera.
Las inmediatas compuestas se reconocen cuando aparece la derivada de lo de dentro: $\displaystyle\int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$ , $\displaystyle\int u'\,e^{u}\,dx = e^{u} + C$ y $\displaystyle\int u'\,u^n\,dx = \dfrac{u^{n + 1}}{n + 1} + C$ . Si falta una constante en el numerador, se compensa multiplicando y dividiendo por ella.
En los exámenes de Matemáticas II de 2025 y 2026 se pide la primitiva que cumple una condición: que su gráfica pase por un punto $(a, b)$ , que tenga una recta tangente dada o un valor inicial. Se calcula $F(x) + C$ y se impone $F(a) = b$ para hallar $C$ ; la tangente en un punto da esa misma condición, más la pendiente.
En Matemáticas II, además, entran las primitivas trigonométricas inmediatas, $\displaystyle\int \cos x\,dx = \operatorname{sen} x + C$ y $\displaystyle\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + C$ y $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg} x + C$ , y la integración por partes: $\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Se usa con un producto de un polinomio por una exponencial, un seno, un coseno o un logaritmo, y puede aplicarse varias veces seguidas.
En Matemáticas II también entran el cambio de variable $t = g(x)$ , que convierte la integral en otra más sencilla de $t$ , y las primitivas racionales cuyo denominador tiene raíces reales, que se descomponen en fracciones simples. Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II se queda en las inmediatas, simples y compuestas.

El método, paso a paso

en orden

1.Mira qué tipo de función es
Antes de integrar, identifica si es una suma, una potencia, una exponencial, un cociente o un producto. Separa la suma en trozos y saca las constantes fuera: cada trozo suele ser una inmediata.
2.Busca una primitiva inmediata o compuesta
Pregúntate si el numerador es la derivada de lo de dentro, o si lo es salvo una constante. Si es así, aplica la tabla con $u(x)$ en lugar de $x$ y compensa la constante que falte.
3.En Matemáticas II, elige la técnica
En Matemáticas II, si es un producto de un polinomio por una exponencial, un seno, un coseno o un logaritmo, prueba la integración por partes. Si la función depende de $e^x$ o el enunciado sugiere un cambio de variable, hazlo. Si es un cociente de polinomios con raíces reales en el denominador, descomponlo en fracciones simples.
4.Comprueba derivando
Deriva el resultado: tiene que salir el integrando. Es la manera más rápida de detectar un signo o un factor perdido, y en la PAU te cuesta un minuto.
5.Impón la condición para hallar la constante
Si el enunciado da un punto $(a, b)$ de la gráfica, sustituye $x = a$ en $F(x) + C$ e iguala a $b$ . Despeja $C$ y escribe la primitiva completa, sin dejar la constante sin determinar.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Una primitiva que pasa por un punto
Halla la primitiva de $f(x) ={}$ $4x^3 - \dfrac{6}{x} + 2e^x$ , definida para $x > 0$ , cuya gráfica pasa por el punto $(1, 5)$ .
2.Dos inmediatas compuestas
Calcula $\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2 + 5}\,dx$ y $\displaystyle\int (3x + 1)^4\,dx$ .
3.Matemáticas II: un producto con logaritmo
Calcula $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ , para $x > 0$ . En Matemáticas II es un caso típico de integración por partes.
4.Matemáticas II: un cociente de polinomios
Calcula $\displaystyle\int \dfrac{3x + 5}{x^2 + 3x + 2}\,dx$ . En Matemáticas II se resuelve con fracciones simples, porque el denominador tiene raíces reales.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 4.1

Dada la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) ={}

\dfrac{8\mathrm{e}^x - 4\mathrm{e}^{2x}}{1 + \mathrm{e}^x}

, halla la primitiva de

f

cuya gráfica tiene por tangente a la recta

y = 2x + 12\ln(2)

en el punto de abscisa

x = 0

. (Sugerencia: puedes hacer el cambio

\mathrm{e}^x = t

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 4.1. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 6

Halla la función

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

que pasa por los puntos

(2, e - 2 - 2\ln(2))

(1, 0)

, y verifica que

f''(x) ={}

e^{x-1} - \dfrac{1}{x}

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 6. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones nombran las «técnicas elementales para el cálculo de primitivas»: las primitivas inmediatas simples y compuestas, con la regla de Barrow. La integración por partes, el cambio de variable como técnica propia y las primitivas racionales no figuran en las orientaciones de CCSS, y tampoco las funciones trigonométricas. Una compuesta en la que se ve la derivada de lo de dentro, del tipo

u'\,e^{u}

, sí es de CCSS, aunque también pueda resolverse con un cambio de variable.

En los cuatro exámenes de CCSS de 2025 y 2026 no hay ningún ejercicio de primitivas por sí solo; la primitiva aparece como herramienta en uno de ellos, para calcular el área de un recinto con la regla de Barrow. Para esa parte, la tabla y las compuestas de arriba son lo que necesitas; sigue con la integral definida y las áreas.

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera la función

f(x) = -3x\cos(x)

, definida en

\mathbb{R}

. Halla la primitiva

F

f

cuya gráfica pasa por el punto

(0, 6)

F(x) =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Cómo escribir: una potencia como x^2 o x², un producto como 3x o 3*x, un cociente como (x + 1)/2, un exponente de más de un símbolo entre paréntesis, e^(-0,4t); ln(x), sen(x), √x o sqrt(x), pi para π.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera la función

f(x) ={}

-\dfrac{2x + 15}{x^2 + 9x + 18}

, definida en el intervalo

(-3, +\infty)

. Halla la primitiva

F

f

cuya gráfica pasa por el punto

(0, -1)

. Escribe el logaritmo sin valor absoluto: en ese intervalo su argumento es positivo.

