¿Cómo se estudia la monotonía de una función?

Se calcula la derivada, se resuelve $f'(x) = 0$ y se anota dónde $f$ no es derivable. Esos puntos dividen el dominio en intervalos; en cada uno se mira el signo de $f'$, evaluándola en un punto cualquiera del intervalo. Donde es positiva, $f$ crece; donde es negativa, decrece.

¿Cómo se hallan los extremos relativos?

Se buscan los puntos con $f'(a) = 0$ y se decide su tipo con el signo de $f'$ a los lados o con $f''(a)$: si $f''(a) 0$, es un mínimo. Si $f''(a) = 0$, el criterio no decide y hay que estudiar el signo de $f'$.

¿Cómo se hallan el máximo y el mínimo absolutos en un intervalo cerrado?

Se calcula $f$ en los puntos críticos que están dentro del intervalo y en sus dos extremos. El mayor de esos valores es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto. Es lo que se pide en los problemas con contexto: «el mayor ingreso» o «el nivel más bajo».

¿Qué es un punto de inflexión y cómo se halla?

Es un punto de la gráfica donde la curvatura cambia de convexa a cóncava o al revés. Se resuelve $f''(x) = 0$ y se comprueba que $f''$ cambia de signo allí. La ordenada del punto se obtiene sustituyendo la abscisa en $f$.

¿Convexa es la que tiene $f''$ positiva o negativa?

En las orientaciones de la PAU de Andalucía, de Matemáticas II y de CCSS, $f$ es convexa donde $f''(x) > 0$ y cóncava donde $f''(x) < 0$. Otros libros usan el convenio al revés, y por eso conviene indicar el signo de $f''$ al responder.

¿Qué pasos hay que seguir para representar una función?

Dominio, cortes con los ejes, asíntotas, signo de $f'$ con sus máximos y mínimos, signo de $f''$ con sus puntos de inflexión y, con todo eso, un dibujo aproximado. No se pide una gráfica exacta, sino que respete esos datos.

¿Qué se pide del estudio de funciones en la PAU de Andalucía?

En CCSS aparece en los 4 exámenes de 2025 y 2026: crecimiento, extremos, curvatura, inflexión y gráfica, con un contexto. En Matemáticas II aparece en uno de los 4, con una función como $\dfrac{\ln x}{x^2}$, y se combina con límites y asíntotas.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Estudio y representación de funciones: monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión

Q: ¿Qué pasos hay que seguir para representar una función?

Dominio, cortes con los ejes, asíntotas, signo de $f'$ con sus máximos y mínimos, signo de $f''$ con sus puntos de inflexión y, con todo eso, un dibujo aproximado. No se pide una gráfica exacta, sino que respete esos datos.

Q: ¿Qué se pide del estudio de funciones en la PAU de Andalucía?

En CCSS aparece en los 4 exámenes de 2025 y 2026: crecimiento, extremos, curvatura, inflexión y gráfica, con un contexto. En Matemáticas II aparece en uno de los 4, con una función como $\dfrac{\ln x}{x^2}$, y se combina con límites y asíntotas.

Estudiar una función es describir su gráfica con las dos primeras derivadas: dónde crece y decrece, dónde tiene máximos y mínimos, dónde se curva hacia un lado o hacia otro y dónde cambia esa curvatura. En la PAU de Andalucía se pide en Matemáticas II y en CCSS, y en CCSS suele llevar un contexto. Aquí tienes el método, cuatro ejemplos resueltos y un ejercicio de cada prueba.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

B. Sentido de la medida

Determinación, usando la derivación, de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función
Determinación, usando la derivación, de los intervalos de concavidad (f′′(x) < 0) y convexidad (f′′(x) > 0) de una función
Estudio de los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) y los puntos en los que la función no es derivable
Uso de la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos relativos y absolutos
Estudio y representación gráfica, de manera aproximada, de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y definidas a trozos a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis (límites y derivadas)
Representación de forma aproximada de la gráfica de una función de la forma y = f(x) indicando
Conocida la representación gráfica de una función o de su derivada, obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc

Salió en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Determinación, usando la derivación, de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función.
- Determinación, usando la derivación, de los intervalos de concavidad (f′′(x) < 0) y convexidad (f′′(x) > 0) de una función.
- Estudio de los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) y los puntos en los que la función no es derivable.
- Uso de la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos relativos y absolutos.
- Estudio y representación gráfica, de manera aproximada, de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y definidas a trozos a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis (límites y derivadas).
- Representación de forma aproximada de la gráfica de una función de la forma y = f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y de convexidad y puntos de inflexión.
- Conocida la representación gráfica de una función o de su derivada, obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.).
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 3, apartado b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Obtención de extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento e intervalos de concavidad y convexidad de una función.
- Aplicación de los conceptos de límite y derivada a la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser modelizadas mediante funciones.
- Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos sencillas a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis (límites y derivadas).
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 2, apartados a) y b) (optativo); ejercicio 3, apartados a) y b) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 3, apartado d) (obligatorio)
- Ordinaria 2026: ejercicio 2, apartado b) (obligatorio)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 2, opción A, apartados a), b) y c) (optativo); ejercicio 2, opción B, apartado d) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

Antes de derivar: el dominio de $f$ , los cortes con los ejes ( $f(0)$ y las soluciones de $f(x) = 0$ ) y los límites en los extremos del dominio y en el infinito, que dan las asíntotas. En Matemáticas II se mira también la simetría: $f$ es par si $f(-x) = f(x)$ e impar si $f(-x) = -f(x)$ .
Monotonía: $f$ es creciente donde $f'(x) > 0$ y decreciente donde $f'(x) < 0$ . Los puntos críticos son aquellos con $f'(x) = 0$ y aquellos donde $f$ no es derivable; separan los intervalos de signo constante de $f'$ .
Extremos relativos: hay un máximo en $a$ si $f'$ pasa de positiva a negativa, y un mínimo si pasa de negativa a positiva. También sirve la segunda derivada: si $f'(a) = 0$ y $f''(a) < 0$ , es un máximo; si $f'(a) = 0$ y $f''(a) > 0$ , es un mínimo.
Extremos absolutos en un intervalo cerrado $[a, b]$ : si $f$ es continua, se comparan los valores de $f$ en los puntos críticos del intervalo y en los extremos $a$ y $b$ . El mayor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.
Curvatura, con el convenio de las orientaciones: $f$ es convexa donde $f''(x) > 0$ y cóncava donde $f''(x) < 0$ .
Un punto de inflexión es un punto donde la gráfica cambia de convexa a cóncava o al revés: $f''$ cambia de signo. Que $f''(a) = 0$ no basta: $f(x) = x^4$ tiene $f''(0) = 0$ y no cambia de curvatura.
Para representar la gráfica se reúnen los datos: dominio, cortes, asíntotas, signo de $f'$ y de $f''$ , extremos e inflexiones con sus ordenadas. Después se unen los puntos respetando si la curva sube o baja y hacia dónde se curva.