F(x) =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Se considera la función

f(x) ={}

6x^2 +{}

2x -{}

2 +{}

\dfrac{4}{x + 4}

, definida en el intervalo

(-4, +\infty)

. Halle la primitiva

F

f

cuya gráfica pasa por el punto

(-3, 0)

. Escriba el logaritmo sin valor absoluto: en ese intervalo su argumento es positivo.

F(x) =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Se considera la función

f(x) ={}

-2x\mathrm{e}^{x^2}

, definida en

\mathbb{R}

. Halle la primitiva

F

f

cuya gráfica pasa por el punto

(0, 3)

F(x) =

¿Cuesta escribir una fracción, una raíz o una potencia? Pulsa el lápiz junto a la casilla y escribe la respuesta a mano.

O escribe la respuesta en una hoja y hazle una foto: pulsa la cámara junto a la casilla.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Te olvidas de la constante: $\displaystyle\int 2x\,dx$ no es $x^2$ , sino $x^2 + C$ . Cuando el enunciado da un punto de la gráfica, la constante se determina con él, y no hacerlo deja el ejercicio a medias.
Integras $\dfrac{1}{x}$ como $x^0$ o $\ln x$ sin valor absoluto. La primitiva es $\ln|x|$ ; el valor absoluto solo se quita si el argumento es positivo en todo el intervalo.
En una compuesta no compensas la constante. Si integras $(3x + 1)^4$ como $\dfrac{(3x + 1)^5}{5}$ te falta el factor $\dfrac{1}{3}$ de la derivada de lo de dentro. Deriva para comprobarlo.
En Matemáticas II, eliges mal la $u$ en la integración por partes: con $x\ln x$ , si tomas $u = x$ te queda una integral más difícil. Toma como $u$ la función que se simplifica al derivar.
En Matemáticas II, cambias de variable y dejas el resultado en $t$ . Tras integrar, deshaz el cambio y escribe la primitiva en $x$ antes de imponer la condición del punto.

Para recordar

Primitiva: $F'(x) = f(x)$ ; todas son $F(x) + C$ .
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}$ , $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x|$ , $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x$ .
Compuesta: si aparece $u'$ , integra como si fuera $x$ y compensa la constante.
La primitiva por un punto $(a, b)$ : impón $F(a) = b$ .
En Matemáticas II: partes, $\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$ .

Preguntas frecuentes

1.¿Qué es una primitiva y por qué lleva una constante?+
Respuesta:Una primitiva de $f$ es una función cuya derivada es $f$ . Como la derivada de una constante es cero, si $F$ es una primitiva también lo es $F + C$ para cualquier $C$ : hay infinitas, todas iguales salvo una constante. Por eso se escribe $F(x) + C$ y, cuando hace falta una sola, se fija $C$ con un punto de la gráfica.
2.¿Cómo se halla la primitiva cuya gráfica pasa por un punto?+
Respuesta:Primero calcula la integral indefinida $F(x) + C$ . Después sustituye las coordenadas del punto $(a, b)$ en la igualdad $F(a) + C = b$ y despeja $C$ . Escribe la primitiva ya sin constante y comprueba que, al derivarla, sale la función del enunciado.
3.¿Cuándo se usa en Matemáticas II la integración por partes y cuándo el cambio de variable?+
Respuesta:En Matemáticas II, la integración por partes sirve para un producto de dos funciones de naturaleza distinta, como un polinomio por una exponencial, un seno o un logaritmo. El cambio de variable, cuando una parte de la función es la derivada de otra, o cuando el enunciado te sugiere el cambio.
4.¿Cuándo se pone valor absoluto en un logaritmo?+
Respuesta:La primitiva de $\dfrac{1}{x}$ es $\ln|x|$ , porque el logaritmo solo existe para argumentos positivos. Si el argumento es positivo en todo el intervalo del ejercicio, porque el enunciado lo restringe ( $x > 0$ ) o porque lo es siempre, como $x^2 + 5$ , se escribe sin valor absoluto. En caso de duda, ponlo.
5.¿Entran en Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las técnicas de Matemáticas II, como la integración por partes y el cambio de variable?+
Respuesta:No figuran en ellas. Las orientaciones de CCSS nombran las «técnicas elementales para el cálculo de primitivas»: las inmediatas, simples y compuestas, y la regla de Barrow. La integración por partes, el cambio de variable como técnica propia y las primitivas racionales solo aparecen en las orientaciones de Matemáticas II.
6.¿Cuántas veces ha caído la integral indefinida en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En Matemáticas II, en los 4 exámenes de 2025 y 2026, siempre como una primitiva fijada por una condición: uno o dos puntos de la gráfica, una recta tangente o un valor inicial. En la extraordinaria de 2025 cayó además una integral definida con un parámetro. En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, en ninguno de los 4 como ejercicio propio.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

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Integrales: primitivas inmediatas, integración por partes y cambio de variable

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Lo esencial

El método, paso a paso

1.Mira qué tipo de función es

2.Busca una primitiva inmediata o compuesta

3.En Matemáticas II, elige la técnica

4.Comprueba derivando

5.Impón la condición para hallar la constante

Ejemplos

1.Una primitiva que pasa por un punto

2.Dos inmediatas compuestas

3.Matemáticas II: un producto con logaritmo

4.Matemáticas II: un cociente de polinomios

Un ejercicio de la PAU

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Errores frecuentes

Para recordar

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