El método, paso a paso

en orden

1.Dominio, cortes y asíntotas
Escribe dónde está definida $f$ , calcula los cortes con los ejes y los límites en los extremos del dominio y en el infinito. Eso te da el marco de la gráfica antes de usar derivadas.
2.Primera derivada: monotonía y extremos
Calcula $f'(x)$ , resuelve $f'(x) = 0$ y, si hace falta, localiza donde no existe. Con los puntos críticos, forma intervalos y estudia el signo de $f'$ en cada uno: crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
3.Segunda derivada: curvatura e inflexión
Calcula $f''(x)$ y resuelve $f''(x) = 0$ . Estudia su signo en cada intervalo: convexa donde es positiva, cóncava donde es negativa. Los puntos donde cambia de signo son de inflexión.
4.Calcula las ordenadas
Sustituye en $f$ las abscisas de los extremos y de los puntos de inflexión para tener los puntos como pares $(x, y)$ . En un intervalo cerrado, calcula también $f$ en los dos extremos del intervalo.
5.Reúne los datos en una tabla o en un dibujo
Con los signos de $f'$ y de $f''$ , los puntos y las asíntotas, dibuja la gráfica. Si el enunciado pide interpretarla, di en palabras qué ocurre en cada tramo, con las unidades del contexto.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Monotonía y extremos relativos
Estudia el crecimiento y decrecimiento de $f(x) ={}$ $x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ y halla sus extremos relativos.
2.Curvatura y puntos de inflexión
Halla los intervalos de convexidad y de concavidad de $g(x) = x^4 - 6x^2$ y sus puntos de inflexión.
3.Estudio completo de una racional
Estudia y representa la función $h(x) ={}$ $\dfrac{x - 1}{x^2}$ : dominio, cortes, asíntotas, monotonía, extremos, curvatura e inflexiones.
4.Extremos absolutos en un intervalo cerrado
Halla los valores máximo y mínimo absolutos de $k(x) = x^3 - 3x$ en el intervalo $[0, 3]$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Sea la función

f\colon (0, +\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) ={}

a + \dfrac{\ln(x)}{x^2}

Ejercicio 3, apartado b)

b) [1,5 puntos] Para

a = 0

, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

. Estudia y halla los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 3, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II el estudio de funciones se pide en los 4 exámenes de 2025 y 2026. Las orientaciones lo concretan en funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y a trozos sencillas, con extremos relativos, puntos de inflexión y los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.

Suele tener un contexto (ingresos de una empresa, glucosa en sangre, personas que ven una noticia) y las preguntas piden el momento del máximo o del mínimo, su valor con unidades y una interpretación. Las funciones trigonométricas no figuran en las orientaciones de CCSS.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

A) Los ingresos (en miles de euros) de una empresa que opera en mercados financieros en los últimos años vienen dados por la función

f(t) ={}

-t^3 +{}

\dfrac{21}{2}t^2 -{}

30t +{}

80; \qquad 1 \leq t \leq 6

siendo

t

el tiempo medido en años.

Ejercicio 2, opción A, apartado c)

c) (1.5 puntos) Estudie la evolución de los ingresos de la empresa, obteniendo sus puntos de inflexión, realizando su gráfica e interpretándola.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 2, opción A, apartado c). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera la función

f(x) ={}

2x^3 + 9x^2 + 8

. Halla las abscisas del máximo relativo y del mínimo relativo de

f

abscisa del máximo relativoabscisa del mínimo relativo

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera la función

f(x) ={}

(x + 2)\mathrm{e}^{-x}

. Halla la abscisa del punto de inflexión de la gráfica de

f

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Considera la función

f(x) ={}

x^3 - 3x^2 - 5x - 7

. Halla el conjunto de valores de

x

en los que

f''(x) > 0

. Escribe la respuesta como un intervalo o una unión de intervalos.

x \in

Un intervalo como (2, 5] o [0, +∞), con ∞ escrito inf; una unión con U. Si un extremo lleva decimales, sepáralos con punto y coma.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Se considera la función

f(x) ={}

x^4 - 18x^2 - 6

. Determine los intervalos en los que

f

es decreciente. Escriba la respuesta como un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos.

x \in

Un intervalo como (2, 5] o [0, +∞), con ∞ escrito inf; una unión con U. Si un extremo lleva decimales, sepáralos con punto y coma.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 5.

Se considera la función

f(x) ={}

x^3 - 2x^2 - 8x + 1

. Halle la abscisa del punto de inflexión de la gráfica de

f

. Si el resultado no es un número entero, escríbalo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Buscas los extremos en las soluciones de $f''(x) = 0$ . Los candidatos a extremo son las soluciones de $f'(x) = 0$ ; las de $f''(x) = 0$ son candidatas a punto de inflexión.
Das por máximo o mínimo cualquier punto con $f'(a) = 0$ sin mirar el signo. En $f(x) = x^3$ es $f'(0) = 0$ y no hay extremo, porque $f'$ no cambia de signo.
Afirmas que hay inflexión porque $f''(a) = 0$ . Comprueba que $f''$ cambia de signo a los lados de $a$ .
En un intervalo cerrado, das como mínimo absoluto el mínimo relativo sin comparar con los valores en los extremos del intervalo. El mayor o el menor valor puede estar en un extremo.
Confundes convexa y cóncava. En las orientaciones de la PAU, convexa es $f''(x) > 0$ y cóncava es $f''(x) < 0$ : usa siempre el signo de $f''$ y no el aspecto de la curva.

Para recordar

$f' > 0$ : creciente. $f' < 0$ : decreciente.
Extremo relativo: $f'$ cambia de signo. Inflexión: $f''$ cambia de signo.
Convexa: $f''(x) > 0$ . Cóncava: $f''(x) < 0$ .
En $[a, b]$ , compara $f$ en los puntos críticos y en $a$ y $b$ .
Antes de derivar: dominio, cortes y límites en los extremos del dominio.

Preguntas frecuentes

1.¿Cómo se estudia la monotonía de una función?+
Respuesta:Se calcula la derivada, se resuelve $f'(x) = 0$ y se anota dónde $f$ no es derivable. Esos puntos dividen el dominio en intervalos; en cada uno se mira el signo de $f'$ , evaluándola en un punto cualquiera del intervalo. Donde es positiva, $f$ crece; donde es negativa, decrece.
2.¿Cómo se hallan los extremos relativos?+
Respuesta:Se buscan los puntos con $f'(a) = 0$ y se decide su tipo con el signo de $f'$ a los lados o con $f''(a)$ : si $f''(a) < 0$ , es un máximo; si $f''(a) > 0$ , es un mínimo. Si $f''(a) = 0$ , el criterio no decide y hay que estudiar el signo de $f'$ .
3.¿Cómo se hallan el máximo y el mínimo absolutos en un intervalo cerrado?+
Respuesta:Se calcula $f$ en los puntos críticos que están dentro del intervalo y en sus dos extremos. El mayor de esos valores es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto. Es lo que se pide en los problemas con contexto: «el mayor ingreso» o «el nivel más bajo».
4.¿Qué es un punto de inflexión y cómo se halla?+
Respuesta:Es un punto de la gráfica donde la curvatura cambia de convexa a cóncava o al revés. Se resuelve $f''(x) = 0$ y se comprueba que $f''$ cambia de signo allí. La ordenada del punto se obtiene sustituyendo la abscisa en $f$ .
5.¿Convexa es la que tiene $f''$ positiva o negativa?+
Respuesta:En las orientaciones de la PAU de Andalucía, de Matemáticas II y de CCSS, $f$ es convexa donde $f''(x) > 0$ y cóncava donde $f''(x) < 0$ . Otros libros usan el convenio al revés, y por eso conviene indicar el signo de $f''$ al responder.
6.¿Qué pasos hay que seguir para representar una función?+
Respuesta:Dominio, cortes con los ejes, asíntotas, signo de $f'$ con sus máximos y mínimos, signo de $f''$ con sus puntos de inflexión y, con todo eso, un dibujo aproximado. No se pide una gráfica exacta, sino que respete esos datos.
7.¿Qué se pide del estudio de funciones en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En CCSS aparece en los 4 exámenes de 2025 y 2026: crecimiento, extremos, curvatura, inflexión y gráfica, con un contexto. En Matemáticas II aparece en uno de los 4, con una función como $\dfrac{\ln x}{x^2}$ , y se combina con límites y asíntotas.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Estudio y representación de funciones: monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Dominio, cortes y asíntotas

2.Primera derivada: monotonía y extremos

3.Segunda derivada: curvatura e inflexión

4.Calcula las ordenadas

5.Reúne los datos en una tabla o en un dibujo

Ejemplos

1.Monotonía y extremos relativos

2.Curvatura y puntos de inflexión

3.Estudio completo de una racional

4.Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Un ejercicio de la PAU

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Para recordar

Preguntas frecuentes

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